Galkin_Lektsii (967479), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Если рядn 1признакусходимостирядаnan 1nсходится.сходится, то  lim n S n  S , а по необходимомуan  0приn   .Поэтомупоследовательностьn f ( x)dx  (неубывающая, так как f ( x)  0 ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме1n11Вейерштрасса  lim n  f ( x)dx  f ( x)dx , т.е. несобственный интеграл сходится.Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается отпротивного.Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся«одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то идругой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.b11dxlimdx  lim b ln b  ln 1   - интеграл расходится, поэтому иb  1 xx1гармонический ряд расходится.1Пример.

Рассмотрим «ряды Дирихле»  p . Название взято в кавычки, такт 1 nнеизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.dx1 p1 x p  lim b b  1  p  1 . Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится приP<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд).

Отсюда следуетвывод1  сходится при p  1.pт 1 n расходится при p  1Интересно, что рядn 111 n ln n ,  n ln n ln ln nn21 n lnqnсходится при q  1 и расходится при q  1 , интегралырасходятся (проверьте по интегральному признаку).n 3Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимисярядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можноиспользовать как эталонные при сравнении рядов.

Сравнивать ряды можно с помощьюпризнаков сравнения.Признаки сравнения рядов.Первый признак сравнения рядов.47Пусть выполнено неравенство an  bn n . Тогда из сходимости рядасходимость рядаan 1na, а из расходимости рядаn 1nbnn 1следует расходимость рядаследуетbn 1n.Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияетна сходимость и неравенство an  bn можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтомуэту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но еевсегда надо иметь в виду.bДоказательство. 1) Пусть рядn 1nсходится.

Тогда выполнено неравенствоS a n  S b n  S b n . Поэтому последовательность частичных сумм S a n ограничена сверхучислом S b . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса lim n S a n  S a  S b . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельномпереходе в неравенстве.2) Пусть рядan 1nрасходится.

Если рядbn 1n a n сходится. Противоречие. Следовательно, рядn 1сходится, то по п.1 доказательства и рядbn 1nрасходится.Пример. Ряд111расходится, так как , а рядln n nn 2 ln n1n(гармонический)n 2расходится.Второй признак сравнения.an C  0 . Тогда ряды  a n и  bn сходятся или расходятсяbnn 1n 1«одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то идругой расходится.aДоказательство. Раскроем определение предела.   0 N  , n  N n  C   .bnПустьlim nС  an C  ,bnbn (C   )  a n  bn (C   ) .Если ряд a n сходится, то по 1 признаку сравнения рядn 1( C    0, так как  мало) , ряд b (C   )n 1nсходитсяbn 1nсходится (свойство сходящихся рядов).Если ряд bn сходится, то рядn 1 b (C   )n 1nтогда по 1 признаку сравнения рядan 1nсходится.сходится (свойство сходящихся рядов),48Пусть ряд a n расходится.

Если рядbn 1an 1nn 1сходится, то по предыдущему рядnсходится (противоречие).Пусть ряд bn расходится. Если рядan 1n 1nсходится, то по предыдущему рядbn 1nсходится (противоречие).n 2  4n  2расходится по второму признаку сравнения (рядn3  n  5сравнения – гармонический ряд).1 sin 2 n  111nРядсходится. sin 2 ~ 2 n   , arctgn - ограничена. Рядnarctgnnnn21сравнения  2 - сходящийся ряд Дирихле.n 2 nПример. Ряд с a n Признак Даламбера.Конечная форма признака Даламбера.a n 1 q  1 , тогда рядana n 1 q  1 , тогда рядanПусть n  NПусть n  NДоказательство.

Пусть n  Nan 1nсходится.nрасходится.an 1a n 1 q  1.anТогда an1  qan  q 2 an1  q 3 an2  ...  q n a1 .S n  a1  a 2  ...  a n  a1  a1q  ...  a1q n1  a1 (1  q  q 2  ...  q n1 ) a1,1 qирядan 1nсходится. Можно было, не оценивая частичную сумму ряда, заключить, что рядсходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрическойпрогрессией.a n 1Пусть n  N q  1 , Тогда a2  qa1  a1 , a3  qa2  q 2 a1  a1 ...an  q n1a1  a1 .anПоэтому a n не стремится к нулю при n   , необходимый признак сходимости ряда невыполнен, рядan 1nрасходится.Предельная форма признака Даламбера.49a n 1a q  1 , тогда ряд  a n сходится.

Пусть lim n n 1  q  1 , тогда рядanann 1aa n расходится. Если lim n n 1  q  1 , то признак не позволяет сделать вывод оann 1сходимости или расходимости ряда.Пусть lim nДоказательство. Пусть lim nПри малом 0  q  a n 1a q  1 . Тогда   0 N  , что n  N n 1  q   .anana n1 q    1 . По конечной форме признака Даламбера рядanan 1nсходится.Пусть lim n 1 q  a n 1a q  1 . Тогда   0 N  , что n  N n 1  q   . При маломanana n 1, то есть n  Nanan1  an .

Поэтому a n не стремится к нулю при n   ,необходимый признак сходимости ряда не выполнен, рядan 1nрасходится.Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержитпроизведение некоторых чисел или факториал.Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формулеnnСтирлинга n!~   2 n при n   и применять второй признак сравнения.en!Пример.  n .n 1 na(n  1)!n nnn11lim n n 1  lim nlim lim n  1 .

Ряд сходится поn n 1nnane(n  1) n!(n  1) 11   nпризнаку Даламбера.a n 1 e n 1 n  1!n ne n n!en  1n ne.Рассмотрим 1 , такnn 1 nnnan(n  1) e n! n  1n  1n 1 n 11   nПример.n 1как последовательность 1   , монотонно возрастая, стремится к e при n   , то nan  N n 1  1 .

Следовательно, n  N an1  an . Поэтому a n не стремится к нулюanпри n   , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, рядan 1nрасходится.50a n 1ane 1 . Поэтому признак Даламбера вn 1lim n 1   nпредельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак вконечной форме позволяет установить расходимость ряда.Заметим,чтоlim nРадикальный признак Коши.Конечная форма радикального признака Коши.Пусть n  NПусть n  Nnnan  q  1 , тогда рядaan  q  1, тогда рядaДоказательство. Пусть n  Nn 1n 1nnсходится.расходится.nan  q  1 . Тогда an  q n , q  1 , ряд  a n сходитсяn 1по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.n  NПустьnan  q  1.

Тогдаa n  q n  1 , рядan 1nрасходится, так какнеобходимый признак сходимости ряда не выполнен.Предельная форма радикального признака Коши.Пусть lim nnПусть lim nnanсходится.an  q  1 , тогда рядanрасходится.Доказательство. Пусть lim nnnnn 1n 1an  q  1 , тогда   0 N , n  Nan  q    1 при малом  . Рядпризнака Коши.Пусть lim nan  q  1 , тогда рядan  q   .an 1nсходится по конечной форме радикальногоan  q  1 , тогда   0 N , n  Nмалом  . Тогда a n  q n  1 , рядnnan  q   .nan  q    1 приan 1nрасходится, так как необходимый признак сходимостиряда не выполнен.n2 nПример.  n 1n 1 3lim n a n  lim nn2n 3n 2  1 , ряд сходится по радикальному признаку Коши в33предельной форме.Замечание. У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Нипризнак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость51гармонического ряда.

Проверьте это. Гармонический ряд расходится, но расходится такслабо, что попадает в «зону нечувствительности» указанных признаков. Интегральныйпризнак Коши имеет меньшую «зону нечувствительности» и позволяет установитьрасходимость гармонического ряда.Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихсязнакоположительных рядах.aПустьn 1n- сходящийся знакоположительный ряд. Тогда его члены можнопереставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.Доказательство. Проведем доказательство по индукции.Пусть меняются местами два члена ряда ak и am , m  k .

Характеристики

Список файлов книги