Galkin_Lektsii (967479), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.Доказательство.R2 Пустьx  x0  R1  R .ВыберемR2 : R1  R2  R ,например1R1  R  . На интервале x1  x0  R2 и в точке x1 степенной ряд сходится262абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости.

Тогда (точнотакже,каквдоказательстветеоремыАбеляоценимnx  x0( x  x0 ) na n ( x  x0 ) n  a n( x1  x0 ) n  a n ( x1  x0 ) n  qn ,nn( x1  x0 )x1  x0где q R1R 1 в области x  x0  R1  R2  x1  x0 n  N ( 1 не зависит от x ).R2R2Тогда в области x  x0  R1 степенной ряд будет сходиться равномерно по признакуВейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии).Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывностисуммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.Теорема.

При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда егорадиус сходимости не меняется.Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это –знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости попризнаку Даламбера.n 1a n 1 x  x0a n 11.lim n x  x0 lim1 R na n 1ana n x  x0lim nanПродифференцируем почленно степенной ряд na x  x nnn 10, перейдем к ряду измодулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.n  1 an1 x  x0 n1a n 11lim n x  x0 lim1 R .na n 1ann a n x  x0lim nanТаким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенногоряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился быпри почленном дифференцировании.Лекция 15.

Ряд Тейлора.Ряд Тейлора.Рядом Тейлора называется степенной ряд видаn 0что функция f x  является бесконечно дифференцируемой).f n  x0 x  x0 n (предполагается,n!Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при x0  0 , то есть рядТеорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.n 0f n  0 nx .n!63Доказательство. Пусть f x    a n x  x0  и степенной ряд сходится в интервалеnn 0x  x0  R . Подставим в разложение x  x0 , получим f x0   a0 .Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можемего дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, таккак радиус сходимости при дифференцировании не меняется.

Его вновь можнодифференцировать почленно и т.д. Вычислим коэффициенты в степенных рядах,полученных почленным дифференцированием. f x0  = a1 ,f x0 n2f x    nn  1a n x  x0  , f x0   2 1 a2 , a 2 ,2!n2f x0 n 3f x    nn  1n  2a n x  x0  , f x0   3 2 1 a3 , a3 ,3!n 3f ( n ) x0 Продолжая этот процесс, получим a n . Это – коэффициенты ряда Тейлора.n!Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции встепенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной рядединственно.Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляяf ( n ) x0 коэффициенты разложения по формуле a n , где x0  0 .n!ex  1 x x2xnxn ...

 ...  2!n!n 0 n !sin x  x x3x 2 n1x 2 n1nn ...   1 ...    13!(2n  1) !(2n  1) !n 0cos x  1 2n2nx2n xn x ...   1 ...    12!( 2n) !( 2n) !n 0shx  x chx  1 x3x 2 n1x 2 n1 ...  ...  3!(2n  1) !n 0 ( 2n  1) !x2x 2nx 2n ...  ...  2!( 2n ) !n  0 ( 2n) !1n 1  x  x 2  ...    1 x n , x  1.1 xn 0ln 1  x   x формулу)nnx2n 1 xn 1 x ...   1...    1, (1  x  1) (интегрируя предыдущую2nnn 1641  x   1  x     1 x 2  ...     1...  n  1 x n  ...

 1      1...  n  1 x n  ...2!n!n 1n!x  1,   R \ N .Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли эторазложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой онпостроен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился кнулю при n   .Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестраf x0 f ( n ) ( x0 )f ( x)  f ( x0 )  f x0 ( x  x0 ) ( x  x0 ) 2  ... ( x  x0 ) n  Rn2!n!Необходимость.

Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .f x0 f ( n ) ( x0 )S n  f ( x0 )  f x0 ( x  x0 ) ( x  x0 ) 2  ... ( x  x0 ) n .2!n!Если ряд Тейлора сходится к f (x) , то lim n ( f ( x)  S n )  0 . Но по формуле Тейлораf ( x)  S n  Rn . Следовательно, lim n Rn  0 .Достаточность. Если lim n Rn  0 , то lim n ( f ( x)  S n )  0 , а S n - частичная суммаряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции f (x) .Теорема. Пусть все производные функции f (x) ограничены в совокупности однойконстантой. ( f n ( x)  L, n) Тогда ряд Тейлора сходится к функции f (x) .Доказательство.

Оценим остаточный член формулы Тейлораn 1f n ( )x  x0n 1x  x0Ln 0 , так как показательная функция растет(n  1)!(n  1)!медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функцииf (x) .В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклоренафункций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены всовокупности единицей на всей оси.В разложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограниченыконстантой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент,следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.Рассмотрим разложение в ряд функции 1  x  .

Предположим, что ряд сходится кS (x) . Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливостьфункциисоотношения 1  x S ( x)   S ( x)(выведите его в качестве упражнения). Решая этодифференциальное уравнение, получим S ( x)  (1  x) .Применение степенных рядов.1. Вычисление значений функцийПример.

Вычислить arctg 0.3 с точностью   0.01 .65xdxx3 x5 x7(0.3) 3 (0.3) 5arctg x   x ...arctg 0.3  0.3  ...2357350 1 xПо следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося рядаоценивается модулем первого отброшенного члена.(0.3) n1Rn  0,01 . Из этого неравенства найдем n, n=2. arctg 0.3  0,3 .n 1Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантныйряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечноубывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по суммепрогрессии.2.

Вычисление интегралов.0.3Пример. Вычислить1 1  x dx с точностью   0,010.11 1  x  x 2  x 3 ...1 x0.30.31x2 x3dxx... 1  0.3  (0.3) 2  (0.3) 3  ...  1  0.1  (0.1) 2  (0.1) 3  ...|0.11  x0.123R1nn  3,0.3 (0.3) n1 , R2n  (0.1) n1 , (0.3) n1  0.1n 1 0.010.34  0.14  0.0082  0.011 1  x dx  (1  0.3  (0.3)2 (0.3) 3 )  (1  0.1  (0.1) 2  (0.1) 3 )  0.1460.13. Решение дифференциальных уравнений.Пример.

y   y 2  x,y0  11 способ. Представим y(x) в виде степенного ряда с неопределеннымикоэффициентами до x n (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую иправую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается системаалгебраических уравнений и определяются коэффициенты.y( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  a4 x 4  a5 x 5 .Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому вразложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциальногоуравнения.Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0.В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальноеусловие задано в нуле.y ( x)  a1  2a2 x  3a3 x 2  4a4 x 3  5a5 x 4 .Подставляем разложения в правую и левую части уравнения y   y 2  x .a1  2a2 x  3a3 x 2  4a4 x 3  5a5 x 4 = .

(a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  a4 x 4  a5 x 5 )  x  .66a02  a12 x 2  a22 x 4  2a0 a1 x  2a0 a2 x 2  2a0 a3 x 3  2a0 a4 x 4  2a1a2 x 3  2a1a3 x 4  x.Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут1a1  a 02  1x2a 2  2a 0 a1  1x23a3  a12  2a 0 a 2x34a 4  2a 0 a3  2a1 a 25a5  a 22  2a 0 a 4  2a1 a3127Отсюда a0  1  a1  1, a 2  , a3  , a 4 23122x27y ( x)  1  x  x3  x42 312x42 способ. Представим y(x) в виде ряда Тейлора.y (0) 2 y (0) 3 y 1V (0) 4y( x)  y (0)  y (0) x x x x  ...2!3!4!y(0)  1y ( x)  y 2 ( x)  x, y (0)  y 2 (0)  0  1y ( x)  2 yy   1, y (0)  2  1  12y ( x)  2 y   2 yy , y (0)  4y1V ( x)  4 y y   2 y y   2 yy , y1V (0)  4  2  8  14127y ( x)  1  x  x 2  x 3  x 4 .2312СодержаниеЧасть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поляЛекция 1Двойной интеграл..Лекция 2.Приложения двойного интегралаЛекция 3.Тройной интегралЛекция 4.Приложения тройного интеграла13Лекция 5.Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства15Лекция 6.Формула Грина20Лекция 7Поверхностный интеграл.26Лекция 8Скалярное и векторное поля2...6103067Лекция 9Формула Стокса35Часть 2 Числовые и функциональные ряды.Лекция 10.Числовые ряды и их свойства41Лекция 11.Знакоположительные ряды44Лекция 12.Знакопеременные ряды51Лекция 13.Функциональные ряды55Лекция 14.Степенные ряды59Лекция 15.Ряд Тейлора62.

Характеристики

Список файлов книги