Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Докажем предложение В). Покажем прежде всего, что если каждая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отлич»у>о от а, то оиа содержит бесконечное множество точек множества М. Пусть У,— произвольная окрестность точки а и г,— ее радиус. Пусть далее х,— отличная от а точка множества М, содержащаяся в Ц. Так как х, ~е а, то (х> — а ~=г,)0. Шар У, радиуса гя с центром в точке а ие содержит точки х„но он содержит некоторую точку х, множества М, отличную от а.

Продолжая этот процесс дальше, мы получим бесконечную последовательность х„..., хм ... попарно различных точек множества М, содержащихся в Ц. Докажем последнее утверждение предложения В). Пусть Π— некоторое множество из гс и г" — его дополнение. Допустим что 0— открытое множество, и докажем, что г".— замкнутое. Пусть а — предельная точка множества г"; покажем, что оиа принадлежит множеСтву г"-, т. е. ие принадлежит множеству О. Допустим противоположное, т.

е. что точка а принадлежит О. Тогда, в силу предположенной открытости множества О, существует окрестность точки а, целиком содержащаяся в О и, следовательно, не содер>кащая точек из г", а это значит, что точка а не является предельной для Г. Допустим теперь, что множество Г замкнуто, и докажем, что множество О открыто. Пусть а — произвольная точка из О. Так как оиа ие принадлежит множеству Г, то в силу замкнутости оиа ие является его предельной точкой и потому существует окрестность точки а, ие содержащая отличных от а точек из Е; но а также не принадлежит г., и потому вся эта окрестность содержится в О.

Тем самым доказано, что множество О открыто. Таким образом, предложение В) доказано. Очевидно, что все пространство Й является одновременно открытым и замкнут>лм. Далее, к>ш;дое конечное множество г". из Я замкну>о. В самом деле, множество Г вообще не имеет предельных точек и потому содержит их все, т. е. замкйуто.

В случае, когда размерность векторного пространства Я равна единице, это пространство совпадает с множеством всех действительных чисел, и алгебраические операции иад векторами превращаются в обычиь>е операции над действительными числами, а модуль совпадает с модулем числа.

Расстояние между двумя точками а и Ь в этом случае равно модул>о ! а — Ь ~ их разности. Непосредственно видно, что в пространстве действительных чисел множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству х < а или неравенству х > а, где а— фиксированное число, яв:>яс>ся открытым.

Дополнение к этому множеству, определяемое неравенством х ~ а или неравенством х-~ и, вамииуто. т 321 тополОГические своистВА евклидовых пРОстРАнстВ 289 Г) Объединение и пересечение конечного числа открытых множеств евклидова прострзнства тс открыты. Объединение и пересечение конечного числа замкнутых множеств пространства )С замкнуты «).

Докажем это. Пусть Оь 0„..., 0„ (6) — конечная совокупность открытых множеств пространства гс. Докажем, что их объединение открыто. Пусть а — произвольная точка, принадлежащая этому объединению; тогда она принадлежит хотя бы одному из множеств (6), например, множеству ОР Так как множество 01 открыто, то существует окрестность точки а, содержащаяся в Ой но тогда эта окрестность содержится и в объединении', множеств (6). Докажем, что пересечение множеств (6) открыто, Пусть а — произвольная точка из этого пересечения; тогда она принадлежит каждому множеству О, системы (6). Так как множество О, открыто, то существует шар радиуса г, с центром в а, содержащийся в Он Пусть г — минимальное из чисел г» гэ ..., г„; тогда шар радиуса г с центром в и содержится в каждом из множеств системы (6) и, следовательно, принадлежит их пересечению.

Таким образом установлено, что пересечение множеств (6) открыто. Переходя от открытых множеств (6) к их дополнениям, мы получим соответствующие результаты относительно замкнутых множеств (см. В)). Таким образом, предложение Г) доказано. Д) Пусть тт' — езклидово пространство, (7) аи а„..., ам — некоторая бесконечная последовательность точек из Я и М вЂ” некоторое множество точек из Я. Заметим, что последовательность отличается от множества не только тем, что ее точки занумерованы, но также тем, что точки с различными номерами могут совпадать между собой.

Поэтому множество всех точек, входящих в бесконечную последовательность, существенно отличается от самой последовательности; в частности, оно может быть конечным. Последовательность (7) называется ограниченной, если существует такое число г, что для каждой точки а„последовательности (7) выполнено неравенство 1а„)< г. Точно так же, множество М называется ограниченным, если существует такое число г, что для каждой точки х из М выполнено неравенство )х~(г.

Говорят, что последовательность (7) сходатся к точке и из Й, если имеет место соотношение 11 щ ~1 ал — а ~ = О. (8) «) Нетрудно доказать, что всегда объединение любой системы (не обязательно конечной) открытыя множеств открыто, а пересечение любой системы замкнутых множеств замниуто.

Нам зти факты не понадобятся, 29О довлвлвиия 1. нвкотовыв вопросы лнллизл Если прн этом последовательность (7) содержит бесконечное мно>кество р аз ля чных точек, то точка а является предельной для м ножества всех точек последовательностн (7) н притом едннственной предельной точкой этого множества. Оказывается, что нз ограниченной последовательности точек всегда можно выделить сходяшуюся подпоследовательность точек. Из этого непосредственно следует, что всякое ограннченное бесконечное множество М имеет предельную точку.

Локажем предложение Е), Лог>устим, что имеет место соотношенне (8) н что множество А всех точек последовательности (7) бесконечно. Из соотношения (8) следует, что каждый шар с центром а содержит все точки последовательности (7), за исключением конечного числа. Так как множество А бесконечно, то нз сказанного следует, что каждая окрестность точки а содержит бесконечное множество точек нз А.

Следовательно, кажда» окрестность точки а содержнт точки, отличные от а, а это и значит, что точка а является предельной для А. Покажем, что точка Ь ~ а не может быть предельной для А. Расстояние от а до Ь обозначим через 2р; так как а Ф Ь, то р ~> О. Шары Р н Я с центрами в точках а н Ь радиуса р не пересекаются. Это следует из неравенства (3). Так как шар Р, по доказанному, содержит все точки множества А, за исключением конечного числа, то шар Я может содержать лишь конечное число точек множества А н потому точка Ь не является предельной для множества А.

допустим теперь, что последовательность (7) ограничена, и выберем нз нее сходяшуюся подпоследовательность. Прн доказательстве мы используем тот факт, что для числовых подпоследовательностей это возможно. Перейдем к координатной записн точек последовательности (7), поло>нпгс ! 2 я аа=(ам аа, ..., аа)„ Так как последовательность (7) ограничена, то сугцестаует .такое число г, что )а„(< г, а отсюда следует, что (а~>(с г, 1=1, 2, ...,л; 1=1, 2, Таким образом, последовательность чисел а), а~, ..., аь, ...

ограни н.на и потому нз нее можно выбрать сходяшуюся подпоследовател>л>ость. Зля того чтобы не менять обозначений, мы будем считать, что эта выбранная подпоследовательность есть сама последовательность (9), так что имеет место соотношенне 5 зт! Топологические евоиотвА евклндовых пРОстванств 291 где а' — некоторое число.

Теперь из последовательности аь а1, ..., аа, (10) ввиду ее ограниченности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы не менять обозначений, мы вновь будем считать, что эта выбранная подпоследовательность есть сама последовательность (10). Продолжая этот процесс по всем номерам 1, 2, ..., н координат, мы выделим такую подпоследовательность Ьь Ьь ..., Ь» (11) последовательности (7), что для координат точек этой подноследова- тельности имеют место состношения !!ш Ь,'=а', 1=1, 2, ..., и, (12) ! со где а' — некоторое число.

Характеристики

Список файлов книги