Galkin_Lektsii (967479)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Галкин С.В.Краткий курс математического анализав лекционном изложениидля студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана(третий семестр)Москва 2005.2Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.Лекция 1.Двойной интеграл.Задача об объеме цилиндрического тела.К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции.К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусомоснования R его объем равен V  R 2 h- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосямиa, b равен V  abh .- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания S , равен V  Sh .Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежитобласть D с площадью S , а высота h изменяется от точки к точке так, что конец ееописывает некоторую поверхность  ( h  f (M ( x, y)) ).

Тогда логично разбитьобласть D на области малого размера – организовать разбиение области на области –элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этимэлементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точекэлемента и равна h  f (M ( x, y)) . Вычислим объем этого элементарного цилиндра.Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров.

Эта сумма и даст приближенноискомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размерыэлементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интегралаДвойной интеграл1 f ( x, y)dS .Dzf (M i )1. Организуем разбиение области D наэлементы – области Di так, чтобы этиэлементы не имели общих внутреннихz  f ( x, y)nточек и D   Di (условие А)i 12.

Отметимна элементах разбиения«отмеченные точки» Mi и вычислим вних значения функции f (M i )  f ( xi , yi )3. ПостроиминтегральнуюсуммуynMiDiDx f (M )si 1i, где si - площадь Di4. Переходя к пределу при условииmax i diam(Di )  0(условиеВ),получим двойной интеграл как пределинтегральныхсумм:D1inf ( x, y )dS  lim max i diam( Di )0  f ( M i )sii 1Здесь рассматривается упрощенный вариант построения интеграла, более общий вариант рассмотрен вседьмом выпуске учебника «Математика в техническом университете» под ред. проф. В.С.

Зарубина и проф.А.П. Крищенко М. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 (далее просто учебник).3Теорема существования2.Пусть функция f ( x, y) непрерывна в замкнутой односвязной области D3. Тогдадвойной интеграл существует как предел интегральных сумм. f ( x, y)dS  limnmax i diam( Di )0D f (M )sii 1i.Замечание4. Предел этот не зависит от- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие ВСвойства двойного интеграла5.1. Линейностьа) свойство суперпозиции ( f ( x, y)  f1D2( x, y)dS .=  f1 ( x, y )dS +  f 2 ( x, y )dSDDб) свойство однородности  f ( x, y )dS .=   f ( x, y )dSDDДоказательство.

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частяхравенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как числослагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе вравенстве получим желаемый результат.2. Аддитивность.Если D  D1  D2 , то f ( x, y)dS =  f ( x, y)dS +  f ( x, y)dSDD1D2Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементовразбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременнокак элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования(замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы,как в п.1.3. dS  SD- площадь области D.D4.ЕсливобластиDвыполненонеравенствоf ( x, y)  g ( x, y) ,то f ( x, y)dS   g ( x, y)dS (неравенство можно интегрировать).DDДоказательство.

Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.Заметим, что, в частности, возможно g ( x, y)  05. Теорема об оценке.Если существуют константы m, M , что x, y   D m  f ( x, y)  M , тоmS D   f ( x,y)dS  MS DD2Здесь рассматривается непрерывная функция, более общий вариант см. в седьмом томе учебникаДалее граница области предполагается кусочно-гладкой4Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам5При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования34Доказательство. Интегрируя неравенство m  f ( x, y)  M (свойство 4), получим mdS   f ( x, y)dS   MdS .

По свойству 1 константыDDm, M можно вынести из-подDинтегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.6. Теорема о среднем (значении интеграла).1Существует точка с( xc ,yc )  D , что f (c) f ( x,y )dS .S D DДоказательство. Так как функция f ( x,y) непрерывна на замкнутом ограниченноммножестве D , то существует ее нижняя грань   inf D f ( x,y) и верхняя грань  sup D f ( x,y) . Выполнено неравенство x,y   D S D   f ( x,y)dS  S D .

ДеляD11f ( x,y )dS   . Но числоf ( x,y )dSSD DS D Dзаключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функцияf ( x,y) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D , то в некоторой точкефункциядолжнаприниматьэтозначение.Следовательно,сD1f (c ) f ( x,y )dS .S D DГеометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постояннойвысоты f (c) , объем которого равен объему цилиндрического тела  f ( x,y )dSобе части на S D , получимDВычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем вэтой плоскости декартову систему координат.Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям,пересекает ее не более чем в двух точках.Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границейможно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общихвнутренних точек.

Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов(свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойнойинтеграл по правильной области.Вспомним формулу для вычисления объема телаzf(x,y)по площадям параллельных сеченийS(x)bV   S ( x)dx , где a, b - «крайние» точки областиayaD(x)x(x)D по x., S (x) - площадь сечения тела одной изпараллельных плоскостей (при фиксированномx).

Эта плоскость пересекается с плоскостьюOXY по прямой, параллельной оси OY,соединяющей точку входа в область (x) сточкой выхода (x). Графики функций (x), (x) ( x)bxобразуют границу области D. S (x) = f ( x, y)dy - ( x)площадь криволинейной трапеции..5b   ( x)S (x) в формулу для объема, получим V     f ( x, y )dy dx .

Этоa   ( x)повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить,d   ( y)вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии V     f ( x, y )dx dy . По смыслуc   ( y)двойного интеграла (объем цилиндрического тела)b   ( x)d   ( y) f ( x, y )dy dx = f ( x, y )dS =  f ( x, y )dx dy  Va   ( x)c   ( y)DПодставляя1.Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.1.1  1 x 211 x 2x 2  y 2  1y1D f ( x, y)dxdy  0   f2 ( x, y)dy dx  0 dx  f2 ( x, y)dy =x  0 1 x  1 xx21 y 211  1 y1 0 f ( x, y)dx dy = 1 dy 0 f ( x, y)dxy  x 1y  1 x2. y  x 1 y   x  1y  03.  x  1y  x1  x 1 x 1dx =+f(x,y)dxdyf(x,y)dydxf(x,y)dyD1  x1 0  x 1y1y101 f ( x, y )dx dy +  f ( x, y )dx dy 0  y11  y 10yx x  y 12 D e dxdy = 0  0 e dy dx ( внутренний интеграл неберется)=1111 e ( y 1) 2 dx dy = (1  y )e  y 12 dy   1 e  y 12 | 0  1 (e  1)0  y220 y 12yx1Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.К двойному интегралу f ( x, y)dS .мы пришли от задачи об объеме цилиндрическогоDтела, расположенного над областью D с переменной высотой f ( x, y) .В этом и состоит его геометрический смысл.Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскуюобласть D, плотность которой равна f ( x, y) , т.е.

меняется от точки к точке. Достаточноассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобыпонять, что мы имеем ту же модель.Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что  f ( x, y )dSDравен массе плоской области D, плотность которой равна f ( x, y) .6Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумяпараболическими цилиндрами z = 1-y2 и x = y2 и площадь его основания D, расположенногов плоскости OXY..1y1 142VD  2  (1  y )dx dy  2 ( y 2  y 4 )dy  2(  ) 3 5 150 0021y12S D  2  dx dy  2 y 2 dy 30 001z111y2xЛекция 2. Приложения двойного интеграла.Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv спомощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функцийx   (u, v), y   (u, v) .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги