Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Так как соотношение(31) можно переписать в виде: М(г~ — В~г:ь, я — 1)=й(я, г*), то мы получаем: гь — В~г~=Ч~(я~ х )~ ю 1=Ч(я~ г )* 278 [Гл. а устОйчиВОсть Итак, в пространстве переменных «*, я уравнение (1) записывается в виде г~ = В'г'+ АР (я> «~), (32) =1+Ч(я, «') (3 3) или иначе: Ф~р — -=В'г*+Фр(я, г~), 65 (34) — =1+1г(я, гр), (35) где остаточные члены лр(я, г') и л(я, г') периодичны по я с периодом 2т и имеют второй порядок малости относительно вектора гр. В системе (34), (35) независимым переменным является я, а гр н1 рассматриваются как неизвестные функции от я. Уравнение (34) ие содержит неизнестиой функции 1, и его можно решать отдельно. Таким образом, для того чтобы найти решение системы (32), (33) с начальными значениями 1, г,", яи следует сначала найти решение г'"(я, г',", я,) уравнения (34) с начальными значениями «,*, яь которсе в силу предложения В) при достаточно малом ~г,'1 определено для всех значений я ~ я, и имеет опенку ! г* (я, г'„я,) ! = г ~ г*, ~ я ".
После этого следует найти решение уравнения (35) с начальными значениями 1, г",, я,; это решение дается очевидной формулой: р 1=1, +~ (1+/р(я, гэ(я, г*„я,))) р[я= Ю~ = 1р — я, + я+ $ Уг (я, г"" (я, г*„я,)) р[я. (37) Последнее уравнение можно разрешить относительно я, если только [гр ~ досгаточио мало, так что мы получаем: я=я(1, г*„я,). (38) Сушествует теперь такое положительное число а, что при ! гв / (а остаточный член д(я, гр) удовлетворяет неравенству ~ д(я, г")! ( 1. При выполнении этого неравенства на каждом решении г* =гр(1), я= я(1) за независимое переменное можно вместо 1 принять я, и уравнения (32), (ЗЗ) перепишутся тогда в виде". Нг"' В*г'+ ор (а,,а"') а~а 1+4(а, аР) И 1 Ъ 1+«(я, гр) ' кстоичивоств пйвиодичвских решении Подставляя это выражение для а в решение хэ(а, х,*, а,) уравнения (34), получаем: Ф4' (Π— хэ (я(г> а>, 81), х3, я>).
(39) Формулы (38) и (39) вместе дают решение системы (32), (33) с начальными значениями 1, г>„ае Из (37) следует, что при 1~1 мы имеем: (40) >а(1, д'„а>) — (~ ~~а> — 1,(+У~а',(', где 7 — некоторая положительная константа. В частном случае, когда з>=О, а,= (м решение (38), (39) имеет вид: дч(М)=О, а(1)=г. х'=(ч(х>, х') =у'(х), 1=1, 2, и пусть «=>р(() — ее периодическое решение с периодом т. Система (7) имеет здесь аид: ду'(~р(т)) >, ду>(4> (1)) В силу предложения А) одно характеристическое число этой системы раш>о единице; второе обозначим через Л.
Оказывается, что — + и ~Ю' ~т н>> + эР >г и» ~ эа! охч Л= да (41) Из оценок (36) и (40) следует, что это решение системы (32), (ЗЗ) устойчиво по Ляпунову. Подставляя решение (38), (39) в формулу преобразования (28), мы получим решение х и>(1, х,) уравнения (1) с начальными значениями 1=1, х=х,=а(г",, а,). Так как отображение (28) взаимно однозначно на некоторой окрестности пары да=О, а=(, то любое решение >р(г, Х,) уравнения (1) с начальными значениями т, Х, при достаточно малом >х> — х,> может быть получено таким способом из некоторого решения (38), (39) системы (32), (33).
При этом решение х=>р(1) получается из решения за=О, а=г. Теперь из устойчивости по Ляпунову решения гав=О, а=( вытекает (в силу равномерной непрерывности отображения (28)) устоичивость по Ляпунову исходного периодического решения х=~р(т). Таким образом, теорема 26 доказана. Применим полученные здесь результаты к случаю предельного цикла, Г) Будем считать, что автономная система (!) (см. (3)) имеет второй порядок: 280 1г . а кстопчивооть Таким 'образом, если Сау (~р(с)), дС (р(с))! + о В силу формулы Лиувилля мы имеем с $ асс> си Ре1 Ф (я) = Ре1 %'(О) еа гдв 8(с)=а,'(с)+ая(с) = д ю + — у-т— с!С'(ф (С1) 8С'(са (С)) (см. й 17, Ж)).
В нашем случае, когда матрица С имеет второй порядок н одно ее собственное значенив Равно единице, а дРУ4ое Равно ам имеем: Л=Ре1С=да 1! ример Пусчь ср(С) — периодическое решение автономной системы (1) (см. (3)) периода т с начальными значениями С,, х,. решение этой системы с начальными значениями С„, й будем обозначать через ср(С, $). Построим для решения ср(С) аналог функции последования (см. й 28), который будет здесь отображением (п — 1)-мерного пространства переменных и', .„, и" ' в себя. Пусгь х=а (и); и=(и',, и" ') (43) — уравнение поверхности, пересекающей траекторию ср(С) в единственной точке хю = Ч' (Са ха) = Ю (М (44) то периодическое решение х=ср(С) устойчиво по Ляпунову. В действительности (см. пример) существует функция последования )((и) периодического решения Х=ср(С) (см.
й 28), для которой Х'(сса) =' (42) так что при Л Ф 1 периодическое решение х=~р(С) является грубым предельным циклом. Он устойчив при Л: 1 и неустойчив при Л) 1.. 11окажем неравенство (4!). Основная матрица С решения )'=Чс (С) уравнения У=А(С) У с начальным значением %'(0)=Е (см. Л)) задается равенством С= $' (т). устойчивость атвг>иоличвских Рвшвний 28$ и не касающейся в этой точке траектории гр(г), так что векторы да (ид дй (и,) (45) > ди»-> линейно независимы. Найдем пересечение траектории гр(г, и(и)) с поверхностью (43) при г, близком к г, + т, считая, что ( и — и ( мало. Пусть и(о) — точка пересечения; тогда справедливо соотношение: р((, й (и)) — а'(о) =О.
(46) При и=и, мы имеем очевидное решение уравнения (16): ~ — ~а+ х> 'г ие (см. (4) и (44)). Здесь мы считаем и независимым переменным, а 1, яг — неизвестными величинами. Так как функциональный определитель системы (46) при г=г„+-., и=и„о=и, по неизвестным функциям 1 и яг не равен нулю в силу линейной независимости векторов (46), то при малом (и — и,! существует решение г=г(и), яг=)((и) системы (46) с малыми !г(и) — (г + т)! и ()((и) — и,(.
Отображение )((и) пространства переменных >и', ..., и" ' в себя (определенное при малом / и — и () будем называть отображением лоеледовании. Каждому решению и = и, уравнения 1г (и) — и =~О (47) соответствует периодическое решение гр(г, и(иг)) автономного уравнения (1) (см. (3)) с периодом, близким к х; в частности, решению и = и„соотвегстиует исходное периодическое решение гр (г) = =гр((, д'(и,1). Если функциональная матрица гдХг (ио) М вЂ” ~ ди7 — ) (, ~=(, ...,.— ) не имеет собственных значений, равных единице, то решение и=и уравнения (47) является изолированным.
В самом деле, функциональная матрица уравнения (47) при и=и„равна М вЂ” Е'". Для того чтобы детерминант этой матрицы ие обращался в нуль, необходимо и достаточно, чтобы матрица М не имела собственного значения, равного единице. Выясним теперь вопрос о том, всякая лн периодическая траектория К„ проходящая вблизи траектории К, описываемой решением гр(8), описывается решением <р(г, д'(иг)), где. и, есть некоторое решение уравнения (47). Именно так обстояло дело в плоском случае (л=2). Оказывается, что прн гг~3 дело обстоит уже не так. Разберем этот 282 УСТОЙЧИВОСТЬ 1г .ъ вопрос. Будем считать, что т есть минимальный период решения «р(«), т.
е. что равенство чИ +О= р(9 может иметь место лишь при условии, что 8=и«, где Й вЂ” целое число (см. $ 15, В)). Если траектория К, близка к траектории К то она пересекается с поверхностью (43) в некоторой точке л (и«), причем ~ и« вЂ” иь ! близко к нулю. Положим: и,=Х(и,), и,=Х(и,), ..., и;„,=Х(и,), ... Так как траектория К, — замкнутая, то в этой последовательности найдется точка, совпадающая с точкой и;, пусть и», будет первая из них. Тогда траектория К, описывается решением й«(1, й'(и«)), причем минимальный ее период близок к числу А«; решение «р(1, л (и«)) замыкается только после того, как оно А раз обойдет вдоль траектории «р(ф В плоском случае возможен лишь случай й = 1.
Будем называть число А крал«носл«ью траектории К,. Для отыскания д в укратн ых траекторий нужно решать не уравнение (47), а уравнение Х(Х(и)) — и=О; для отыскания трехкратных траекторий нужно решать уравнение« Х[Х(Х(и))) — и=О Функции Х(Х(и)), Х1Х(Х(и))], ... называются итерац««ял«и Функц««и Х (и); л-кратную итерацию обозначим через Х» (и).
Таким образом, для нахождения всех А-кратных периодических решениИ, близких к решению «р(1), следует решать уравнение Х»(и) — и=О, но из всех решений уравнения (48) следует брать лишь те, которые не являются решениями уравнений предшествующих кратностей; решение и = и, уравнения (47) является решением и всякого уравнення (48). Функциональная матрица уравнения (48) при и = и, равна, очевидно, М» — Е"; таким образом, для того чтобы уравнение (48) имело лишь одно решение и=и„ близкое к и достаточно, чтобы детерминант матрицы М вЂ” Еь был отличен от нуля, или, что то же, чтобы матрица М» не имела собственных значений, равных единице, или, наконец, чтобы матрица М не имела собственных значений, равных ~»Г1.
Таким образом, для того чтобы вблизи траектории К нв было периодических траекторий данной кратности А, достаточно, чтобы матрица М не имела собственных значений, равных г' 1. В частности, таких собственных значений у матрицы М нет, если все ее собственные значения по модулю меньше единицы. Из сказанного видно, какую важную роль играет матрица М в изучении траекторий автономного уравнения (1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
