Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 2 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948281), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, по соседству с точкой А найдутся точки, в которых будет∂ϕ ∂ϕ > = VA∂x ∂x Aи в которых тогда и подавно будет222 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 2 + + > VA или V > VA . ∂x ∂y ∂z Но это противоречит предположению о том, что в точке A скорость максимальна. Максимум или минимум скорости имеетместо на границах области потока.Например, при обтекании крылового профиля в точке A разветвления потока скорость минимальна и равна нулю, а в точке M входной кромки скорость достигает максимума, как показано на рис.
1.33а. По уравнению Бернулли давление в этой точке минимальное. Если оно достигает давления насыщенного пара, то в окрестности точки М развивается кавитация (рис. 1.33б).53абРис.1.33. Распределение давленийи кавитация на крыловом профиле4. При существовании однозначного потенциала линии токане могут быть замкнутыми.В противном случае получилось бы, что циркуляция вдольтакой линии не обращается в нуль, так как все произведения VdS в выражении циркуляции Γ = ∫ VdS имеют один и тотже знак. Но это противоречит теореме Стокса.5.
В односвязном объёме жидкости, ограниченном со всехсторон твёрдыми стенками, не может существовать безвихревое движение.На рис. 1.32г Изображён односвязный объём, ограниченныйтвёрдыми стенками. В таком объёме замкнутые линии тока типа a невозможны по предыдущему свойству. Так как на твёрдых стенках нормальная составляющая скорости Vn = 0 , то линии тока не могут вытекать из границ или втекать в них и поэтому невозможны линии тока типа в.
Поскольку внутри односвязного объема линии тока не могут начинаться или заканчиваться, то линии тока типа с также невозможны. Следовательно,жидкость либо покоится, либо ее движение вихревое.54Рис. 1.34. Единственные потенциальные течения около крылового профиляпри разных значениях циркуляции вокруг профиля Га<Гб<Гв согласно [4]Для того, чтобы потенциальное течение несжимаемой жидкости было единственным в многосвязной области, помимо граничных условий необходимо задать значение циркуляции, как,например, на рис. 1.34. При заданной по величине и направлению скорости на бесконечности возможны разные варианты обтекания профиля с различным расположением точки схода потока. Каждому варианту отвечает вполне определенное значениециркуляции вектора скорости по контору, охватывающему профиль.551.13. ЗАДАЧИЗадача 1.1.
Однородный поступательный поток.К задаче 1.1Поле скоростей:Vx = V∞ cos α,Vx = V∞ sin α,(1)Vz = 0,где V∞ — модуль скорости на бесконечности.В соответствии с (1.14), (1.15) и (1.16) получаем соответственно следующие скорости относительного удлинения, угловые скорости вращения и угловые скорости скошения прямых углов:λ x = λ y = λ z = 0; ωx = ω y = ωz = 0; ε xy = ε yz = ε zx = 0. Следовательно, это движение жидкости без деформации и вращения частиц. Жидкость движется поступательно со скоростьюV = Vx 2 + V y 2 = V∞ , как твердое тело.
Жидкость замерзла.56Задача 1.2. Движение вдоль концентрических окружностей.К задаче 1.2Поле скоростей:Vx = − ky, Vy = kx, Vz = 0, (2)где k = const > 0.На основании (1.14), (1.15) и (1.16):λ x = λ y = λ z = 0; ωx = ω y = 0, ωz = k , ε xy = ε yz = ε zx = 0. Деформация частиц отсутствует. Имеется вращение частиц. Любаячастица вращается вокруг мгновенной оси параллельной оси 0zс угловой скоростью равной k . Так как V = k x 2 + y 2 = kr , толинейная скорость вращения частиц вокруг начала координатпрямо пропорциональна расстоянию частицы от начала координат.
То есть жидкость вращается вокруг оси, проходящей черезначало координат, так же, как твердое тело.Задача 1.3. Фрикционное течение.Движение вязкой жидкости вызывается перемещением пластины с постоянной скоростью V по поверхности жидкости в канале.57К задаче 1.3Поле скоростей:y ,a Vy = 0, (3)Vz = 0. Из уравнений (1.14), (1.15) и (1.16) следует, чтоVVλ x = λ y = λ z = 0; ε yz = ε zx = 0 , ε xy =; ωx = ω y = 0 , ωz = −.2a2aЛинейная деформация частиц отсутствует. Прямые углы скашиваются. Частицы вращаются.Видно, как поворачивается биссектриса угла.Vx = VЗадача 1.4.
Рассчитать циркуляцию вектора скорости для течений, изображенных на рисунке.К задаче 1.4581. Однородный поступательный поток вдоль оси y . Полескоростей:Vx = 0 , Vy = V = const > 0 , Vz = 0 .Циркуляция вектора скорости по прямоугольнику ABCDA:Γ ABCDA = Γ AB + Γ BC + ΓCD + Γ DA = 0 + Vb + 0 − Vb = 0 .Этот результат можно было предвидеть, так как рассматриваемое течение потенциальное, а потенциал — однозначная функция точки.2. Вихрь в начале координат имеет поле скоростей:KKVx = , V y = − , Vz = 0 , где K = const > 0 .(4)xyДифференциальное уравнение линии тока в соответствии с (1.11).dx dy=.(5)Vx VyПодставляя (4) в (5) получим xdx + ydy = 0 . После интегрирования имеем: x 2 + y 2 = const . Следовательно, линии тока —концентрические окружности с центром в начале координат.Модуль скоростиKKV =V = Vx 2 + Vy 2 == , Γ = 2πrV = 2πK .
(6)rx2 + y 2Циркуляция по окружности любого радиуса постоянна и равна2πK . При каждом новом обходе начала координат циркуляцияувеличивается на 2πK .Задача 1.5. Трубопровод длиной l и диаметром d подключенк резервуару больших размеров. Напор в резервуаре постоянный. Определить закон нарастания скорости истечения во времени при мгновенном открытии заслонки. Сопротивлением трубопровода пренебречь.Рассмотрим процесс истечения в некоторый произвольно выбранный момент времени t после открытия трубы. Согласно (1.65) для двух точек потока 1 и 2 имеет место уравнение59К задаче 1.5z1 +p1 V12p V 2 1 ∂ϕ ∂ϕ += z 2 + 2 + 2 + − ρg 2 gρg 2 g g ∂t 2 ∂t 1 (7)По условию z1 − z2 = H 0 , p1 = p2 , V1 = 0.
Так как в данный момент времени скорость жидкости V2 = V в любом месте трубопровода постоянна, то она зависит только от времени V = f (t ).Поэтому21'2∂Vs∂V∂VdVdV ∂ϕ ∂ϕ dS = ∫dS + ∫dS = 0 +(S2 − S1) = l. − = ∫dtdt∂t∂t ∂t 2 ∂t 1 1 ∂t11'После подстановок в уравнение (7) получимV 2 l dVH0 =+.(8)2 g g dtНапор H 0 затрачивается на создание скоростного напора V 2 2 gи на разгон жидкости в трубопроводе.Если течение в трубопроводе установившееся, а его скорость V0 , то напор H 0 затрачивается только на создание скоростного напора иV0 2H0 =.(9)2gdVИз уравнений (8) и (9) следует, что V02 − V 2 = 2lилиdt60dV. Интегрируя это уравнение при начальном усло−V 2вии V = 0 при t = 0, получим:dt = 2lV02tVdVl V +V.= ln 02VV−V−V000Если ввести безразмерное времяtVT = 0,lто уравнение (10) принимает вид:V +V1 + V V0T = ln 0= ln.V0 − V1 − V V0∫ dt = t = 2l ∫V20 0(10)(11)(12)Из (12) следует, что (V0 + V ) (V0 − V ) = eT .
Разрешая это уравнение относительно V, получимeT − 1(13)V = V0 T= V0 + th(T 2) .e +1Таким образом, скорость жидкости V в трубопроводе с течением времени увеличивается, асимптотически приближаясь кскорости установившегося движения V0 , по закону гиперболического тангенса.Согласно (12) скорость V будет отличаться от скорости V0установившегося движения на 1% ( V V0 = 0,99 ) через промежуток безразмерного времени T = ln (1 + 0,99 ) (1 − 0,99 ) = 5, 29.При уровне жидкости в баке, например H 0 = 1 м, в соответствиис (9) скорость V0 = 2 gH 0 = 2 ⋅ 9,81 ⋅1 = 4, 43 м/с. Если длинатрубопровода l = 5 м, то по уравнению (11) промежуток времениt = Tl V0 = 5, 29 ⋅ 5 4, 43 = 6 с.61СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.
Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник длявтузов / Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. и др. — 2-е изд.,перераб. — 476. М.: Машиностроение, 1987. — 423 с.2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: Учебник для втузов. — 2-е изд., прераб. и доп. — М.: Машиностроение 1987. —440 с.3.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика — 6 изд., исправ.
и дополн., - М.: Физматгиз, 1963. —1312 с.4. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа : Учебное пособие для университетов и втузов, — М.: Наука, 1978. —736 с.5. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: Учебник для вузов / Под ред. Д. Н. Попова. — М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 384с.6. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.,1933.
— 224 с.7. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.,1935. — 284 с.8. Сборник задач по машиностроительной гидравлике: Учеб. пособие для втузов / Под ред. И.И. Куколевского, Л.Г. Подвидза. —4-е изд., перераб. — М.: Машиностроение, 1981. — 448 с.9. Седов Л.И.
Механика сплошной среды: Учебник для университетов и втузов. — 4-е изд., испр.и доп. — М : Наука, Т. I:1983, Т. II: 1984. — 1110 с.10. Седов. Л.И. Методы подобия и размерности в механике.— 10-е изд., доп. — М.: Наука, 1987. — 432 с.11. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука,1969. — 744с.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
