УТС_Раздел_2_2009 (962829), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

0, если t  0

 (t) = , если t = 0 ;

0, если t  0

Графическая иллюстрация симметричного единичного импульсного воздействия представлена на рисунке 2.10. Фактически  (t) – импульс (с длительностью стремящейся к нулю и амплитудой, равной бесконечности), площадь которого равна 1. .

а) б) в)

Рисунок 2.10 – Варианты представления симметричного импульсного воздействия

Для симметричного единичного импульсного воздействия (t) существует аналитическая форма представления:

 (t) = ;  Покажем, что интеграл равен 1, 0 

,

где u = ht и - интеграл ошибок равный .

Смещенные (асимметричные) единичные импульсные воздействия определяются как:

где  - сколь угодно малое положительное число (  0).

Графическая иллюстрация смещенных единичных импульсных воздействий представлена на рисунке 2.11.

а) б)

Рисунок 2.11 – Смещенные единичные импульсные воздействия

Внимание. В дальнейшем в курсе «УТС» будет использоваться только ₊ (t).  Индекс «+» опускается…  ₊ (t) (t).

Поскольку смещенное единичное импульсное воздействие фактически имеет разрыв при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать смещенное единичное импульсное воздействие:

, (2.4.3)

где Т – постоянная времени, а текущее время !!!

На рисунке 2.12 представлена графическая иллюстрация аппроксимации (t) по формуле (2.4.3).

(t)

t

T ₁  T ₂  T ₃

Рисунок 2.12 – Графики аппроксимаций единичного импульсного воздействия

Реакция САУ (звена) на воздействие  (t) называется весовой функцией.

1. Единичное гармоническое воздействие

Данное воздействие используется для анализа частотных характеристик САУ (звена) в установившемся режиме колебаний в системе, т.е. свойства САУ (звена) исследуются при больших значениях t (времени), когда влияние начальных условий пренебрежимо мало и движение (колебания) системы определяются только входным внешним воздействием.

x(t) = sin t, (2.4.4)

где  - круговая частота, [1/с];  = 2f, где f - частота в Герцах.

На рисунке 2.13 представлен график единичного гармонического воздействия.

Рисунок 2.13

Поскольку при анализе частотных характеристик САУ рассматривается режим установившихся вынужденных колебаний САУ (при больших значениях времени t  когда собственная составляющая переходного процесса пренебрежимо мала), то удобнее представить x(t) в показательной форме. 

(2.4.5)

Необходимо отметить, что показательная форма – «комплексное » воздействие. 

(2.4.6)

Действительная часть «комплексного » воздействия (Re) – на самом деле косинусоидальное воздействие. Но так как частотные характеристики САУ определяются в режиме установившихся гармонических колебаний (т.е. при «очень-очень» больших значениях t), то не важно, по какому закону вводилось единичное гармоническое воздействие – по «синусу» или по «косинусу».

1. Линейное воздействие

Данный вид входного воздействия используется для оценки точности систем управления, а именно, для определения скоростных ошибок.

x(t) = a∙t, (2.4.7)

где t  0, а при t < 0 входное воздействие всегда равно нулю.

На рисунке 2.14 представлен график линейного входного воздействия.

Рисунок 2.14 – Линейное входное воздействие

2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа

Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) у_соб(t) записывается в виде (если нет повторяющихся корней):

т.е. все члены уравнения имеют одну и ту же форму. Этот результат наводит на мысль, а нельзя ли ввести какое-то преобразование, в результате которого уравнение динамики (дифференциальное) можно привести к чисто алгебраическому, решение которого не представляет проблем. А если затем сделать соответствующее обратное преобразование, то получим у _соб (t). 

 Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)  Алгебраическое уравнение  Решение   Обратное преобразование  Результат.

Именно такими соображениями руководствовался Лаплас, предлагая такое преобразование, называемое в настоящее время преобразованием Лапласа. 

Предположим, что имеется нестационарный процесс f(t) .  Лаплас предложил ввести интегральное преобразование, которое отображает f(t) на комплексную плоскость по соотношению: 

iIm

c (2.5.1)

Re

Рисунок 2.15

где s = c+i :   ] -; + [; с – абсцисса абсолютной сходимости (обычно в курсе «УТС» с = 0 ); f(t) – прообраз (оригинал); F(s) – изображение (образ);

Символическое обозначение преобразования Лапласа:

f(t) F(s) (2.5.2)

Преобразования Лапласа существует, если:

, - условие сходимости, (2.5.3)

а также при t 0 f(t )= 0.

f (t) iIm

F(s) s = s ₁ = c+ i

 Re

f (t) s = s ₂ = c + i ₂

t s = s ₃ = c + i ₃

s = s ₆ s = s ₄

s = s ₅

Рисунок 2.16 Рисунок 2.17

В соответствии с соотношением (2.5.1) переходной процесс f(t) отображается на комплексную плоскость, где каждому значению оператора Лапласа «s» соответствует свой вектор.  Линия, соединяющая концы векторов называется годографом.

Обратное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

(2.5.4)

Необходимо подчеркнуть, что если условие сходимости выполняется, то любому оригиналу соответствует изображение. Обратное преобразование Лапласа не всегда существует, т.е. если известно F(s), это не означает, что ему соответствует оригинал f(t)!!!

Прямое преобразование Лапласа символически обозначается:

f(t) F(s) или (2.5.5)

О братное преобразование Лапласа обозначается:

F(s) f(t) или (2.5.6)

Существует двухстороннее преобразование Лапласа L_B [f(t)], частным случаем которого является обычное преобразование Лапласа 

(2.5.7)

Е сли при t  0 функция f(t) = 0, то L _B [f(t)]  L[f(t)].

Частным случаем двухстороннего преобразования Лапласа (при с = 0, т.е. s = i) является преобразование Фурье, определяемое соотношениями:

(2.5.8)

2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно f(t) и его изображение по Лапласу: (f(t) F(s), а L[f(t)’ ] – неизвестно.

Воспользуемся соотношением (2.5.1)  

(2.5.9)

где f(0) – начальное условие.

Если начальные условия равны нулю  f(0) = 0;

(2.5.9.а)

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной 

(2.5.10)

Если при t = 0 f(t) и f `(0) равны нулю (нулевые начальные условия), то 

(2.5.10.а)

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

(2.5.11)

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно преобразование f(t) F(s). Необходимо найти ???  по аналогии с предыдущим 

Окончательно:

(2.5.12)

Если начальные условия равные нулю:

(2.5.13)

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы f₁(t) и f₂(t), каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: f₁(t) F₁(s); f₂(t) F₂(s). Если  то 

(2.6.1)

Если f(t)=a f₁(t), то:

(2.6.2)

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть f(t) F(s) - известно, а ??? 



(2.6.3)

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть известно преобразование f(t) F(s), а - неизвестно.

Рисунок 2.18 – Иллюстрация переходного процесса с запаздыванием

(2.6.4)

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

Пусть f(t) F(s) - известно, а - неизвестно.  Опуская выкладки (хотя они и неложные), имеем 

(2.6.5)

2.6.5. Первая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно, а также - существует 

(2.6.6)

s

1. t

Это означает, что оси « t » и « s » формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6. Вторая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно  тогда

(2.6.7)

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа

по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:

• по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;

• по формулам Хэвисайда;

• разложением на элементарные дроби;

• и другие способы.

В справочниках по «Математике» приводятся довольно обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений.

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах  В этом случае используются различные специальные способы 

Если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s » , то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.  если

где D₁(s) и D₀(s) – полиномы по степеням «s ».

, (2.7.1)

где s_j – полюса изображения, т.е. те значения «s » при которых полином D₀(s) обращается в ноль;

k_j – кратность j – го полюса

Если уравнение D₀(s)=0 имеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома D₀(s) выше степени полинома D₁(s). Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

Характеристики

Список файлов лекций