Galkin_Lektsii (967479), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

V : 0. n! xnсходится только в точке x  0 , во всех остальных точках рядn 1xn2) Ряд сходится во всех точках оси, V  R .n 1 n!(1) n x n3) Ряд сходится в области V  (1,1] .nn 1574) Ряд1 n  cos xрасходится во всех точках оси V  .n 1Функциональный рядuт 1n( x) называется равномерно сходящимся в области V, если  0 N   , что n  N , x  V S n ( x)  S ( x)  u n1 ( x)  ...   .Здесь номер N зависит только от  , но не от точки x, поэтому номер N выбираетсясразу для всей области V.

Ряд сходится с одной и той же скоростью для всех точек областиV. Такая сходимость напоминает сходимость числовых рядов. Действительно, равномерносходящиеся ряды обладают очень полезными свойствами, которые мы обсудим ниже.Критерий Коши равномерной сходимости ряда.Для того чтобы функциональный рядuт 1n( x) равномерно сходился в области V,необходимо и достаточно, чтобы  0 N ( ), x  V , n  N , p  0 S n p ( x)  S n ( x)  u n1 ( x)  ...u n p ( x)   .Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.Пусть члены функционального ряда u n (x) можно мажорировать (ограничить помодулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда,u n ( x)  cn , x  V ,  cn  C .n 1Тогда функциональный рядuт 1n( x) равномерно сходится в области V.Доказательство.

Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерийКоши   0 N ( ) n  N , p  0 cn1  ...  cn p  cn1  ...  cn p   (рядзнакоположителен, ck  0 ).Тогда   0 N ( ), x  V , n  N , p  0 u n1 ( x)  ...u n p ( x)  u n1 ( x)  ... u n p ( x) cn1  ...  cn p   .Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и рядuт 1n( x) сходится в области V равномерно.sin nxsin nx11,арядПример. Ряд  2 сходится равномерно в R, так как222nnт 1 nn 1 nсходящийся числовой ряд.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.Теорема о непрерывности суммы ряда.Пусть члены u n (x) функционального рядаuт 1n( x) - непрерывные функции в точкеx 0 - внутренней точке области V. Пусть рядuт 1n( x) сходится равномерно в области V.Тогда сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке x0  V .58Доказательство.

Так как ряд сходится равномерно в V, то 0 N ( ), n  N , x  V S n ( x)  S ( x) , в частности S n ( x0 )  S ( x0 ) .333Так как u n (x) - непрерывные функции в точке x 0 , то и S n (x) непрерывна в x 0 каксумма конечного числа непрерывных функций.Зафиксируемn>N.ПонепрерывностиS n (x)3 0  ( )  0, x  x0    S n ( x)  S n ( x0 ) .3Оценим S ( x)  S ( x0 )  S ( x)  S n ( x)  S n ( x)  S n ( x0 )  S n ( x0 )  S ( x0 ) .3 3 3Итак   0  ( )  0, x  x0    S ( x)  S ( x0 )   , то есть сумма функциональногоS ( x)  S n ( x) |  | S n ( x)  S n ( x 0 ) |  | S n ( x 0 )  S ( x0 ) ряда – непрерывная функция в точке x0  V .Теорема о почленном переходе к пределу.Пусть lim xx0 u n ( x)  cn , рядТогда рядсn 1nuт 1n( x) равномерно сходится к S(x) в V, тогда C  lim x x0 S ( x) (ряд из cn сходится к lim x x0 S ( x) ).(без доказательства).Заметим, что суть теоремы содержится в формуле.  lim x x0   u n ( x)    lim x x0 u n ( x) , что и оправдывает название теоремы. n1 n 1Теорема о почленном интегрировании.Пусть u n (x) непрерывны в V, пусть ряд bифn 1uт 1n( x) равномерно сходится в V.

Тогда ряд  u n ( x)dx сходится к  S ( x)dx, где S ( x)   u n ( x), a, b  V , a  b ,n 1 aтоестьфункциональный ряд можно почленно интегрировать.Заметим, что суть теоремы содержится в формулеb  ba n 1n 1 a  u n ( x)dx    u n ( x)dx.Доказательство. Так как рядuт 1n( x) равномерно сходится в V, то его сумма S(x) bнепрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) и  S   S ( x)dxa59 bbТак как u n (x) непрерывны, то  u n ( x)dx  u n . Составим рядun 1 aabчто он сходится к  S ( x)dx.

Обозначим частичную сумму S n aТак как рядuт 1nk 1 a( x)dx , покажем,bu k ( x)dx   S n ( x)dz.a( x) равномерно сходится в V, то n  N S n ( x)  S ( x)   , x  V .Оценимbb S  S n   S ( x)dx   S n ( x)dx a bnabbbaaa S ( x)  S n ( x)dx   S ( x)  S n ( x) dx    dx   b  a  .Теорема о почленном дифференцировании.Пусть u n ( x), u n ( x) непрерывны в V. Пусть ряд u n ( x) сходится в V, а рядт 1uт 1n( x)u.равномерно сходится в V. Тогда рядт 1причем (  u n ( x) )  =т 1uт 1nn( x) можно почленно дифференцировать,( x) .Доказательство. Так как рядuт 1n( x)сходится равномерно, то его суммаS x    u n x  - непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы ряда).

Ее можноn 1интегрировать, применяя теорему о почленном интегрировании.xx xS(x)dxu(x)dxudx n u n ( x)  u n (a)  S ( x)  S (a)  naan 1n 1 an 1 Дифференцируя, получим S x   S  , то есть S ( x)   u n ( x)  S ( x)    u n ( x)  .n 1 n1Лекция 14. Степенные ряды.Степенным рядом называется ряд видаan 0n( x  x0 ) n  a0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...

 a n ( x  xo ) n  ...Степенной ряд заведомо сходится при x  x0 , x0 - центр сходимости ряда.Теорема Абеля.1) Пусть степенной ряд сходится в точке x1  x0 . Тогда он абсолютно сходится винтервалеx  x0  x1  x0 , симметричном относительно x 0 .602) Пусть степенной ряд расходится в точке x1  x0 . Тогда он расходится в областиx  x0  x1  x0 .Доказательство.1) Пусть степеннойan 0nрядсходитсявточкеx1  x0 ,тогдачисловойряд( x1  x0 ) n сходится.

Тогда по необходимому признаку сходимости рядаan ( x1  x0 ) n n 0 . Тогда   0 N ( )  0, n  N an ( x1  x0 ) n   .Рассмотрим произвольное, но фиксированное x :x  x0  x1  x0 .x  x0( x  x0 ) nОценим a n ( x  x0 )  a n( x1  x0 ) n  a n ( x1  x0 ) nn( x1  x0 )x1  x0nnгде qx    q n ( x) ,x  x0 1 в области x  x0  x1  x0 , n  N .x1  x0первому признаку сравнения числовых знакоположительныхПоaт 0nnx  x0nрядоврядсходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающейгеометрическойпрогрессией qn, 0  q  1.Следовательно,вобластиn 0x  x0  x1  x0 степенной ряд абсолютно сходится.2)Пусть степенной ряд расходится в точке x1  x0 .

Рассмотрим x : x  x0  x1  x0 .Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точкеx1 . Противоречие.Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы,меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда вобласти V не гарантируется.Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.Рассмотрим монотонно убывающую последовательность | xk  x0 |, такую, что в точкеx k степенной ряд a xn 0n x0  расходится. Если выбрать xk  x0 , то степенной ряд будетnkсходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизунулем.

По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числоваяпоследовательность имеет предел. То есть R  lim k  xk  x0 .Такое число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно,степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале x  x0  Rсходимости степенного ряда.61Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного рядаan 0x  x0 . Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признакnnДаламбера или радикальный признак Коши.Применяя признак Даламбера, имеемn 1a n 1 x  x0a n 1lim n x  x0 lim n 1. Отсюда x  x0 nana n x  x0Поэтому R  lim n1lim na n 1.anan.a n 1Применяя радикальный признак Коши, имеем11.x  x0 lim n n a n  1, x  x0 , Rlim n n a nlim n n a nТак определяется радиус сходимости степенного ряда.Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точкахx  x0  R, x  x0  R.

Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычнымчисловым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.Пример.(1) n ( x  3) n.n 5nn 1| (1) n | | ( x  3) n |  x  3Составим ряд из модулей , применим радикальныйnn 5nn 1n 1 n 5nx3 1, x  3  5 .nРадиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8).

Исследуем сходимость ряда награнице, подставляя точки x= -2, в исходный ряд.. 1n  5n   1 - гармонический ряд, он расходится.В точке x = -2 имеем ряд n 5nт 1n 1 nпризнак Коши lim nnВ точке x = 8 имеем ряд 1n 5nт 1n 5n(1) n- сходящийся (по признаку Лейбница)nn 1знакочередующийся ряд.Область сходимости исходного ряда (-2, 8].Теорема.

Характеристики

Список файлов книги