Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Считая, Ь что у(0)= — и производя замену переменных (10), мы придем к си- стеме (12), в которой функция д(У) определяется условием: ( — в'~а при У<' О, в'-а при у) О, Ь гле а= —, Система (12) с выбранной таким образом разрывной функцией д (у) записывается при У ) О, т. е. в верхне. полупло- скости, в виде: .с =у, У = — м~х — 23У+ оРа, (24) а при у(0, т. е, в нижней полуплоскости, в виде: с х =у~ у = — мах — ау — м'-а. (25) Мы будем считать, что корни многочлена (15) комплексные.
Таким образом, положение равновесия (О, 0) системы (14) представляет собой устойчивый фокус (см. $16, В)); системы же (24) и (25) отличаются от системы (14) только сдвигом: их положения равновесия помещены не в начале координат, как у системы (14), а в точке(и,0) Из этого следует, что траектория (21) обязательно входит в эллипс (20). При этом ни одна траектория пе может выйти из этого эллипса, так как в его граничных точках все траектории входят внутрь.. Пусть теперь К вЂ” некоторая окружность в плоскости х,у, содержащая эллипс (20). Из доказанного следует, что всякая траектория системы (12), отличная от положения равновесия (О, 0), обязательно входит в окружность К и остается в ней.
Так как точка (О, 0) вполне неустойчива, то траектория эта не может иметь ее в числе своих а-предельных точек и потому в силу теоремы 21 (см. й 28) она есть либо спираль, наматывающаяся на периодическое решение, либо периодическое решение. Итак, предложение В) доказано. 250 устОпчивость (гл я у системы (24) и в точке ( — а, О) у системы (25). Заметим, ч>о спирали линейной системы (14) наматываются на положение равновесия (О, О) и о ч а совой с т р ел к е и что при прохождении полу- витка спирали фазовая точка при бл и ж ветс я к началу координат, так что ее первоначальное расстояние от начала координат умножается иа некоторое число Л(1, не зависящее от начального положения точки (см. ч 16, В)). )Лля того чтобы представить себе фазовую плоскость системы (12) в случае, когда функция а(у) определяется условиями (23), нужно верхнюю полуплоскость заполнить полувятками спиральных траекторий системы (24), я нижнюю — иолувитками спиральных траекторий системы (25); при переходе же через прямую у=О следует непрерывно переходить с одних траекторий на другие.
Исходя нз этого описания фазово(1 картины системы (12) (см. (23)), будем искать ее замкнутые траектории. Рассмотрим траекторию системы (12) (см. (23)), начинающуюся на осн абсцисс в точке с координатой Е >О. Так как движение в фазовой плоскости системы (12) происходит по часовой стрелке, то из выбранной тсчки траектория пойдет в нижнюю полуплоскость и, следовательно, будет управляться системой (25). Носле прохождения полувитка спирали в нижней полунлоскостн фазовая точка вновь попадает иа ось абсцисс в точку с координатой — (а+ Л (а+ Е)). Это следует из того, что при прохождении полувнтка спирали расстояние фазовой точки от положения равновесия ( — а, О) умножается на Л.
Точка с координатой (26), лежащая иа оси абсцисс, буди г затем лпигаться в силу системы (24) и, после прохождения полу- витка спирали в верхней полуплоскости, придет на ось абсцисс в точку с координатой: а+ Л (2а+ Л (а + ",)) (27) Таким образом, траектория, начинающаяся я точке с координатой Е ) О иа положительной части оси абсцисс, после полного обхода вновь попадает иа положительную часть осн абсцисс, ио уже в точку с координатой (27), н мы получаем отображение Х положительной полуоси абсцисс в себя, определяемое соотношением Х (Е) =а+ 2Ла+ ЛЯа+ ЛЯЕ.
Функция у (Е) есть функция последования для системы (12) (см.(23)). Имеется лишь одно значение Е, удовлетворяюшее условию Х(Е)= Е н этому значению Е соответствует предельный цнкл системы (12), н критом грубый и устойчивый, так как Х'(Е)= Л' ( 1 (см. $ 28). положения РАВИОВВсия' АВтОнОмнОЙ систгмы 251 а о1 ф 311.
Полоисения равновесия автономной системы второго порядка Здесь будут классифицированы и изучены невырожденные положения равновесия нормальной автономной системы уравнений второго порядка: х=у(х, у), у=а(х у) Невы рожденные положения равновесия Так как положение равновесия всегда можно принять за начало координат, то мы будем предполагать, что подлежагцее изучению положение равновесия системы (1) есть начало координат.
Линеаризуя систему (1) в точке (О, 0), т, е, разлагая правые части системы (1) в ряды Тейлора по х и у я отбрасывая члены второго порядка, получаем линейную систему: л = а,'х «- о„'у, у = а' х + а,"у. (2) Пусть ! и «г — собственные значения матрицы (а'.), Положение равно! вссия (О, 0) системы (1) называется нсвырожденны.гг, если числа Х и й не равны между собо«1 и нх действггтельпые части отличны от пуля. 1!оведенпе траекторий линейно«.
системы (2) было детально изучено в ч 16. Здесь будет показано, что для невырожденного положения равновесия поведение траекторий вблизи положения равноВесия (О, 0) системы (1) в существенном совпадает с поведением траекторий вблизи положения равновесия (О, 0) системы (2). За положением равновесия (О, 0) системы (1) сохраняется наименование, данное в В 16. Если числа >, и р оба действительны и отрицательны, то положение равновесия называется устойчивым узлом. Если числа ), и «г оба действительны и положительны, то положение равновесия называется неустойчивым уэлолг.
Если числа Х и р комплексно-сопряжены и имеют отрицательную действительную часть, то положение равновесия называется услгойчпвылг фокусом. Если числа 1 и р комплексно-сопряжены и имеют положительную действительную часть, то положение равновесия называется неустойчивым фокусом. Наконец, если числа ) и р действительны и имеют различные знаки, то положение равновесия называется седлом.
причем будет предполагаться, что правые части дважды непрерывно дифференцируемы, а в теореме 23 — что они трижды непрерывно дпфференцируемы. 252 кстопчнпость 1гл а < х = а',х+ а.'у+ г(х, у), у = а' х+ а»у+ з (х, у), (3) где остаточные члены г(х, у) и з(х, у) в точке х=О, у=О обрагцаются в нуль вместе со своими первыми производными по х и у и могут быть записаны в виде: г (х, у) =- г их» -1- 2г мху + г.„у', з(х, у) =знх»+ 2з, ху+з»,у», (4) причем коэффициенты г,» и з;, этих «квадратичных форм» являются функциями переменных х, у, ограниченными вблизи начала координат, Оказывается, что, производя действительное линейное преобразование величин х, у в величины», 'л, можно привести систему (3) к простому виду, причем следует различать два случая: 1) Если собственные значения ),, 1» матрицы (а'.) действительны и различны, то система уравнений для» и»1 записывается в виде: ~=),~+Р(~, 1), ~=Р,~+в(~, ~).
(б) 2) Если собственные значения матрицы (а!) комплексно-сопряжены, т. е. имеют вид 1»+Й и 1» — 1ч, то система уравнений для $ и Наиболее простые свояства поведения траектория вблизи поло- женив равновесия можно установить, непосредственно опираясь ца теорему Ляпунова (теорема 19) и предложение Е) ч 28. Таким образом, мы получаем предложение: А) Устойчивый узел и устопчнвыИ фокус являются асимптотически устойчивыми положениями равновесия, НеустоИчивый узел н неустоп- чявыИ фокус являются вполне неустойчивыми положениями равновесия. Это предложение в значительноИ степени уже решает вопрос о поведении траектории вблизи узла и фокуса.
Действительно, если известно, что данное положение равновесия является асимптотически устой швым, то с точки зрения приложений уже часто бывает не. важно, каким именно способом стремятся к нему траектории. То же самое относится и ко вполне неустойчивому положению равновесия. Совсем другую роль играет седло: знзя поведение траекториИ вблизи него, можно высказзть ценные суждения о поведении траекториИ на всей плоскости. В то же время теорема о поведении траекторий вблизи седла доказывается значительно труднее, чем соответствуюшие теоремы относительно узла и фокуса. Произведем теперь в фазовоИ плоскости системы (1) линейное преобразование координат, с тем, чтобы придать еИ наиболее простой вид: Б) Разлагая правые части системы (1) в ряды Тейлора по х и у с точностью до членов второго порядка, получим: $301 положсния РАвноввсггя автономной еггсгсмы записьпгается в виде: г1 = рг — чтг+ Р ($, ъ;), тг = 'гг + (г 4+ а (г, т!).
(6) В обоих случаях остаточные члены р(с, тг) и а(ь, т!) обладают теми свойствами, которые были отмечены выше для функций г (х, у) и ь(х, у). В первом случае система принимает вид (о), если принять ва оси направления собственных векторов матрицы (а'.). 1 Для доказательства предложения Б) достаточно найти такое линейное преобразование координат х, у в координаты .", ти чтобы линейная система (2) приобрела простой вид. Такое преобразование уже было найдено (см. 2 14, Е)). Применяя то же преобразование к системе (3), мы получим систему (о) или, соответственно, систему (6).
Поведение траекторий вблизи седла Рпс. 52 Т е о р е м а 22, Предположим, что положение равновесия О=(0, О) системы (1) является седлом. Пуспгь Р— прямая, проходящая через точку О в направлении собственного вектора матрицы (аг) с отрицапгель- г' ным собственнылс значением, а 1„1 — прямая, проходящая через точку О в направлении собственного вектора матрицы (а') с положительным l I собственным значениелг, Тогда гл б Уг (рис.
68) сугцествуют ровно две траектории Ц и Ц гистелгы (1), которые при 1 + со асимптотпчески приблпжаюпгся к точке О, Этгг траектории вмес>пе с то гггой О образуют неггреры аную дяфференцируемую кривую К касающуюся ирялгой Р в точке О. Точно гпак же существуют ровно две пграекторип п К, системы (1), которые при 1 — со асплгпгпотпчески прпблпжаюигся к лгочке О; эигя траекгпорпп влгесгпе с точкой О образуют непрерывную дифференцируемую гсривую 1г, касающуюсн пвялгой Я в точке О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
