Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Положим а =(а', ..., а"). Из соотношения (12) непосредственно следует, что !! я ~! Ь, — а ! = О, Таким образом, нз последовательности (7) выбрана сходящаяся подпоследовательность (1!). Покажем, наконец, что всякое бесконечное ограниченное множество М имеет предельную точку. Так как множество М бесконечно, то из.
пего можно выбрать бесконечную последовательность аьаь ..., а,„..., все точки которой попарно различны. В силу ужедоказанного,изэтой последовательности ввиду ее ограниченности можно выбрать бесконечную подпоследовательиость си бм ..., Ь» ..., (13) сходящуюся к некоторой точке а. Так как все точки последовательности (13) попарно различны, то точка а является предельной для множества всех точек последовательности (13) и, следовательно, предельной для множества М. Итак, предложение Д) доказано.
В некоторых вопросах играют важную роль замкнутые ограни- ценные подмножества евклидовых пространств. Докажем одно характеристическое свойство таких подмножеств; оно называется тсо.ивагсгиносслью, Е) Множество М точек евклидова пространства )т называется компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую множеству М.
Оказывается, что 292 дозАВление 1. некотОРые ВопРОсы АнАлизА множество М тогда и только тогда компактно, когда оно одновре-' менно замкнуто и ограничено. Докзжем предложение Е). Допустим сначалз, что множество Р замкнуто и ограничено, и пусть М вЂ” его произвольное бесконечное подмножество. В силу предложения Д) множество М имеет некоторую предельную точку а. Эта точка является предельной и для множества Р.
В силу замкнутости Р, точка а принадлежит Р. Таким образом, всякое бесконечное подмножество М множества Р обязательно имеет предельную точку, прииадлежашую Р, так что Р компактно. Допустим теперь, что множество Р компактно. Докажем, что о~о ограничено. Допустим противоположное; тогда из Р можно выбрзть. такую последовательность (14) аь ° ° .в ам попарно различных точек, что )ад!)К 1=1, 2... Пусть а — произвольная точка из Я. В силу неравенства (2), мы имеем ~ ад ~ ~ ! а„— а ~ + ~ а (, откуда ~ а„— а ~ ~ и — ~ а ~. Это значит, что расстояние от точки а до точки ад неограниченно возрастает с ростом Ф, и потому любая окрестность точки а содержит лишь конечное число точек множества (14). Таким образом, бесконечное подмножество (14) множества Р не имеет предельной точки, что противоречит компактности множества Р.
Докажем, наконец, что компактное множество Р замкнуто. Пусть с — его предельная точка, Так как каждая окрестность точки с содержит точку множества Р, отличную от с, то из Р можно выбрать иоследоватсльность (15) с„..., си попарно рззлишых точек, сходящу1ося к с. В силу Д) единственной предельной точкой точек последовательности множества (1б) является с, а так как, по предположению компактности, это множество должно иметь предельную точку, принвдлежашую Р, то точка с принадлежит Р.
Итак, каждая предельная точка с множества Р принадлежит ему и, следовательно, множество Р замкнуто, Тзким образом, предложение Е) доказано. Непрерывные отображения Пусть А и  — два произвольные множества. Говорят, что задано отооралсенне у" множества А в множество В (или, иначе, функция у" на множестве А со значениями в множестве В), если каждой точке х 5 321 тополОГйческив свойствА ввклидовых пРОстРАнстВ яфЗ из А, поставлена в соответствие вполне определенная точка у =у (х) множества В. Если С в некоторое множество точек из А, то образом ~'(С) множества С при отображении у называется множество всех точек. вида у =у(х), где х — произвольная точка из С. Если В— некоторое множество точек из В, то прообразом у '(В) множества В при отображении у нааывается совокупность всех таких точек х из А, что точка у(х) принадлежит В.
Ж) Пусть )с и 8 — два евклидовых векторных пространства, М вЂ” некоторое множество точек из )с и у — отображение множества М в пространство Я. Отображение (или, что то же самое, функция) у называется непрерывным в точке а множества М, если для каждого,'положительного числа я существует такое положительное число Ь, что при )х — а~< Ь (гдв х — точка из М) мы имеем (~(х) — у(м) ((а. Функция у считается непрерывной на всем множес'гве М, если она непрерывна в каждой точке а этого множества. Функция у' называется равномерно непрерывной, если для всякого положительного числа е существует такое положительное число я, что при ( х, — х„1(а (где х, и х, — точки из М) мы имеем 1У(х1) — У(х„)!(а.
Очевидно, что равномерно непрерывная функция является непрерывной. Перейдем от векторных обозначений к скалярным. Имешю, положим х=(х', ..., х5 К(х)=Ц'(х), ..., ~'(х)), где 'р и д — размерности евклидовых пространств Я и 8 соответственно. Тогда вместо одной векторной функции у' векторного переме1~ного х мы получим о скалярных функций от р скалярных переменных, именно: т~(х)=~~(х', ..., хя), /=1... д. (16) Легко доказывается, что непрерывность векторной функции у(х) вектора х равносильна непрерьвпости всех функций (16) по совокупности переменных х', ..., хя. То же относится к равномерной непрерывности.
Здесь это доказываться не будет. 3) Пусть Я и Я вЂ” два евклидовых векторных пространства и у — непрерывное отображение некоторого открытого множества 0 из 1с в пространство 8. Оказывается, что прообраз )"' '(Н) л~обого открытого множества Н пространства 8 является открытым множеством пространства Я. Докажем это. Пусть Н вЂ” произвольное открытое множество .из 8 и а — точка множества У '(Н). Так как Н вЂ” открытое множество и точка Ь =у (а) принадлежит ему, то существует окрестность точки Ь, содержащаяся в Н. Окрестность Ь' есть щар некоторого положительно~о радиуса а с центром в Ь. В силу непрерывности отображения у существует такое положительное число 0, что при ~ х — а ~ ~ я (здесь х — точка из О) имеем 1у (х) — у (а) ~ ( а.
Так как 294 дОБАВление 1. ИекотОРые ВОпРОсы АИАлкзА аь х,; а„х„; ...; а», х», ..., для которых выполнены условия ~у(х») — у(а»)( ~е, А=1, 2, 11ш ~х„— а»! =О. (17) (18) Так как последовательность а„..., а», ... солержится а замкнутом ограниченном множестве Р, то из нее можно выбрать подпоследовательцость, сходящуюся к некоторой точке а из Р. Зля того чтобы це менять обозна <ения, будем считать, что сама послеловательность а„..., а», ... сходится к а. Так мак функция у' непрерывна в точке а, то существует такое положительное число 3, гго ири ~ х — а1(8 мы имеем (~(х) — у(а) ~ ( —,. 2' Ввиду того, что последовательность аь ..., а», ...
схолится к а и имсет место соотношение (18), найдется настолько большой помер А, что 1໠— а~(Ь, 1х» — а!(Ь (см. (3)). Йля такого А мы имеем 1У(Х») — У"(а») ~ С'17 (х„) — У(а) 3+ '1Х(а») — У(а) $ С" 2 ° —, что противоречит неравенству (17). ,((окажем теперь, что множество у(Р) компактно. Пусть М вЂ” произвольное бесконечное множество точек из у(Р), Из множества М можно выбрать бесконечную последовательность попарно различных точек (19) б1> ° ° ° > б»> Для каждой точки Ь» этой последовательности выберем такую точку а — точка открытого множества О, то существует шар с центром в а некоторого радиуса г, содержащийся в О. Пусть а — наименьшее из чисел В и г; тогда шар радиуса а в центром в а, очевидно, содержится в множестве у '(гт).
Следовательно, это множество открыто. И) Пусть К и 8 — два евклидовых векторных пространства, à — замкнутое и ограниченное (т. е. компактное) множество из Я и у — непрерывное отображение множества Р з пространство Ю. Оказывается тогда, что отображение у равномерно непрерывно, а множество у(Р) является замкнутым и ограниченным (т. е. компактным). Ив последнего вытекает, в частности, что непрерывная числовая функция.г, определенная на компактном множестве Р, имеет максимум и минимум.
Йокажем прежде всего, что отображение у равномерно непрерывно. Допустим противоположное; тогдз существует такое положительное число в, что при любом положительном 3 найдутся две точки а и х вв Р, для которых 1х — а ~ ( 6, а 1у (х) — ~'(а) ~ ~ в. Пользуясь этим, можно построить бесконечную последовательность пар точек э а21 топологичвскив своиствл ввклидовых пэостиаиств 29й а, из Р, что ~(а,)=Ь„Ь=1, 2, ... Точки а„..., ам ... попарно различны и потому имеют предельную точку а в множестве Р. Покажем, что точка Ь =у (и) является предельной для множества (101.
Пусть Р— произвольная окрестность точки Ь, т, е. шар некоторого радиуса с > 0 с центром в Ь. Так как функция у непрерывна в точке а, то существует такое положительное число В, что при [ х — а ) ( В (здесь х — точка иэ Р) !~(х) — у (а) / ( а. Так как точка и является предельной для множества точек а„..., ам ..., то в Йвре (У радиуса В с центром а найдутся, по крайней мере, две различные точки а„и а, этого множества. Точки Ьа и Ь, принадлежат шару К и так как они различны, то, по крайней мере, одна из них не совпа; дает с точкой Ь. Таким образом, произвольная окрестность 1'точки Ь содержит хотя бы одну точку множества (19), отличную от Ь. Слег довательно, Ь является предельной точкой для множества (19), а потому и для множества М.
Таким образом, множество ~Г(Р) компактно. Если размерность пространства 8 равна 1, то у =У есть числовая функция. В этом случае множество г(Р) есть замкнутое ограниченное множество действительных чисел. Точные верхняя и нижняя грани множества у(Р) конечны и принадлежат ему. Точная верхняя грань множества у(Р) есть максимум функции 7, а точная нижняя грань — ее минимум. Таким образом, предложение И) доказано. Примеры Рассмотрим некоторые примеры непрерывнмх функций. 1. Пусть Я и 8 — два евклидовых пространства. Каждой точке х = (х', ..., ха) пространства Й поставим в соответствие точку у=(у', ..., уч) пространства Ю, положив ф= ~' а~х'+ Ь~, (120) Здесь а/ — некоторые числа, составляющие матрицу А=(а~), а Ь~— числа, составляющие вектор Ь = (Ь', ..., Ьа).
Система скалярных соотношений (20) в векторной форме записывается в виде: (21) Соотношение (21) определяет так называемое аффпнное отображение пространства Я в пространство Я. Докажем, что аффинное отображение непрерывно. Для краткости обозначим его одной буквой у. Пусть х, и ха — две точки из Я, расстояние между которыми ~х~ — ха~ ( В. Оценим расстояние между 29В ДОВАВЛЕННЕ Е НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА точками у,=~(хг) и у,=~(х,) в пространстве 8. Мы имеем: у! — уз= А (х, — хя), или в скалярной форме Р у,' — у!= — у, а,!(х,! — х,'), /=1, ..., ». (22) Пусть Т вЂ” максимальное из чисел ! а~ 1 так что ! а~ ! ~ Т для всех 1, г. Так как ~х,— х,!(Ь, то ~х,' — х,'~(8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
