Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 2 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948281), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

По теореме СтоксаГ abcdefa = 2 ∫ ωn dS .SТак как контур abcdefa лежит на поверхности вихревой трубки,где ωn = 0 , то Г abcdefa = 0 . Представим эту циркуляцию в видесуммы:Г abcdefa = Г abc + Г cd +Г def + Г fa = Г abc + Г def = 0 .Поэтому Г abc = − Г def . Если изменить направление обхода контура def на противоположное, то Г abc = Г fed . Но по теореме Стокса32Г abc = 2 ∫ ωn dS = I1 , Г fed = 2 ∫ ωn dS = I 2 .S1S2Следовательно,I1 = I 2 = const ,что и доказывает теорему Гельмгольца.(1.35)Рис. 1.19. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкостиНа основании этой теоремы можно сделать заключение оформе вихревых трубок. По доказанному вдоль вихревой трубки∫ ωndS = const .

По теореме о среднем значении интегралаω1S1 = ω2 S2 = const ,где ω1 и ω2 – средние угловые скорости вращения частиц. Еслипредположить, что вихревая трубка заканчивается в жидкостиостриём, т.е. S2 → 0 , то ω2 → ∞ (рис. 1.19а). Но бесконечнобольшие скорости физически невозможны. Следовательно, вихревая трубка не может заканчиваться остриём в жидкости.

Вихревая трубка заканчивается на границах области потока или замыкается сама на себя, как показано на рис. 1.19б. Границамиобласти потока служат боковые стенки сосуда, его дно и свободная поверхность жидкости, где и располагаются концы вихревых трубок. На рис. 1.2 представлена пелена вихревых трубок.Их концы прикреплены к задней кромке крыла.331.11. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ1.11.1. Массовые и поверхностные силы, свойства давленияв идеальной жидкостиМассовая сила, отнесенная к единице массы, называется единичной массовой силой (рис. 1.20).Рис. 1.20. Массовая и поверхностная силыПо определению единичная массовая сила в данной точке∆Flim.∆m→0 ∆mОна численно равна ускорению и имеет размерность Н/кг = м/c2.Если проекции силы на оси координат Fx , Fy , Fz , то проекцииединичных массовых сил:∆Fx ,X = lim∆m → 0 ∆m ∆Fy Y = lim,(1.36)∆m → 0 ∆m∆Fz Z = lim.∆m → 0 ∆ m В идеальной движущейся жидкости касательные напряженияравны нулю, и имеются только нормальные напряжения.

Нор34мальное напряжение в данной точке жидкости называется давлением. Давление в идеальной движущейся жидкости обладаетследующими свойствами:1. Давление направлено по нормали внутрь жидкости.2. Давление в данной точке по всем направлениям одинаково,т.е. не зависит от ориентировки площадки (рис. 1.21):px = p y = p z = pn = p = const .(1.37)Рис. 1.21.

Давление в данной точке потока идеальной жидкостипо всем направлениям одинаково1.11.2. Уравнения движения идеальной жидкостив форме ЭйлераРассмотрим элементарную частицу жидкости, движущуюся снекоторым ускорение под действием приложенных к ней массовых и поверхностных сил (рис. 1.22).Рис. 1.22. К выводу уравнений движения идеальной жидкости Эйлера35Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось Оx:dV∂pρdxdydzX + pdydz − ( p + )dydz = ρdxdydz x .dt∂xПосле сокращения на ρdxdydz получим в проекции на ось Оx:1 ∂p dVxX−=(1.38)dtρ ∂xи аналогично в проекции на другие оси1 ∂p dVy,(1.39)Y−=dtρ ∂y1 ∂p dVzZ−=.(1.40)ρ ∂zdtВ этих уравнениях проекции X, Y, Z единичных массовых силизвестны.

Неизвестные: ρ, p, Vx , V y , Vz , . Три уравнения содержат пять неизвестных. Система незамкнута и не имеет решения. Поэтому к ней добавляются еще два уравнения: уравнениенеразрывности∂Vx ∂Vy ∂Vz 1 d ρ+++=0∂x∂y∂z ρ dtи уравнение состоянияρ = f ( p, T ) .Например, для совершенного газа p = ρRT . В частных случаях изотермического процессаp= const,(1.41)ρадиабатического процессаp= const ,(1.42)ρkгде k = c p cV c p — показатель адиабаты.Если жидкость несжимаемая,тоρ = const(1.43)Для интегрирования уравнений (1.38) — (1.40) должны бытьзаданы начальные и граничные условия. При этих условиях система пяти уравнений с пятью неизвестными будет иметь единственное решение.361.11.3.

Уравнения движения идеальной жидкости в формеГромека — ЛембаДля удобства интегрирования уравнений Эйлера формальнопреобразуем их. Вначале преобразуем правые части уравнений.В соответствии с (1.6) ускорение в проекции на ось Оx:dVx∂V∂V∂V ∂V= Vx x + Vy x + Vz x + x .(1.44)dt∂x∂y∂z∂tТак как V 2 = Vx2 + Vy2 + Vz2 , то частная производная:222∂Vy∂  V 2  ∂  Vx + Vy + Vz ∂V∂V=+ Vz z . = Vx x + Vy∂x  2  ∂x 2∂x∂x∂xСогласно (1.15)∂Vy ∂Vx∂Vx ∂Vz−, 2ωz =−.∂z∂x∂x∂yПодставляя соответствующие величины в (1.44), получим:dVx ∂Vx ∂ V 2=+ ( ) + 2(ω yVz − ωzVy )dt∂t ∂x 2и по правилу круговой перестановки значков:dVy ∂Vy ∂ V 2=+ ( ) + 2(ωzVx − ωxVz ) ,dt∂t ∂y 22ω y =dVz ∂Vz ∂ V 2=+ ( ) + 2(ωxVy − ω yVx ) .dt∂t ∂z 2Далее преобразуем левые части уравнений Эйлера.

Пустьвнешние массовые силы имеют потенциал U ( x, y, z , t ) , т.е.∂U∂U∂U=X,=Y ,=Z.(1.45)∂x∂y∂zКроме того, пусть некоторая функция P( x, y, z , t ) — функцияГромека обладает свойством:∂P 1 ∂p ∂P 1 ∂p ∂P 1 ∂p=,=,=.(1.46)∂x ρ ∂x ∂y ρ ∂y ∂z ρ ∂zПосле подстановок в (1.38) это уравнение приобретает вид:37∂U ∂P ∂Vx∂ V 2 −=+ 2 ω yVz − ωzVy + .∂x ∂x∂t∂x  2 Следовательно, уравнения движения идеальной жидкости вформе Громека — Лемба запишутся как∂ V 2  ∂Vx+ 2 ω yVz − ωzVy ,  U − P − =∂x 2  ∂t∂ V 2  ∂Vy+ 2 ( ωzVx − ωxVz ) , (1.47)U − P −=∂y 2  ∂t∂ V 2  ∂Vz+ 2 ωxVy − ω yVx .

 U − P − =∂z 2  ∂tТак как в данный момент времени полный дифференциал потенциала внешних массовых сил∂U∂U∂UdU =dx +dy +dz ,∂x∂y∂zто потенциал можно найти из уравненияdU = Xdx + Ydy + Zdz .(1.48)Например, если жидкости движется в поле сил тяжести, а ось zнаправлена вертикально вверх, тоX = Y = 0 , Z = −g иU = −gz + const .Далее найдем функцию Громека. Умножая каждое из уравнений (1.46) на dx, dy, dz и складывая их, получим, что в данныймомент времениdpdpdP =и P = ∫ + const .(1.49)ρρЕсли плотность жидкости зависит только от давленияρ = f ( p) ,(1.50)то она называется баротропной.

Жидкости, плотность которыхне есть функция одного только давления, называются бароклинными. Примером бароклинной жидкости может служить совершенный газ, подчиняющийся уравнению состояния Менделеева — Клайперона(38)()()p = ρRT .(1.51)Для баротропной жидкости легко найти функцию Громека. Например, если жидкость несжимаемая ρ = const , тоpP = + const .(1.52)ρpЕсли процесс изотермический, то = c иρdpP = c∫= c ln p + const .(1.53)ppЕсли процесс адиабатический, то k = c иρP=∫dp1p k=1kc1−p1k11−k+ const .(1.54) cОтметим, что потенциал внешних массовых сил и функцияГромека определены с точностью до постоянных интегрирования.1.11.4.

Интегралы уравнений движениядля частных случаевРассматриваем движение (1) идеальной (2) баротропной жидкости при наличии массовых сил, обладающих (3) однозначнымпотенциалом. Вначале интегрируем уравнения (1.47) для установившегося движения, при котором∂Vx ∂Vy ∂Vz===0.∂t∂t∂tИнтеграл Эйлера. Дополнительно полагаем, что движениепотенциальное. Тогда ωx = ω y = ωz = 0 и правые части уравнений (1.47) обращаются в нуль. Так что∂V2 ∂ V2 ∂V2 ,,U−P−=0U−P−=0U−P− =0 (1.55)∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 39V2Для установившегося движения трехчлен U − P −в общем2случае является функцией координат.

Однако уравнения (1.55)показывают, что в рассматриваемом случае он не зависит от координат, и следовательно,V2U −P−= C (для всех точек потока).(1.56)2Интеграл Бернулли. Рассматриваем более общий случайвихревого движения. Выбираем частицы жидкости на даннойлинии тока, для которойdx dy dz== .Vx Vy Vz(1.57)Умножим первую строку (1.47) на dx , вторую – на dy , третью –на dz , сложим уравнения почленно и получим:V2 d U − P −=2 (1.58)()()= 2  ω y (Vz dx − Vx dz ) + ωz Vx dy − V y dx + ωx V y dz − Vz dy  .Но вследствие (1.57) правая часть уравнения (1.58) обращается внуль и поэтому:V2U −P−= Cл (для точек данной линии тока). (1.59)2Интеграл Громека. Если вихревые линии совпадают с линиями тока, то такое движение называется винтовым (рис.1.23).Рис.

1.23. Винтовое движение жидкости40При таком движении частицы в своем мгновенном вращенииповорачиваются вокруг касательных к линиям тока, как показано на рис. 1.23. Направляющие косинусы векторов щ и VωV cos ( ω, x ) = x , cos ( V, x ) = x ; ωVVy ωxcos ( ω, y ) =, cos ( V, y ) = ; ωV ωV cos ( ω, z ) = x , cos ( V, z ) = z .

ωV Так как cos ( ω, x) = cos ( V, x) , cos ( ω, y) = cos ( V, y) , cos( ω, z) = cos( V, z) ,тоω x ω y ωz==.(1.60)Vx Vy VzПереписывая (1.58) в видеV2 d  U − P − =2()()= −2  Vy ωz − Vz ω y dx + (Vz ωx − Vx ωz )dy + Vx ω y − Vy ωx dz и имея в виду (1.60), получаемV2U −P−= C (для всех точек потока).(1.61)2На рис. 1.24 показана вихревая пелена за крылом. Аналогичная пелена появляется за лопастью осевой гидромашины.Рис. 1.24.

Вихревая пелена за крылом по данным [10]41Вихревые нити «подвешены» к задней кромке крыла и придвижении крыла сбегают с него, как нить с веретена. Движениечастиц жидкости, составляющих пелену — винтовое. Поэтомудля любых точек пелены справедливо соотношение (1.61).Интеграл Лагранжа. Теперь интегрируем уравнения (1.47)для неустановившегося потенциального движения жидкости,при котором ωx = ω y = ωz = 0 . В этом случае уравнения (1.47)принимают вид:∂ ∂ V 2  ∂VxV 2  ∂Vy,, U − P −= U − P − =∂x 2  ∂t∂y 2  ∂t∂ V 2  ∂Vz. U − P −=∂z 2  ∂tЧастные производные от потенциала скорости ϕ по координа∂ϕ∂ϕ∂ϕтам равны:= Vx ,= Vy ,= Vz ,∂y∂y∂zПоскольку значение частной производной не зависит от порядкадифференцирования, то∂Vx ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  ∂Vy ∂  ∂ϕ  ∂Vz ∂  ∂ϕ =  ,=  =  ,=  .∂y  ∂t  ∂t∂t∂t  ∂x  ∂x  ∂t  ∂t∂z  ∂t Подставляя эти производные в предыдущие уравнения, найдем:∂ V 2 ∂ϕ ∂ V 2 ∂ϕ − =0,−  = 0,U − P −U − P −∂x 2 ∂t ∂y 2 ∂t ∂ V 2 ∂ϕ (1.62)−  = 0.U − P −2 ∂t ∂z В общем случае неустановившегося движения четырехчленV 2 ∂ϕU −P−−является функцией координат и времени.

Одна2 ∂tко уравнения (1.62) показывают, что в данном случае он не зависит от координат и поэтому в данный момент времениV 2 ∂ϕU −P−−= C (t ) (для всех точек потока). (1.63)2 ∂t42Здесь C (t ) — функция интегрирования, которая зависит от времени t и не зависит от координат x, y, z. В данный фиксированный момент времени эта функция постоянна.∂ϕВыясним физический смысл производнойв уравне∂tнии (1.63). Выберем в потоке жидкости две произвольные точки 1 и 2 и соединим их дугой длиной S (рис.

1.25). Дифференциал потенциала скорости равен дифференциалу циркуляции∂ϕ∂ϕ∂ϕdϕ =dx +dy +dz = Vx dx + Vy dy + Vz dz = d Γ = Vs dS .∂x∂y∂zРис. 1.25. К вычислению производной потенциала скорости по времениИнтегрируя это уравнение в данный момент времени от 1 до 2,получим:2ϕ2 − ϕ1 = ∫ Vs dS .1Производная по времени от этого выражения2∂ ∂ϕ   ∂ϕ   −   = ∫ Vs dS . ∂t 2  ∂t 1 ∂t 1Так как S и t являются независимыми переменными, то выполним вначале дифференцирование под знаком интеграла, а затеминтегрирование.432∂Vs ∂ϕ   ∂ϕ dS .  −  = ∫ ∂t 2  ∂t 1 1 ∂t∂Vs— ускорение в данной точке или проекция∂tинерционной силы, отнесённой к единице массы жидкости. По∂VsэтомуdS является элементарной работой инерционной си∂tПроизводная2лы на бесконечно малом пути dS , а∂VsdS — работа при пе∂t1∫ремещении вдоль кривой S от точки 1 до точки 2 .

Следова∂ϕ ∂ϕ   ∂ϕ — энергия единицытельно,   −   — это работа, а∂t ∂t 2  ∂t 1массы жидкости в данной точке потока.Уравнение (1.63) можно истолковать следующим образом.При неустановившемся потенциальном течении полная энергияединицы массы жидкости в любых двух точках потока в данныймомент времени одинакова.В частном случае движения несжимаемой жидкости в полеpсилы тяжести U = − gz + const , а P = + const . Поэтому уравнесния (1.56), (1.59) и (1.61) примут вид:p V2p V2gz1 + 1 + 1 = gz2 + 2 + 2 .(1.64)с2с2Причем, в случаях потенциального и винтового движений точки1 и 2 — любые две точки потока. В случае вихревого движенияточки 1 и 2 выбираются на данной линии тока. При тех же условиях интеграл Лагранжа ( 1.63) запишется такp V 2  ∂ϕ p V 2  ∂ϕ gz1 + 1 + 1 +   = gz2 + 2 + 2 +   .

Характеристики

Список файлов книги