Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 2 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948281), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Производныепроизведений двух функций будут:∂ ( ρV x )∂V∂ρ∂V∂ρ dx= ρ x + Vx=ρ x +,∂x∂x∂x∂x ∂x dt∂ ρV y∂V∂V∂ρ∂ρ dy= ρ y + Vy=ρ y +,∂y∂y∂y∂y ∂y dt∂ ( ρV z )∂V∂ρ∂V ∂ρ dz= ρ z + Vz=ρ z +.∂z∂z∂z∂z ∂z dtСледовательно:∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) ∂ρ+++=∂x∂y∂z∂t((())(22)) ∂V ∂V y ∂Vz ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz ∂ρ= ρ x +++++ . Так как+∂y∂z ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ∂x∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz d ρ+++=,∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt dtто уравнение неразрывности принимает вид:∂Vx ∂V y ∂Vz 1 d ρ+++= 0.(1.23)∂x∂y∂z ρ dtЧастные случаи.1. Для несжимаемой жидкости ρ = const уравнении неразрывности (1.23) выглядит так:∂Vx ∂V y ∂Vz++= divV = 0 .(1.24)∂x∂y∂z2.
Если рассматривается потенциальное течение несжимаемой жидкости с потенциалом скорости ϕ = ϕ( x, y , z , t ) , то по∂ϕ∂ϕ∂ϕсвойству (1.20) производные= Vx ,= Vy ,= Vz , и фор∂x∂y∂zмула (1.24) переходит в следующую:∂ 2ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ++=0.(1.25)∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Это уравнение для потенциала скорости называется уравнениемЛапласа, а функция ϕ , удовлетворяющая этому уравнению, называется гармонической функцией.В гидравлике рассматривали уравнение расхода, представляющее собой интегральную форму закона сохранения массы.Для трубки тока на рис. (1.12)Q = ∫ Vn1 dS1 = ∫ Vn2 dS2 = const .S1S2Уравнение (1.23) является дифференциальной формой законасохранения массы.23Рис.
1.12. К уравнению расходаИнтеграл по замкнутой поверхности общей площадьюΣ = S1 + S2 + S связан с интегралом по объему. По формуле Остроградского — Гаусса:∫ VndS = ∫ divVdW .∑W(При подсчете потока вектора скорости через замкнутую поверхность в левой части этого уравнения примем внешнее направление нормали к поверхности за положительное.) Но в силууравнения неразрывности (1.24) расхождение вектора divV = 0и интеграл по объему в правой части равен нулю.
Представляяинтеграл в левой части как сумму интегралов по участкам замкнутой поверхности и принимая во внимание, что в сечении S1внешняя нормаль направлена в сторону, противоположную Vn1 ,получим:∫ VndS = − ∫ Vn dS1 + ∫ Vn dS2 + ∫ VndS = 0 .1∑S12S2SТак как на поверхности трубки тока Vn = 0 , то последнее слагаемое в этом уравнении равно нулю и∫ Vn1dS1 = ∫ Vn2 dS2 = Q .S124S21.7.
ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВЕКТОРАСКОРОСТИ ВДОЛЬ КРИВОЙ.ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА СКОРОСТИЛинейным интегралом вектора скорости вдоль пространственной кривой AB (рис.1.13). называетсяBnlim∑Vi ∆Si cos αi = ∫ V cos α dSn→∞max ∆Si →0 i =1(1.26)AРис. 1.13. Интеграл вектора скорости вдоль кривой.Циркуляция вектора скоростиBBAAТак как V cos α = VS , то ∫ V cos α dS = ∫ VS dS . Косинус угла αмежду векторами V и S равен сумме произведений направляющих косинусов:cos α = cos ( V , x ) cos ( S, x ) + cos ( V , y ) cos ( S, y ) + cos ( V , z ) cos ( S, z ) .Направляющие косинусы cos ( V, x ) = Vx V , cos ( S, x ) = dx dS итак далее. Поэтому и интеграл (1.26) выражается через проекциивектора скорости Vx , Vy , Vz как∫ VS dS = ∫ (Vx dx + Vy dy + Vz dz ) .(1.27)По определению интеграла при изменении направлениядвижения по кривой25жения по кривойBA∫ VS dS = − ∫ VS dS .A(1.28)BЕсли, как показано на рис.
1.14а, кривую AB можно разбитьна два участка AC и CB, то по определениюBCB∫ VS dS = ∫ VS dS + ∫ VS dS .AA(1.29)CРис. 1.14. Свойства интеграла вектора скорости вдоль кривойЛинейный интеграл вектора V по замкнутой кривой(рис. 1.14б) называется циркуляцией вектора по этой кривой иобозначается ∫ VS dS = Γ . Положительным направлением обходасчитается такое направление, при котором кривая остается слева. Это направление указано на рисунке стрелкой. В дальнейшем циркуляцией будем называть линейный интеграл и по незамкнутому контуру и также обозначать его Γ .Если течение жидкости потенциальное, то имеют место двасвойства.1. Линейный интеграл вектора V равен разности значенийпотенциальной функции ϕ в точках A и B:BBBAAA∫ VS dS = ∫ (Vx dx + Vy dy + Vz dz ) = ∫ d ϕ = ϕB − ϕ A .(1.30)2. Если ϕ — однозначная функция, то значения линейногоинтеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечных точек пути (рис.
1.14в). В частности, циркуляция будет равна нулю по замкнутому контуру.261.8. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ,ПОВЕРХНОСТИ И ТРУБКИДвижение жидкости с вращением частиц называется вихревым. Вращение частиц характеризуется вектором угловой скорости ω ωx , ω y , ωz .
Проекции этого вектора на оси координат()определяются уравнениями (1.15).Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Построим вихревую линию (рис. 1.15а). В точке М угловая скорость ω,в точке М1 угловая скорость ω1 и т.д. Если расстояния ММ1, М1М2,… устремить к нулю, то полигон ММ1М2, … превратится в гладкую кривую, которая и будет вихревой линией. Вихревая линиявыполняет роль криволинейной оси вращения. Если не принимать во внимание деформацию частиц жидкости, то частицы кактвердые шарики с отверстиями нанизаны на нить, которая ислужит вихревой линией.Рис.
1.15. Вихревая линия (а) и линия тока (б)Так как определение вихревой линии аналогично определению линии тока, то дифференциальное уравнение вихревой линии подобно (1.11):dx dy dz==.(1.31)ω x ω y ωzВ общем случае вихревые линии и линии тока не совпадают, как27показано на рис. 1.15б.Вихревые поверхности и вихревые трубки строятся аналогично поверхностям и трубкам тока. Через точки замкнутогоконтура L1 проведем вихревые линии. Эти вихревые линии образуют поверхность, называемую вихревой трубкой (рис.
1.16).Рис. 1.16. Вихревая трубкаУдвоенный поток вектора щ через поперечное сечение вихревой трубки площадью S называется интенсивностью вихревойтрубки в этом сечении(1.32)2 ∫ ωn dS = I .sКак следует из табл. 1.1, основные понятия для поля скоростей и поля вихрей одинаковы.Таблица 1.1Поле скоростей и вихрейПоле скоростейВектор скорости VЛиния токаВихревая линияdx dy dz==ω x ω y ωzПоверхность токаЭлементарная струйкаТрубка токаВихревая поверхностьЭлементарный вихрьВихревая трубкаQ = ∫ Vn dS – поток VI = 2 ∫ ωn dS – удвоенный поток ωS28dx dy dz==Vx Vy VzПоле вихрейВектор вихря ωSВ случае плоского движения жидкости векторы скорости лежат, например, в плоскостях, параллельных плоскости xOy и неизменяются вдоль оси Oz .
Как показано на рис. (6.1) учебникапо гидромеханике [5], в этом случае вихревые линии — прямые,перпендикулярные плоскости xOy . Они пронизывают всю этуплоскость.1.9. ТЕОРЕМА СТОКСАЦиркуляция скорости по замкнутому контуру в односвязномобъёме равна суммарной интенсивности вихрей, пронизывающих поверхность, которая опирается данный контур.Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный плоский контур в окрестности точки M ( x, y ) , как показано на рис.
1.17а.Вихревые линии перпендикулярны плоскости xOy . Вектор ωугловой скорости вращения частиц имеет только одну проекцию ωz . Элементарную циркуляцию по контуру abcda можнопредставить какdГ abcda = dГ ab + dГbc + dГ cd + dГ da .Рис. 1.17. К доказательству теоремы Стокса29Каждая из циркуляций по сторонам прямоугольника равна:dГ ab = Vx dx ,∂V y dГbc = V y +dx dy ,∂x∂VdГ cd = − Vx + x dy dx ,∂ydГ da = −V y dy .Складывая левые и правые части этих уравнений, после сокращений получим: ∂V y ∂Vx dГ abcda = − dxdy .∂y ∂xТак как по (1.15) угловая скорость вращения частицы в точке М1 ∂Vy ∂Vx ωz = −,∂y 2 ∂xтоdГ abcda = 2ωz dxdy = dJ ,что и доказывает теорему Стокса для бесконечно малого прямоугольного контура.Далее рассмотрим плоский контур L площадью S конечныхразмеров (рис.
1.17б). Вертикальными и горизонтальными линиями разделим этот контур на бесконечно малые прямоугольники. Элементарные циркуляцииdГ abcda = 2ω1z dS1, dГbefcb = 2ω2 z dS2 , ............................ , (1.33)dГi = 2ωiz dSi ,............................ , dГ n = 2ωnz dSn . Так как смежные стороны прямоугольников обходятся дважды впротивоположных направлениях, то после суммирования левыхи правых частей этих уравнений и перехода к пределу получим:30nГ L = lim Σ 2ωiz dSi = 2 ∫ ωz dS = J ,n →∞ i =1Sчто также доказывает высказанное в начале параграфа предположение.Рассмотрим общий случай (рис. 1.17в). Рассуждая точно также, как в предыдущем случае, получим тот же результатnГ L = lim Σ 2ωni dSi = 2 ∫ ωn dS = I .n →∞ i =1SТеперь докажем теорему Стокса для многосвязной областипотока, показанной на рис.
1.17г. Эта область потока имеетвнутри два выреза L1 и L2 . Так что область трёхсвязная. С помощью разрезов превратим эту область в односвязную. По доказанному выше для неё справедливо соотношение:Г L + Г L1 + Г L2 = 2 ∫ ωn dS .SПлощадь S берётся за вычетом площади вырезов. При таком женаправлении обхода внутренних контуров L1 и L2 , что и внешнего контура LГ L = 2 ∫ ωn dS + Г L1 + Г L2 .SЕсли число внутренних контуров n, тоnГ L = 2 ∫ ωn dS + Σ Г Li .Si =1(1.34)То есть в многосвязной области циркуляция по внешнему контуру равна интенсивности вихрей, проходящих через поверхность, которая опирается на контур, плюс сумма циркуляций повнутренним контурам. При этом направление обхода всех котнтуров одинаковое.311.10.
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦАО ПОСТОЯНСТВЕ ИНТЕНСИВНОСТИВИХРЕВОЙ ТРУБКИ ПО ЕЕ ДЛИНЕИнтенсивность вихревой трубки в данный момент времениесть величина постоянная для всех её сечений.Рис. 1.18. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длинеПроведём на поверхности вихревой трубки замкнутый контурabcdefa , как показано на рис. 1.18. Линии cd и fa образуютразрез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
