Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 54
Текст из файла (страница 54)
' Параметрами конструкции. Можно попытаться найти оптимальное сочетание па''йаметров, которое приведет к максимальному значению показателя качества. : '::Показатель качества может быть выражен в виде функции параметров. если мы :..'воспользуемся знаниями, полученными при изучении сопротивления материа' дцв. Оптимизируемые параметры называются переменными оптимизации (орик Яиаеюп оанаЫвз), а показатель качества, вычисляемый по этим переменным, :::-:.: )газывается целевой функцией (о(уеспое гипсг1оп). Очевидно, что переменные оп," ''тимизации и целевая функция выбираются конструктором в соответствии с тем, для чего предназначается его творение.
': Оптимизацию конструкции можно описать на математическом языке. Обозначив переменные оптимизации символом Х (п-мерный вектор, компонентами которого являются переменные оптимизации), а целевую функцию символом г(Х), мы можем записать задачу просто: минимизировать (максимизировать) г(Х).
Однако реальный процесс оптимизации от этого не упростится. Очень редко показатель качества задачи может быть выражен одной-единственной целевой функцией. Чаще всего приходится выбирать между разными показателями или строить объединенный показатель с какими-либо весовыми коэффициентами, Зтот процесс называется построением сложной целевой функции (сотроясв оЬувссвв уипсгюп). Мы можем испольэовать некоторые показатели качества как ограничения. Например, вместо того чтобы максимизировать допустимое давление на единицу веса и внутренний объем сосуда одновременно, мы можем ограничить объем некоторым минимальным значением, а максимальности потребовать только от давления на единицу веса. В этом случае ограничении придется каким-то образом включить в математическую формулировку задачи (ниже мы покажем, как зто делается).
Можно ожидать, что в большинстве случаев переменные оптимизации будут иметь ограниченную область определения. Например, высота сосуда не может превышать определенного значения из-за ограниченности высоты помещения. Поэтому вектор Х должен удовлетворять определенным требованиям. Компонентами вектора, разумеется, являются переменные оптимизации. Проект, удовлетворяю щии всем требованиям, называется приемлемым (~евое деядп или ассергаЫв деяяп).
Ограничение, задающее верхнюю или нижнюю границы области опре- деления переменной оптимизацшь называется ограничением области (тебГопа1 зопяга1п» или яав сопяпппг). Ограничение, выведенное из явного рассмотрения функционального требования или показателя качества, называется функциональным, или поведенческим, оцраничвнием (/ипсг(опа1, Ьвйгялог сопяга1пг). С учетом ограничений простая задача оптимизации может быть записана следующим образом: найти Х' е В" такой что г(Х ) = ш1пг(Х) (9.1) при условии, что (9.2) 6(Х )кО 1=1,2,...,т; (9.3) Н,(Х')=0 у=1,2,...~у, (9.4) где т — количество ограничений-неравенств, а у — количество ограничений-равенств. Знак неравенства в формуле (9.3) может быть заменен на противоположный, если условия 6; выражены через отрицания.
Символ Л" обозначает пространство конструкций, получаемое варьированием всех переменных оптимизации. Ограничения области, наложенные на переменные оптимизации, записаны в уравнении (9.2), где Х~ и Մ— нижний и верхний пределы переменных оптимизации соответственно. Обратите внимание, что функциональные ограничения могут быть записаны кзк в виде равенств, так и в виде неравенств ((9.3) и (9.4)). Задача оптимизации, выраженная через максимизацию целевой функции, легко преобразуется к задаче минимизации инвертированием или отрицанием исходной целевой функции.
Пеленая функция г(Х) в формуле (9.1) может быть интерпретирована как уравнение поверхности размерносги и в пространстве и + 1 переменных. Для задач с двумя переменными оптимизации такую поверхносп легко представить в обыч- : 11аа трехмерном пространстве. Координата х точки поверхности — это значение (~(фаэюй функции, соответствующее координатам х и у, полставленным вместо ~~~щиетров.
Процесс оптимизации можно, таким образом, сравнить с восхождетг(мы.на гору в плотном тумане 11491. Альпинист может определить свою высоту -у~~з(:ромощи альтиметра и смотреть вокруг себя, выбирая направление подъема ,й)~р ецуска, но не может обнаружить хребты и провалы, затрудняющие продви- „«~)))й>е по маршруту. Ему приходится следить и за тем, чтобы не свалиться в про,":элнй)яьл что эквивалентно нарушению ограничений в формулах (9.2)-(9А). , .~фф; аничения ство задач оптимизации ставятся вместе с ограничениями, о чем гово- редыдущем разделе. Ограничения могут быть трех типов. Ограничего типа задают область определения переменных оптимизации.
Эти ог- легко выполнить, потребовав, чтобы в процессе поиска переменные или эа установленные рамки. Ограничения второго типа — равенства— размерность пространства решений. Лучшим методол1 обработки этих ий является исключение переменных алгебраическим путем. Однако ключения переменных применим только до тех пор, пока уравнения ог- допускзют решение относительно независимых переменных. При накольких ограничений процесс исключения может стать достаточно м. В некоторых случаях явное решение уравнений может оказаться ным. Альтернативой является использование штрафных функций ипсйоп), о которых речь пойдет ниже ~6] ; 4~,.~рачьему типу относятся ограничения-неравенства. Стандартньш подход к зада'"-~штимизации с такими ограничениями состоит в том, чтобы изменить целевую ю для учета влияния этих ограничений.
Целевая функция модифициру'-'добавлением штрафной функции, увеличивающей ее на большую величину -нарушении ограничений. Идея всех методов штрафных функций проста: при енин ограничения к целевой функции добавляется бесконечно большое ', в противном случае (ограничение не нарушено) целевая функция остает- ней. Следовательно, штрафную функцию Р(Х) можно определить таю ,,'„,'Ё,' О, ХеЯ~, Р(Х) = (9.5) ~+сс, Х я Н~, ':~уф — подмножество Я', соответствующее только допустимым конструкциям, ,'-;ло'клеть таким, которые удовлетворяют всем ограничениям. Теперь мы можем без '!()ураничений решать аадачу минимизации дополнеппой целевой функции, или :йлкакт(ик спуска (г(езсепг~ипсгюп) 17(Х): П(Х) = Г(Х) + Р(Х). (9.6) " ', Однако оптимизация без ограничений в данном случае невозможна (за исключе,::н)вм, быть может, некоторых тривиальных случаев) из-за разрывов в П(Х) на ' . Царапине Н~, а также бесконечности значений вне Н~.
Замена бесконечности на :'«большойл„но конечный штраф не упростила бы задачу, поскольку все равно ос'тались бы численные трудности, Для решения этих проблем предложено было ,использовать две штрафные функции: внутреннюю и внешнюю. 9.2.1. Внешние штрафные функции Внешние шгпрафные функции используются для решения уравнения (9.1). Метод подразумевает использование задач на минимизацию без ограничений, оптимальные решения которых стремятся к решению уравнения (9.1) извне области допустимых конструкций.
В последовательности задач на оптимизацию без ограничений на каждое значение Х н Нг накладывается штраф, в результате чего оптимальное значение стремится к области допустимого. ,~1-::: В качестве аппроксимации штрафной функции из уравнения (9.5) можно предложить приведенную ниже функцию, учитывающую ограничения в виде равенств и неравенств: 5(Х)=~,6,~6,(Х)~ +~,ЦН,(Х)~л, (9.7) где /о, с,(х)>о; ~1, сл(х) <о. (9.8) -;!!-: Ограничения а и ~3 обычно имеют значения 1 и 2, а функции С; и Н; ваяты из уравнений (9.3) и (9А).
Обратите внимание, что Я(Х) = 0 Х е Н", (9.9) 5(Х) > О Х к Н". (9.10) ;;!': 'Для произвольного положительного числа дополненная целевая функция может быть определена как (9.12) ';- . Пример 9Л Найти минимум функции Г(х) = х' (х е Н) при условни х — 1 > О. Оптимальное Решение очевидно: х' = 1, поэтол1у нам нужно только показать, что решение, полученное методом внешних штрафных функций, стремится к тому же числу. Решение Построим дополненную целевую функцию, используя выражение (9.12) с а = 2. Мы получим задачу оптимизации беа ограничений: 1 П(Х, р) = Г(Х)+ — Я(Х).
(9.11) ь Р Заметьте, что П(х, р ) = Г(Х) тогда и только тогда„когда Х соответствует приемлемому проекту, в противном случае 1)(х,р) > Г(Х). Слагаемое ЯХ)/р аппрок:;:"'::'. симирует разрывную функцию Р(Х) из уравнения (9.5) при стремлении р -л О. Итак, метод внешней штрафной функции состоит в решении последовательности неограниченных задач на оптимизацию при й = О, 1, 2, ...: 'Я*...; шш 0(Х р„) = зтпп Г(Х)+ — ~~8~6 (Х)!' + ~! Нз(Х))л рл'л ~ л ~";;:-' при строго уменьшающейся последовательности положительных чисел рь Оптимаж ные значения Хл для р„будут сходиться к настоящел1у оптимуму Х' при -:,:,!,'. увеличении к и приближении рл к нулю.
Эту сходнмость мы подтвердим приве",Ё денным ниже примером. пцпР(х,р„)=пцп х + — л(х — ц 2 г" Р» 3десь б равно 1 при х ( 1 и О для прочих х. Для любого положительного р» функция Р выпукла вниз (рис. 9.1) и ее мини находится в точке »»уы 1 Х» р,+1 За»штате, что для любого положительного р„эта точка не удовлетворяет огра- ' ' '1»йчей»2»о исходной задачи, поскольку значение х оказывается меньше единицы.
' Црк стремлении р» к нулю последовательность точек х» стремится к х = 1 извне рэйрьчненной области значений х. На практике описанная процедура выполня':,:;етсд численным алгоритмом. Любой численный алгоритм останавливается при )й»овдетворении некоторого критерия сходимости, поэтому решение, найденное ,,аут»»дам внешних штрафных функций, будет оптимальным, но не удовлетво- 'ГР!»)й»(зим ограничению исходной задачи. Это внутренняя проблема самого метода ' '~9»й»п»х штрафных функций, который вообще действует только в том случае, »(пгГд«а ограничения нарушаются (ведь штрафные функции являются внешними ',1икг»этношению к области допустимьгх значений).
Рва. 9. т. дополненная целевая функция %,3.2. Внутренние штрафные функции Мэтод внутренних штрафных функций предполагает решение задач с ограничеФаями-неравенствами. через последовательность задач оптимизации без ограниГчйпйй, решения которых строго удовлетворяют ограничениям, то есть находятся »»иутРи области допустимых значений. Это гарантируется барьерной функцией ', "'"(йвг гег»222»сйоп), которая устанавливает бесконечно большой штраф за пересече- н»1е границы области допустимых значений изнутри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
