Galkin_Lektsii (967479), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Тогда в исходном иполученном перестановкой членов ряде частичные суммы, начиная с S m будут совпадать.Следовательно, ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, , будет сходиться и иметьту же сумму.Пусть при перестановке местами r членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму.Пусть переставляются r  1 членов ряда.

Эта перестановка сводится к перестановке rчленов ряда, а затем к перестановке еще какого-либо члена с каким-либо другим(перестановке двух членов ряда).По индуктивному предположению при перестановке местами r членов ряда рядсходится и имеет ту же сумму.

Ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будетсходиться и иметь ту же сумму. Следовательно, и при перестановке r  1 членов ряда рядбудет сходиться и иметь ту же сумму.Лекция 12. Знакопеременные ряды.Рядan 1называется знакопеременным, если среди членов ряда содержитсяnбесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительныхчленов.Рядan 1nназывается абсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда| an 1n| сходится.Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.Доказательство.

Так как ряд| an 1сходится. Рядan 1признакуnn| сходится, то ряд2 | an 1n|    an  anтожеn 1 | a n | - знакоположительный, так как an   a n и сходится по первомусравнениярядовпосравнениюсознакоположительнымрядом52n 1n 1 2 | an |    an  an  , так как an  an . Вычитая из сходящегося рядасходящийся ряд| an 1nan 1a| , получаем сходящийся ряд (свойство сходящихся рядов)n 1n | an |n.Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.Пусть рядan 1nабсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получаяабсолютно сходящийся ряд с той же суммой.Доказательство.

Обозначим s - сумму ряда a n , S – сумму рядаn 1Рассмотрим рядan 1n| an 1n|. | a n | . Он знакоположительный, так как an   a n . Он сходитсяпо первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядомn 1n 1 2 | an |    an  an  , так как an  an . Его сумма равна s + S.Пусть ряд bn получен перестановкой членов изn 1an 1n.Тогда знакоположительный ряд | bn | получен перестановкой членов изn 1| an 1n| .

Потеореме Дирихле он сходится и имеет ту же сумму S.bЗнакоположительный рядn 1an 1nn | bn |получен перестановкой членов из ряда | a n | . Следовательно, по теореме Дирихле, он сходится и имеет ту же сумму S + s.Вычитая из сходящегося ряда bn  | bn | сходящийся рядn 1| bn 1n| , мы получим рядbn 1n. По свойствам сходящихся рядов он сходится и имеет сумму, равную (S + s) – S = s.Следовательно, ряд bn , полученный при перестановке членов рядаn 1an 1n, сходится иимеет ту же сумму, что и рядan 1n.Ряд a n называется условно сходящимся, если ряд из модулей членов рядаn 1расходится, а сам рядan 1nсходится.Теоремы о структуре знакопеременных рядов.| an 1n|53Обозначимpn  0 -положительныечлены,знакопеременного ряда. A – рядan 1qn -отрицательныеn, Am – ряд| an 1членыn| , P – рядpn 1n, Po – ряд A, вкотором все отрицательные члены заменены нулями на тех же местах.

Q – рядqn 1n, Qo –ряд A, в котором все положительные члены заменены нулями на тех же местах.ПримерAp1  p2  q1  q2  q3  q4  p3  q5  q6  p4  p5  q7  ...Am | p1 |  | p2 |  | q1 |  | q2 |  | q3 |  | q4 |  | p3 |  | q5 |  | q6 |  | p4 |  | p5 |  | q7 | ...Pop1  p2  0  0  0  0  p3  0  0 p4  p5  0  ...Pp1  p2 p3 p4  p5  ...Qo0  0  q1 q 2  q3  q 4  0  q 5  q 6 0  0  q7  ...Qq1 q 2  q3  q 4  q5  q 6 q7  ...Теорема Ряды P, Po, ряды Q, Qo сходятся или расходятся одновременно.Доказательство.

Так как ряд знакопеременный, то два последовательныхположительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов. То жеверно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей в Po:ar 1 ....ar  k Тогда S Pr  S Por  S Por 1  ...  S Por k , т.е. k элементов в последовательностичастичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены(это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковыхэлементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательствоможно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична.

Поэтомуряды Po и P сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное верно и для Qo и Q.Теорема. Если P сходится, Q – сходится, то Am сходится, т.е. ряд A сходитсяабсолютно.Доказательство. Так как P сходится, то Po сходится, так как Q – сходится, то Qo –сходится. Складывая сходящиеся ряды Po и (-Qo) почленно (учитывая, что| pn | pn , | qn | qn ), получим сходящийся ряд. Это – ряд Am.Теорема. Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то Aрасходится.Доказательство.

Рассмотрим один из вариантов. Пусть P сходится и Q расходится.Тогда Po сходится. Будем доказывать от противного. Пусть A сходится, тогда, вычитаяиз него сходящийся ряд Po, получим сходящийся ряд Qo. Тогда по доказанной выше теоремеряд Q сходится. Противоречие.Второй вариант P расходится и Q сходится рассматривается аналогично.Теорема. Пусть ряд A условно сходится, тогда ряды P, Q расходятся.Доказательство. Если P, Q оба сходятся, то по доказанной выше теореме Am сходится,т.е. ряд A сходится абсолютно. Противоречие.Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.(подоказанной выше теореме). Противоречие.Следовательно, оба ряда P, Q расходятся.Итак, получена следующая схема.54P сх, Q расх или P расх, Q сх  A расх, P сх A аб сол.

схQ сх P сх P расх.A абсол. сх  A  усл. сх  Q схQ расхЭта схема отражает суть теорем о структуре знакопеременных рядов.1 1 1 1 1 1 1Пример. 1        ...3 2 9 4 27 8 811 1 1P: 1     ... - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.2 4 81 1 11Q:    ... сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая3 9 27 81прогрессия.

Следовательно, исходный ряд A абсолютно сходится.1 1 1 1 1 1 1 1        ...2 3 4 5 8 7 16 91 1 11P:   . .. - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.2 4 8 161 1 1 1Q:     ... расходящийся ряд (по второму признаку сравнения с3 5 7 9гармоническим рядом). Следовательно, исходный ряд A расходится.Пример.Теорема Римана.Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно такпереставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его суммабудет равна S.Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся (теоремы оструктуре знакопеременного ряда). Пусть для определенности S>0. Переставляем в началоряда столько положительных членов, чтобы их сумма стала больше S, Теперь переставляемстолько отрицательных членов, чтобы частичная сумма ряда стала бы меньше S.

Повторяемэтот процесс. Процесс осуществим для любого S, так как ряды P, Q расходятся (т.е.повторением членов можно набрать любую их сумму). С другой стороны, частичная суммасконструированного ряда сходится именно к S. В сконструированном ряде| S n  S | bn , где bn - тот член ряда, добавление которого меняет знак S n  S . bn n 0 таккак знакопеременный ряд условно сходится.Сам ход доказательства напоминает добавление положительных членов – гирь на однучашку весов, пока весы не покажут вес, больший S.

Последний член – гиря bn . Затемдобавление на другую чашку весов столько отрицательных – членов (вернее гирь, весом,равным модулям этих членов), чтобы весы показали вес, меньший S. Процесс повторяется.Вес гирь, вызывающих переход указателя весов через S, убывает до нуля, так как дляусловно сходящегося ряда выполняется необходимый признак сходимости. ПоэтомуS n n S .Знакочередующиеся ряды.55Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов рядачередуются, т.е. рядan 1nимеет вид v1  v2  v3  v4  ... .

Предполагаем, что ряд начинаетсяс положительного члена, vk  0, k  1 .К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше длязнакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признаксходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимымпризнаком).Признак Лейбница.Пусть1. рядan 1nимеет вид v1  v2  v3  v4  ... (знакочередующийся, vk  0, k  1 )2. последовательность v n монотонно убывает3. lim n vn  0Тогда 1) рядan 1nсходится2) | S | v1Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четныминомерамиvn S 2n  v1  v2  v3  v4  ...  0, т.к.

v1  v2  0, v3  v4  0... (последовательностьмонотонно убывает по условию теоремы).S 2n  v1  (v2  v3 )  (v4  v5 )  ...  v1 , т.к. v2  v3  0, v4  v5  0...Т.е. последовательность S 2 n  ограничена сверху v1 .S 2( n1)  S 2n  (v1  v2  ...  v2n1  v2n  v2n1  v2n2 )  (v1  ...  v2n )  v2n1  v2n2  0Т.е. последовательность S 2 n  монотонно возрастает.По теореме Вейерштрасса существует lim n S 2 n  S .Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерамиS 2 n1 S 2n v2n1 .По условию lim n vn  0 , т.е. lim n v2 n1  0 .По доказанному выше lim n S 2 n  S . Следовательно, предел правой части равенствасуществует и равен S .

Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равенlim n S 2n1  S .Раскроем определение предела   0 N ( ), n  N S n  S   как для четных n, таки для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых n  N , поэтомуlim n S n  S .0  S 2 n  v1 . Переходя к пределу, получимИз доказанного выше неравенства0  S  v1 , т.е. S  v1 .Следствие. | Rn || an1 | . Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенногочлена ряда.56Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийсяряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.То есть | Rn |ak  n 1n a n 1 . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенныйчлен.1 1 1   ...2 3 411a n  (1) n 1 , vn  .

Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей –nnрасходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.1Rn n 1Функциональные рядыПример. Ряд 1 Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.Функциональный ряд – это рядuт 1n( x) , члены которого – функции u n (x) ,определенные в некоторой области V.Определим частичную сумму ряда – тоже функцию S n ( x)  u1 ( x)  ...  u n ( x) .Зафиксировав некоторую точку x, мы имеем дело с обычным числовым рядом.Функциональный рядuт 1n( x) называется сходящимся в точке x, если S n (x) сходитсяк S (x) или  0 N  , x  , что n  N S n ( x)  S ( x)  u n1 ( x)  ...

  .Это - обычная или поточечная сходимость ряда, так как номер N зависит не только от , как в числовых рядах, но и от точки x. То есть в каждой точке x ряд сходится со своейскоростью.Критерий Коши поточечной сходимости ряда. Это – критерий Коши дляпоследовательности частичных сумм ряда.Для того чтобы функциональный рядuт 1n( x) сходился в точке x, необходимо идостаточно, чтобы   0 N ( , x), n  N , p  0 S n p ( x)  S n ( x)  u n1 ( x)  ...u n p ( x)   .Все точки, в которых ряд сходится, составляют область сходимости ряда.Примеры. 1) Рядрасходится.

Характеристики

Список файлов книги