УТС_Раздел_2_2009 (962829), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Найти оригинал от изображения F(s) 

 ???

В данном примере полином D₁ выродился в полином нулевой степени, т.е.

D₁ = const = A.

Легко видеть, что полином D₀ = s²(TS + 1) имеет полюса:

 т.е. два полюса совпадают  к₁ = 2.

Таблица основных преобразований Лапласа.

2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

Используем формулы разложения в ряды на элементарные различные дроби. Наиболее общей является формула Хэвисайда для нахождения оригиналов следующего вида:

где D₀ и D₁ – некоторые полиномы по степеням «s». Например:

, тогда для нахождения оригинала  :

,

к_j – кратность полюсов  - значение полюсов;

Корни уравнения из полинома D₀ – полюса (D₀)

Корни уравнения из полинома D₁ – нули (D₁).

Если все корни разные, к_j = 1; если корни кратные (i равных), то к_j = 2; если к_j = 1, то производной (!) нет.

Пример: предположим изображение некоторого неизвестного процесса

; ?

;

Найдем полюса:

 ; ;

 ; 

 ; 



f(t)

arctgA

t

Разложение на элементарные дроби.

Если корни уравнения различны, т.е. все разные 

(*)

где - корни уравнения; - остаточный член (не разлагается на элементарные действительные дроби);

Используя свойство линейности преобразований Лапласа, мы можем найти как сумму преобразований:

Если полюса совпадают, то формула (*) несколько изменится.

Пример: Имеем известное изображение:

- оригинал: при условиях

Разложение на элементарные дроби:



Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

Вычтем из второго уравнения первое и получим: 



f(t)

1

( перегиб )

t

0 4

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).

x (t) САР (звено) y (t)

X (s)

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где и - постоянные времени;

- коэффициент усиления.

Найдем изображения

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Т.к. начальные условия нулевые 

Если н.у. не нулевые 

При нулевых н.у.



Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного воздействия к входному при нулевых н.у.

- изображение выхода к изображению входа.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример:

x (t) Звено y (t)

Предположим, что звено имеет уравнение динамики:

, н.у. нулевые:

ступенчатое воздействие.

- подставим все это в уравнение динамики 

- уравнение динамики в изображениях

y(t)

0.63k

t

T

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

 (t) Звено y (t) = W (t)

Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

1 (t) y (t) = h (t)

Звено

Весовая функция

x(t) =  (t) y(t)  w(t) x(t)

W(s) пл = 1 w(t)

t

Переходная функция

h(t)

x(t) = 1(t) y(t)  h(t) x(t)

W(s) 1

t

Учитывая, что

 (t) w(t)

W(s)

X(s) = 1 Y(s)  W(s)

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

- обратное преобразование Лапласа

x(t)  1(t) y(t)  h(t)

W(s)

X(s) = 1/s Y(s)  H(s)

H(s) – изображение h(t), т.е.

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.

x(t) y(t) = ?

W(s)

X(s) Y(s) = ?

На вход системы поступает произвольное воздействие x(t) (заранее известное).

Найти: если известны и

- связь между входным и выходным воздействиями.

где х – нелинейное действие.

Символически данное соотношение записывается:

где «*» - знак свертки.

Можно решить с помощью формулы Дюамеля-Карсона:

где  - вспомогательное время интегрирования.

Если  0, то

,

Заменяя в формуле Дюамеля-Карсона верхний предел t на , получим:

Существуют стандартные подпрограммы на ЭВМ для расчета свертки.

Найдем процесс по переходной функции:

x (t) y(t) = ?

W(s)

X(s) Y(s) = ?

Запишем в изображениях связь между входом и выходом:

;

,

Формула для определения справедлива только при нулевых начальных условиях, т.е. когда добавка равна нулю.

2.12. Mетод переменных состояния.

u ₁

W(s)

m CAP p

Система имеет много передаточных функций: количество m*p. Поэтому для таких многомерных систем удобно другое математическое описание.

u₁(t) x ₁ (t) y₁(t)

u₂(t) x₂(t) y₂(t)

u_m(t) x_n(t) y_p(t)

Между «половинами» существуют внутренние переменные , для каждой из которых можно записать линейное ОДУ первой степени.

Обычно . В матричной форме эта система записывается в виде:

,

где - вектор столбец производных переменных состояния;

- вектор столбец переменных состояния;

- вектор выхода; - вектор входа (или вектор управления);

– собственная матрица системы ;

- постоянные коэффициенты;

– матрица входа ; - какие-то постоянные коэффициенты;

– матрица выхода ;

– матрица обхода или дополнительная матрица выхода ;

Собственная матрица системы однозначно определяет динамические свойства системы:

-

первая система представляет собой систему ОДУ в обыкновенной форме Коши, вторая часть - система уравнений, описывающих выход. ОДУ в форме Коши подразумевают наличие начальных условий.

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми  D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать стандартные системы, используя богатое программное обеспечение, с другой стороны для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», переход к описанию в переменных состояния зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Поэтому в дальнейшем мы и будем использовать подобное описание.

2.12. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода. Переход зависит от правой части:

2.12.1. Правая часть содержит только b₀ u(t)

Допустим, что :

Введем новую переменную х₁.

Первое уравнение системы:

.

; ; ; .

2.12.2. Правая часть общего вида

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Характеристики

Список файлов лекций