Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из этих неравенств, в силу соотношения (22), получаем: ~у,' — у! ~(рА )=1 ". ». Возводя это соотношение в квадрат, суммируя по )' и извлекая затем квадратный корень, получим ~у, — у, ( ( ЬрТ ь' ». Таким образом, чтобы было выполнено неравенство ~у, — у„( (а, достаточно взять .с в( — '=-. Мы видим, что аффинное отображение пе только пепре- РТ г' » рывно, но и равномерно непрерывно. Из доказанного следует (см.
3)), что если Π— некоторое открытое множество пространства 8, то его прообраз у '(гт) при аффипном отображении у есть открытое множество в й. Если матрица А — квадратная (т. е. р = ») и невырожденпая (т. е. детерминант ее отличен от нуля), то система соотношений (20) может быть разрешена относительно неизвестных х', ..., х", так что векгор х однозначно выражается через вектор у: х= Су+ Ф.
Это значит, что аффинное отображение у имеет в этом случае обратное ему отображение у ', также являющееся аффинным. При этом открытые множества пространства К переходят в открыт!ле множества пространства 8; то же самое имеет место и для их дополнений, т, е. для замкнутых множеств. Если невырождепное аффинное отображение у пространства Я на пространство Я трактовать как преобразование координат в пространстве й, при котором меняется понятие о расстоянии, то мы видим, что топологичесние свойства (огвнрытость и замкнутость множеств) не зависят от системы координат, через ноторую определяется расстояние между точналги.
2. Пусть Я вЂ” евклидово пространство и а — некоторый его вектор, отличный от пуля. Каждому вектору х из Й поставим в соответствие число у=у(х), положив у=(а, х). Функция г, очевидно, является аффннным отображением пространства гх в пространство действительных чисел и потому непрерывна. Таким а зй топологйчвскивсвоиствя'ввилидовых пРостгАнств $97 образом, прообраз любого открытого множества действйййлйык чисел является открытым. Множество всех действительных чисел у,„удовлетворяющих неравенству у(» или у~», открыто, Прообуав етого множества'в пространстве Я определяется неравенсввевгфц ай)м" » пли (а, х))».
Эти неравенства определяют в прострам(ййв ф!~~вмрилама лолулрострамства, на которые пространство Я раабмийвяся гиперплоскостью (а, х)=а. Дополнения к этим открытии'«иеаупространствам определяются неравенствами (а, х) =ив» м (и, Х)~а Эти полупространства з а м к н у т ы,: таи как являются дополменииыи к открытым. Конечная система неравенств (а,, х) (»„..., (а„, х) ч' аа, где ам ..., аа — векторы,. »о ..., »» — числа, .определяет, в пространстве Я открытыми.,иыпук~щаВ (йьобще говоря, неограричендый) многогранник, Ои. является открытым 'мщнквстанам, поскольку«получен как пересечение нескольких. открытых,подупрйдтраидФ.
«~~вччо так же конечная система неравенств (п„х) ~»„..., (ам х)-"и»а определяет в пространстве )с выпуклый замхлутый мнегогракмймг би является замкнутым множеством как пересечение замкнутых' полупространств. 3. Пусть Я вЂ” евклидово'пространство, а Л и М вЂ” два'его 'ййймножества, Расстокниям 'между,Ыножестйами Е и, М иаваавайрай,очная нижняя грань всех чисел"|х — р1; где х — ироизйольная Мбчка из Е, а у — произвольная точка из М."Если' множество А содержит лишь одну точку х, то мы получаем расстояние у(х) точки х до множества М, которое является числовой функцией точки х пространства Й. Легко видеть, что расстояние ~(х) точки х до множества М''обращается в нуль только тогда, когда точка х либо принадлежит множеству М, либо является предельной для него. Таким образом, в случае замкнутого множества М из соотношения ~(х)=0 следует, что х принадлежит М.
Докажем, что расстояние г(х) точки х до множества М есть непрерывная функция. Пусть х и у — две точки из К расстояние между которыми меньше к ~х — у~< к и и — произвольная точка ив М; тогда мы имеем, в силу неравенства (3): У(х) ~ ~ х — а ~:==- ~ х — у1+ ~у — а~. Так как вто неравенство справедливо для любой точки а множества М, то оно останется справедливым, если мы заменим в нем правую часть ее точной нижней гранью (когда точка а пробегает 298 ДОБАВление е некотОРые ВОпРОсы Анллизх все множество М): У'(Х) ~ ) Х вЂ” У ~+У(У)С, е+У(У).
Таким образом, 1 (х) — г (у)(е. Точно так же доказывается, что У(у) — ~(х) ( е. Из этих двух неравенств следует, что / у(х) — у (у) !< е. Таким образом, из неравенства !х — у !< е вытекает, что !~(х) †у (у)/ (е, а это значит, что функция г(х) не только непрерывна, но и равномерно непрерывна. Так как расстояние г(х) точки х до множества М есть непрерывная функция, то неравенства г(х) (е и г (х) >е определяют в пространстве (т' открытые множества (см. 3)). Дополнительные мном<ества определяются неравенствами ~(х) ~е и ~(х) = и.
Таким образом, определяемые этими неравенствами множества замкнуты. В частности, множество М, определяемое неравенством 1(х) ( О, замкнуто. Множество М получается из М присоединением к нему всех его предельных точек и называется замыканием множества М. Если множество М ограничено, то множество, определяемое неравенством г(х)~ е, не только замкнуто, но, как легко видеть, я ограничено.
Если' замкнутое ограниченное множество Р не пересекается с замкнутым множеством М, то расстояние между этими множествами положительно. Для доказательства обозначим вновь через г(х) расстояние точки х до множества М, Так как функция У(х) непрерывна, то на замкнутом ограниченном множестве Р она имеет минимум т. Легко видеть, что т и есть расстояние между множествами Р и М.
Покажем, что т)О. Пусть а — такая точка из Р, что у(а)=т. Если бы было т=О, то точка а принадлежала бы множеству М (ввиду его замкнутости), а это невозможно, так как множества Р и М не пересекаются. Так как расстояние у(х) точки х до произвольного множества М есть непрерывная функция, то, в частности, расстояние )х — а ) точки х до точки а является непрерывной функцией от х. Из этого следует, что всякий шар (см. В)) есть открытое множество. В предложении В) окрестностью точки а был назван произвольный шар с центром в точке а. В ряде случаев бывает удобно считать окрестностью точки а произвольное откр ы т о е множество, содержащее а.
При таком расширении понятия окрестности определение предельной точки не меняется. ф 33. Теоремы о неявных функциях В этом параграфе доказываются известные теоремы анализа о существовании и дифференцируемоств неявных функций. Этв теоремы имеют многочисленные применения н, в частности,,потребляются в этой книге. Доказ.тельство теоремы существования неявных фун- творимы о наивных еункциях кций проводится здесь тем же методом последовательных приближений (или сжатых отображений), который используется в $20 и 21, а доказательство дифференцируемости неявных функций использует лемму Адамара (см. й 24, А)).
Таким образом, все содержание этого параграфа очень' Ьлйвко примыкает к методам четвертой главы и хорошо их иллюстрйрует. Мы будем рассматривать систему уравнений , г, х', „., х")=0, 1=1, ..., и, относительно неизвестных х', ,'., х", считая с', ..., гь независимыми переменными. В дальнейшем' будем предполагать, Мто левые части уравнений (1), т. е. функции У' (11, ..., 1", х', ..., х"), 1= 1, ..., и, (2) определены и непрерывны на некотором открытом множестве Г пространства Я переменных 1Р, ...., М, х', ..., х" вместе с их частными производными ы дгч (3) Полагая а=(Р, ..., 1")„х=(х'..., х"); У(х, х)=(Р(х, х), ..., ~'"(х, х)), мы можем записать систему уравнений (1) в векторной форме )'(а, х)=0. (4) Решением уравнения (4) будем называть всякую непрерывную векторную функцию х=вр(Е) векторного аргумента Ф,,определенную на некотором открытом множестве О пространства Т переменных Р..... гь, которая при подстановке в уравнение (4) превращает его в тождество выполненное для всех точек а открытого множества О.
Т е о р е и а 27. Предположим, что функциональный определитель (ОРФФ~! отличен от нуля в каждой точке (в, х) открытого множества Г. Тогда для кажсдой точки (Фм хь) открытого множества Г,' удовлетворяющей условию У(Ф,, х,)=0, (6) существует непрерывное решение х=<р(Ф) уравнения (4), удовлетворяющее условию Ю %(ва) = ха зоо ДОБАВЛЕНИЕ Ь НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА Далее, имеет место единственность. Именно, существуеп«такое открытое множество У в пространстве )ч, содержащее точку (Фр, хь), что каждая точка (в, х) множества К удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет также уравнению х=«рф).
Иными словами, вблизи точки (гь, хь) нет ни одной точки, удовлетворяющей уравнению (4) и не принадлежащей графику функции х=«р (Ф). При доказательстве этой теоремы мы используем равномерную сходимость последовательности векторных функций векторного переменного. В $ 20 и 21 рассматривались лишь последовательности функций скалярного переменного; поэтому мы повторим здесь относящиеся сюда понятия для случая векторного переменного (ср. $21, В)). А) Пусть «о — замкнутое ограниченное множество точек пространства 1; Нормой й' «р ~1 непрерывной векторной функции х=«р(а), заданной на множестве «о, будем называть максимум ее модуля: )! «р ~! = шах ! «р ф) ~ .
Пользуясь понятием нормы, можно формулироватьопределение равно- мерной сходимости последовательности (8) «Ь «рь " ° «р« непрерывных векторных функций векторного аргумента, заданных на множестве г' последовательность (8) равномерно сходится к непрерывной функции «р(а), заданной на том же множестве г', если 1пп й' «р — щд. ~! = О. «о> Для того чтобы последовательность (8) равномерно сходилась к некоторой непрерывной функции, достаточно, чтобы были выполнены неравенства 1 ! «+ 1 ч «! ! ( а « где ч«исаа а«, а,, а„... образуют сходящийся ряд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
