Осн.урав.,с.28-36 (949080), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если предположить, что процесс распространения звука осуществляется настолько быстро, что можно пренебречь влиянием процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатическим, то

Ф

ормула (2.47) была предложена Ньютоном, а формула (2.48) – Лапласом. Эксперименты подтверждают правильность второй из них. Применяя формулу Клайперона, перепишем (2.48) в виде

Д
ля воздуха  = 1,4;  = 29. Тогда

при T = 273 К (0 ºС) a = 332 м / с.

В
кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа:
Для воздуха  = 1,4, а а составляет 70% от v_s.

В модели несжимаемой жидкости ( = const) a  , т. е. всякое изменение давления в одном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В одних случаях такое предположение можно принимать в расчет, в других – от него приходится отказываться и пользоваться моделью «сжимаемая жидкость – газ», имеющей конечную скорость распространения звука.

Т
аким образом, из (2.46) следует, что скорость звука определяет упругое свойство жидкостей и газов. Упругость капельных жидкостей характеризуется модулем объемной упругости (модулем сжатия), равного отношению изменения давления к относительному изменению объема:

Т
ак как относительное изменение объема равно относительному изменению плотности, т. е. – (dV / V) = d / , то:

Д
ля воды k = 19,6 · 10⁸ (H / м²), тогда

Скорость распространения малых возмущений является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут ли скорости движения частиц среды меньше или больше скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующих двух примерах.

П

Рис. 6. Обтекание
дозвуковым потоком

р и м е р 1. Рассмотрим источник возмущений, расположенный в точке A₀. Если на источник набегает дозвуковой поток (w < a), то волны будут сноситься вниз по потоку: при этом центр волн перемещается со скоростью w < a, а сами волны распространяются со скоростью звука а. За некоторое время t центр волны сместится на расстояние wt, а радиус волны будет r = at, причем at  wt (рис. 6).  Таким образом, возмущения в дозвуковом потоке распространяются и против течения. При этом область возмущения опережает тело, а форма потока изменяется еще до того, как частицы газа придут в соприкосновение с телом.

Е

Рис. 7. Обтекание
сверхзвуковым потоком

сли же скорость w > a, то звуковые возмущения будут сноситься вниз по потоку, т. е. сферические волны будут находиться внутри конуса, огибающего сферу (рис. 7). Этот конус называется конусом возмущения (конусом Маха). Область вне конуса не подвергается возмущению телом, ее можно назвать зоной молчания. Возмущения в сверхзвуковом потоке распространяются по линиям, образующим конус возмущения. Эти линии называются линиями возмущения (или характеристиками). Угол  наклона образующей определяется из условия sin  = a / w = 1 / M. Течения при сверхзвуковом возмущении в отличие от дозвукового потока охватывают область внутри конуса возмущений, т. е. переход скорости звука связан с концентрацией возмущений. Поверхность конуса представляет оптическую неоднородность, достаточно заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объясняется изменением плотности среды под действием сжатия или разрежения в звуковой волне. Измеряя углы Маха по фотоснимкам, можно найти число Маха (M = 1 / sin ), а зная скорость звука, – вычислить и абсолютную скорость потока (w = a M). Заметим, что нормальная составляющая скорости w_n равна скорости звука.

П
р и м е р 2. Рассмотрим истечение газа из баллона большой емкости через суживающийся патрубок в некоторую камеру. Пусть вначале разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость истечения через патрубок не превосходила скорости звука. Будем теперь медленно понижать давление в камере, тогда скорость истечения w начнет повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшением давления) будут распространяться против течения из камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в патрубке не достигнет скорости звука. После этого возмущения уже не смогут проникать в баллон, так как они будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления не отразится на изменении скорости истечения, и она будет постоянна и равна скорости звука (w = a = const). Это явление носит название запирания потока. Если где‑нибудь в потоке скорость газа w станет равна местной скорости звука a, то такая скорость (w = a*) называется критической скоростью. Критическими будут и соответствующие значения: T*, P* и  Выразим критическую скорость через параметры торможения, тогда уравнение энергии для критического сечения примет вид

о
ткуда

где a₀ – скорость звука в адиабатическом и изоэнтропическом заторможенном газе.

Рассмотренные нами два примера показывают, что характер развивающихся в потоке явлений взаимосвязан с величиной отношения скорости в данной точке потока к местной скорости звука. Эта величина называется числом Маха (M = w / a).

Отношение же скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической скорости называется скоростным коэффициентом (  w / a*).

Изоэнтропические формулы
(газодинамические функции)

Н
аряду с одной функцией состояния (энтальпия h) введем в рассмотрение и другую его функцию – энтропию S, определяемую дифференциальным соотношением

где dq – элементарный приток тепла.

Е
сли вдоль траектории движения частицы выполняется равенство dS = 0,
т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется изоэнтропическим. Из термодинамики известно, что соотношение удельной энтропии в конечной форме имеет следующий вид (с точностью до константы):

И
з (2.50) легко вывести (при S = 0) уравнение изоэнтропической адиабаты, или изоэнтропы (адиабаты Пуассона), описывающее адиабатическое движение идеального совершенного газа:

Вообще говоря, из второго начала термодинамики следует, что энтропия является неубывающей функцией времени. Возрастание энтропии в замкнутой, адиабатической системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями (например, потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах). Мы будем рассматривать такие потери механической энергии газа при его прохождении сквозь скачок уплотнения. Здесь движение, являясь адиабатическим, окажется неизоэнтропическим.

И
спользование параметра M в изоэнтропических формулах помогает отразить параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью газа в различных течениях потока при адиабатическом изоэнтропическом движении. Для вывода таких формул воспользуемся уравнением (2.43) в виде

Р
азделив это уравнение на C_PT, будем иметь:

О
кончательно получим функцию температуры:

Д
алее – из уравнений изоэнтропы

а
также из уравнения состояния

п

олучим функцию давления:

Т
огда

т
. е. функция плотности

Д
ля скорости звука

Характеристики

Список файлов лекций