Панаиотти С.С. Лекции по гидромеханике. Часть 2 - Учебное пособие. - Калуга КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 (948281), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Чтобы найти уравнение линии тока, в (1.11) нужно подставить проекции скорости и проинтегрировать его.Рис. 1.4. Поверхность тока (а) и трубка тока (б)Выберем в движущейся жидкости контур L и через его точкипроведем линии тока (рис 1.4). Получившееся линейчатая поверхность называется поверхностью тока. Проведем замкнутыйконтур L 1 . Соответствующая поверхность называется трубкойтока.Через каждую точку пространства, заполненного жидкостьюв данный момент времени может проходить только одна линиятока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, либо даже бесчисленное множество линий тока, либо наоборот ни одной линии тока. Это — особыеточки поля скоростей (рис. 1.5).12Рис.

1.5. Особые точки поля скоростей:а — седло; б — узел; в — центр; г — фокус1.4. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЖИДКОГООБЪЕМАВ окрестности произвольной точки M (x,y,z) выделим элементарный жидкий объем в форме параллелепипеда (рис. 1.6).Рис. 1.6. Движение элементарной жидкой частицыПусть Vx , V y , Vz — компоненты скорости в точке M, а Vx' ,V y' , Vz' — компоненты скорости в точке M ' . Тогда с точностьюдо бесконечно малых первого порядка:13 ∂V  ∂V  ∂V Vx' = Vx +  x  dx +  x  dy +  x  dz ,  ∂x  ∂z  ∂y  ∂V  ∂V  ∂V  V y' = V y +  y  dx +  y  dy +  y  dz ,  ∂x  ∂y  ∂z   ∂V  ∂V  ∂V Vz' = Vz +  z  dx +  z  dy +  z  dz.  ∂x  ∂z  ∂y (1.12)Из уравнений (1.12) очевидно, что скорость в точке M ' посравнению со скоростью в точке M характеризуется девятьюдобавочными составляющими:∂Vx ∂Vx ∂Vx ∂x∂y∂z ∂Vy ∂Vy ∂Vy (1.13)∂x∂y∂z ∂Vz ∂Vz ∂Vz ∂x∂y∂z Выясним физический смысл этих производных.Рассмотрим движение вдоль оси Ox жидкого отрезка MM 1(ребра параллелепипеда) на рис.

1.7. За бесконечно малое время∂Vx∆t отрезок MM 1 удлиняется (или укорачивается) на:dxdt.∂xРис 1.7.Движение элементарной жидкой линии вдоль горизонтальной оси14∂Vxdt. Скорость относитель∂x∂Vxного удлинения в направлении оси Оx:= λ x . То же в на∂x∂Vy∂Vzправлении других осей:= λy,= λz.∂y∂zСледовательно, одноименные производные в (1.13) представляют собой скорости относительного удлинения элементарныхжидких отрезков вдоль осей координат:∂V λx = x ,∂x∂Vy λy =,(1.14)∂y ∂V λz = z .∂z Эти скорости имеют размерность 1/c.Относительное удлинение будет:Рис. 1.8.

Движение элементарной жидкой плоскости15Далее рассмотрим движение жидкой плоскости, показаннойна рис.1.8. За бесконечно малый промежуток времени ∆t точка∂VzM 1 переместится относительно точки М на расстояниеdxdt.∂x∂VzСкорость этого перемещенияdx, а угловая скорость враще∂xния отрезка MM 1 относительно оси, проходящей через точку M∂Vzи перпендикулярную плоскости чертежа:.∂x∂VzУгловая скорость вращения ребра MM 3 будет. Следова∂xтельно, разноименные производные (1.13) — это угловые скорости вращения соответствующих ребер.Дадим следующее определение: компоненты ωx , ω y , ωz угловой скорости щ вращения частицы — среднее арифметическое из компонентов угловой скорости ребер:1  ∂V ∂Vy  ωx =  z − ,2  ∂y∂z  1  ∂V ∂V  ω y =  x − z  ,(1.15)2  ∂z∂x  1  ∂Vy ∂Vx  ωz = − .2  ∂x∂y  Можно доказать, что щx , щy , щz представляют собой угловыескорости вращения биссектрис углов, как показано на рис.

1.8.Для компонентов угловой скорости справедливо правило круговой перестановки: x, y, z, x, y, z, …При движении жидкой частицы прямые углы скашиваются.∂V  ∂VСкорости скошения прямых углов:  x + z  и т.д. Для сим∂x  ∂zметрии с формулами (1.15) вводятся половинные скорости:161  ∂V ∂V  ε zx =  x + z  , 2  ∂z∂x  1  ∂Vy ∂Vx  ε xy = + ,2  ∂x∂y  1  ∂V ∂Vy  ε yz =  z +.2  ∂y∂z  (1.16)В общем случае движение элементарной жидкой частицыможет разложено на три движения: поступательное вместе спроизвольно выбранным полюсом, вращательное относительнооси, проходящей через выбранный полюс, и деформационноедвижение. Это утверждение составляет содержание теоремыГельмгольца о движении жидкой частицы.1.5.

ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ БЕЗ ВРАЩЕНИЯЧАСТИЦ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИТак как частицы жидкости не вращаются, т.е.ωx = ω y = ω z = 0 ,то на основании (1.15)∂Vz ∂V y ∂Vx ∂Vz ∂V y ∂Vx=,=,=.(1.17)∂y∂z∂z∂x∂x∂yЭти равенства — условия Коши—Римана для функцийVx ( x, y, z , t ), V y ( x, y, z , t ), Vz ( x, y , z, t ) в некоторый момент времени t = const . Они являются необходимыми и достаточнымиусловиями для того, чтобы дифференциальное выражениеVx dx + V y dy + Vz dz в данный момент времени было полным дифференциалом некоторой функции ϕ( x, y , z, t ) :Vx dx + V y dy + Vz dz = d ϕ .(1.18)Функция ϕ( x, y, z , t ) называется потенциальной функцией, илипотенциалом скорости.17Так как полный дифференциал потенциала скорости∂ϕ∂ϕ∂ϕdϕ =dx +dy +dz ,(1.19)∂x∂y∂zто из (1.18) и (1.19) следует:∂ϕ∂ϕ∂ϕ= Vx ,= Vy ,= Vz .(1.20)∂x∂y∂zВсякому движению жидкости без вращения частиц соответствует свой потенциал скорости ϕ и наоборот, если существует ϕ , то это движение без вращения частиц.

Движение в этомслучае называется потенциальным. Оно полностью характеризуется функцией ϕ . Производная от ϕ по любому направлению S равна проекции скорости V на это направление.Выберем декартову систему координат (рис.1.9).Рис. 1.9. Производная по направлению (а)и скорость изменения функции (б)Пусть M 0 — фиксированная точка, а M — переменная точка.Потенциал является функцией точки: ϕ = ϕ( M ) .Производной по направлению называется∂ϕϕ( M ) − ϕ( M 0 )= lim.∂S MM 0 → 0MM 0Положение точки M можно задать длиной S отрезка:x = x ( S ), y = y ( S ), z = z ( S ) ,где S — выступает как параметр.

Следовательно,18ϕ = ϕ( x, y , z ) — сложная функция, зависящая от S через x, y , z :∂ϕ ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz=++,∂S ∂x dS ∂y dS ∂z dS∂ϕ ∂ϕ∂ϕ∂ϕ=cos(S, x ) +cos(S, y ) +cos(S, z ) .∂S ∂x∂y∂zТак как∂ϕ∂ϕ∂ϕ= Vx = V cos( V, x ),= V y = V cos( V, y ),= Vz = cos( V, z ),∂x∂y∂zто∂ϕ= V [cos(S, x ) cos(V , x ) + cos(S, y ) cos(V , y ) + cos(S, z ) cos(V , z )] =∂S= V cos( V, S)=VS , то есть имеет место равенство:∂ϕ= V cos( V, S) = VS .(1.21)∂S∂ϕПроизводнаяхарактеризует быстроту изменения ϕ .

Быст∂Sрее всего ϕ меняется в направлении V . Когда S совпадает с V , то∂ϕcos( V, S) = 1 и= max .∂SРавным значениям потенциала скорости в различных точкахпространства соответствуют поверхности уровня потенциала ϕили поверхности равного потенциала. Уравнение семейства поверхностей равного потенциала будет: ϕ( x, y , z ) = const .Линии тока перпендикулярны поверхностям равного потенциала (рис. 1.10).

Возьмем S по касательной к поверхности∂ϕϕ = const . Так как ϕ = const , то= 0 . Следовательно,∂SV cos( V, S) = 0 , т.е. V перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.19Рис. 1.10. Эквипотенциальные поверхности и лини токавзаимно перпендикулярны1.6. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ(СПЛОШНОСТИ) ПОТОКАПредполагаем, что движущаяся жидкость сплошным образомзаполняет пространство или определенную его часть и что вовремя движения не происходит ни потери вещества, ни его возникновения.

Такие предположения налагают некоторые условияна изменения плотности и объема жидкости во время движения.Это условие называется уравнением неразрывности.В потоке жидкости возьмем произвольную точку M с координатами x, y , z (рис. 1.11) и выделим в окрестности этой точки элементарный объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка M была бы одной из его вершин.

Пустьплощадь поверхности параллелепипеда S, ребра параллелепипедапараллельны координатным осям, а их длины соответственно равны dx, dy, dz . За бесконечно малый промежуток времени dtвнутрь рассматриваемого объема через левую грань площадьюdydz в направлении оси x втекает масса жидкости ρVx dydzdt .20Рис. 1.11. Неподвижная бесконечно малая поверхностьЗа то же время dt через правую грань вытекает масса жидкости∂ρ  ∂Vdx  Vx + x dx  dydzdt =ρ +∂x  ∂x∂V∂ρ∂ρ ∂Vx= ρVx + ρ x dx + Vxdx +( dx )2  dydzdt =∂x∂x∂x ∂x∂ ( ρV x )= ρVx dydzdt +dxdydzdt.∂xПриращение массы жидкости, вытекающей за время dt иззамкнутой поверхности S в направлении оси x :∂ ( ρV x )dxdydzdt .∂xАналогичным образом, выразим приращение массы жидкости,вытекающей за время dt из замкнутой поверхности S в направлении осей y, z .

Тогда, приращение массы жидкости dm, вытекающей за промежуток время dt из замкнутой поверхности S :21() ∂ ( ρV ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) x++dm =  dxdydzdt .∂y∂z  ∂xИзменение массы внутри S вызвано соответствующим изменением плотности жидкости. Подсчитаем это изменение массы.Внутри S была масса ρdxdydz , а через промежуток времени dtвнутри S она стала равной:∂ρ  ρ + dt  dxdydz .∂t Следовательно, изменение массы за время dt :∂ρ ∂ρdt  dxdydz − ρdxdydz =dtdxdydz .ρ +∂t ∂t∂ρТак как dm = − dtdxdydz , то∂t∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ ( ρV z )∂ρ++=−∂x∂y∂z∂tили∂ ( ρV x ) ∂ ρV y∂ (ρVz ) ∂ρ+++=0.(1.22)∂x∂y∂z∂tЭто выражение называется уравнением неразрывности.Найдем другой вид уравнения неразрывности.

Характеристики

Список файлов книги