Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Заметим, что особое положение, которое в формулах (а), (Ь) и схемах (сс), (р) переменная х занимает по отношению к другим связанным переменным, может быть компенсировано с помощью правила переименования связанных переменных. Теперь постараемся понять, как с помощью применения перечисленных правил можно получить обычно применяемые способы умозаключений. А именно, как и в исчислении высказываний, мы при помощи выводимых формул изобразим логические законы, выражающие правила, по которым ведутся рассуждения. Однако прежде мы вкратце покажем, как с помощью кванторов всеобщности и существования могут быть изображены формулы категорических суждений «все Я суть В», «некоторое Я есть В», «ни одно Я не есть В», «некоторое Я не есть В».
2) Ом. с. 123 — 124 л 130 — 138. Здесь Я и В суть предикаты с одним аргументом, и упомянутые четыре суждения в нашей символике формулируются следующим обрааом: тх(Я(х) — ьВ(х)) («всякий объект, обладающий свойством Я, обладает также и свойством В»); тх (Я (х) -«- )В (х)) («никакой обьект, обладающий свойством Я, не может обладать свойством В»); Зх (Я (х) дс В (х)) («существует объект, который одновременно обладает и свойством Я и свойством В»); Эх (Я (х) дс 7 В (х)) («существует объект, который обладает свойством Я, ко не обладает свойством В»).
Относительно всеобщего суждения «все Я суть В» мы заметим, что то, как оно представлено в нашем формализме, соответствует точке зрения, согласно которой такое суждение является истинным и тегда, когда ни один объект из индивидной области не обладает свойством Я. В самом деле, формула 7х(Я (х) -э В(х)) выражает содержательное высказывание о том, что для всякого объекта а из этой нндивидной области Я (я) -» В (а) истинно, и так как импликация (о-ь Х в случае ложности»р принимает значение «истина», то это высказывание выполняется и в том случае, если для всякого объекта а на инднвидной области Я (а) ложно.
Это отклонение от аристотелевского толкования всеобщего суждения, которое само по себе возражений не выаывает, делается нами из соображений простоты. И хотя вследствие сказанного в качестве субъекта всеобщего суждения можно допускать и такие понятия, под которые не подпадает ни один объект из инднвидной области, все же оказывается целесообразным пусгпую индивидную область ив рассмотрения исключить 2). г) Относительно допустимости пустых нвднвндкых областей см. Работу» Я с ь к о в с л н й (Я. 7»вйонвй(). Оа 1Ь« га1вв о( »эрро»К1оп ш 1оппа! !оз(с.— 81эс)1а 1офса (Ъ7агвввгга), 1934, )Ч 1, р.
1 — 32, а также болев по»данс работы: К у в й н (%. г'. 1)ошв). 1)о»ЛШ!са11оп авб «Ь« вшр1у с(ошаш.— Х. ЯушЬо!(с Ьо81«„1954,'19, р. 177 н след.; Ш н а й д в р (Н. Н. ЯсЬВ«йвг). Явгваоысв .1 »Ь. Р;вб)с»1' О.'!'.)ев ~~1Ь !«»пм у впб 1Ьв у«1181»у ш »Ь. Ешргу 1пб(»1 баа!-1)ошаш.— Рог»ад. Мв»Ь., 1958, 17, дз 3, р. 85 — 96. Ом. также бнблиографию в упомянутом сочин«пни Куайна. 1 г) выводимость 145 )гл. тт ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ Это связано, в частности, с тем, что иэ формул (а) и (Ь): 'эхА (х) -Р А (а), А (а) -и ЗхА (х) с помощью правила силлогизма может быть выведена формула 1г хА (х) -е- ЗхА (х) . Однако на самом деле эта формула не согласуется с трактовкой грхА(х) и ЗхА(х) как конъюнкции и дизъюнкции, распространенных на всю индивидпую область.
Действительно, нульчленная конъюнкция в духе исчисления высказываний должна была бы 11 считаться истинной, а нульчленная диэъюнкция — ложнои ). Поэтому для случая пустой индивидной области формула )УхА (х) -ь ЗхА (х) была бы импликацией с истинной посылкой и ложным заключением и, следовательно, ложной. й 3. Выводимость 1. Некоторые производные правила. Переходя теперь к исследованию формальных выводов, мы начнем с составления специального списка производных правил. Установление производных правил служит для целей краткого н обозримого представления формальных выводов. Во всяком таком правиле формулируется итог какого-нибудь часто повторяющегося процесса, состоящего из ряда применений ранее упоминавшихся правил (осноеных праеил), и вывод этого правила есть не что иное, как указание соответствующего процесса. Несколько правил подобного рода для исчисления еыслазыеаний мы уже приводили в конце предыдущей главы.
Правила эти получаются путем ряда применений правила, поэволяющего взять в качествв исходной формулы любую тождественную формулу, схемы заключения и правила подстановки вместо формульных переменных, Применение этих правил может быть распространено на формулы в нашем расширенном смысле.
Еще раэ коротко перечислим эти правила: 1. Наши первоначальные правила замены 1 — 4 ). г 2. Правила соединения, разъединения и перестановки посылок '). 3. Правило контрапоэиции. 4. Правила эамены для эквивалентности, '] См. с, 87. г) См. с. 791 г) Относительно пп. 2 — Э см. с. Нб н далее. 5. Правила сокращения кратной посылки в импликации и присоединения произвольной посылки.
6. Правило силлогизма. 7. Схемы (8) и (1) для конъюнкции и диэъюнкции'). 8. Правило объединения двух взаимно обратных импликаций в эквивалентность г). 9. Схема эквивалентности. Что касается способа записи формул, то мы введем здесь дополнительное соглашение о том, что внаки и -ь разделяют сильнее, чем бс, ')/ и кванторы. Приводимые ниже правила касаются действий с кванторами всеобщности и существования, а именно, в них будет идти речь о переходе от свободных переменных к связанным. При рассмотрении этих правил мы всякий раэ в качестве свободной переменной будем брать а, а в качестве связанной — х.
Особая роль этих переменных не вызывает никаких ограничений в дальнейших применениях. Действительно, в случае свободных переменных мы всегда можем произвести необходимое переименование применением правила подстановки, а для связанных переменных нами было специально введено правило их переименования.
С помощью приводимых далее выводов мы сможем более отчетливо раэобраться в существующем здесь положении вещей. Общая оговорка для всех этих правил, как и для схем (а) и (р), заключается в том, что переменная а в исходной формуле не встречается нигде, кроме мест, указанных в качестве аргумента, и что тв формулы, перед которыми будет проставляться квантор Чх или Эх — с заменой свободных переменных связанными,— переменной х не содержат. Это предварительное условие применимости упомянутых правил не всегда будет оговариваться специально. Первое правило иэ числа тех, которые мы должны здесь упомянуть, мы уже встречали при рааборв схемы (и). Оно формулируется следующим образом.
Правило (у): От формулы Я -+ () — 6(а)) лголсно перейти и формуле Я- (лб — 'Фх1э(х)), Это правило допускает, как легко видеть, обобщение на слу чай импликаций с более чем двуми посылками. Тем самым схема (и) обобщается на случай импликации с двумя или более посылками. С другой стороны, любое выражение 1) См.
с. 112, 115. г) Отнсснтельно пп. 8 н 9 см. с. Н8, 119. 10 д гиаьберт, и. Бериаае [гл. го 147 1 з) Выводимость исчнслвнив пгндиклтов 146 со свободными переменными может быть связано квантором всеобщности и в том случае, если перед этим выражением не стоит вообще ни одной посылки, т. е. имеет место следующее Правило (у): От Я (а) можно перейти к )ХхЯ (х). Это делается таким образом, что мы сначала присоединяем к формуле Я(а) посылку (С -ь С), затем к получившейся формуле (С вЂ” С) — Я (а) мы применяем схему (со) и получаем (С-ь С) -ь)ухЯ(х); эта формула вместе с тождественной формулой (С- С) по схем« заключения дает нам формулу чхЯ (х).
Если мы захотим, наоборот, перейти от формулы )ХхЯ (х) к Я (а), то для этого будет достаточно взять какую-нибудь не входящую в )ХхЯ (х) свободную переменную с, подставить в формулу (а) вместо именной формы А (с) атой формульной переменной формулу Я (с) «), так что получится )7хЯ (х) -«- Я (а), и затем применить схему заключения. П р а в и л о (6): ХХз формулы Я (а) — й)(а) можно получить формулы 7хЯ (х) — ь )Хх)В (х) и ЗхЯ (т) -+. Лхй (х). Первый переход осуществляется следующим образом. Из формулы (а) подстановкой Я (с) вместо А (с) мы получаем формулу кхЯ (х) -ь Я (а); вместе с исходной формулой по правилу силлогизма она дает нам ЧхЯ (х) — Е (а), «) В дальнейшем подстановка выестс нменной формы А (с) будет дяя нраткостн назыкаться подстановкой «вместо А (с)м а отсюда по схеме (сь) получается формула 1кхЯ (х) — ь 1охЗ (х).
Совершенно аналогичным обрааом мы можем получить и формулу ЗхЯ (х) -ь Зх)В(х); мы только должны будем вместо формулы (а) применить формулу (Ь), в которой теперь вместо А (с) должно быть подставлено )В(с), а вместо схемы (сс) мы должны будем применить схему (р). Из правила (6) мы можем легко получить еще одно правило! Правило (6): ХХз формулы Я (а) Ж (а) можно получить формулы 'зхЯ (х) Чхй (х) и ЛхЯ (х) Зхй) (х). С этой целью достаточно разложить заданную эквивалентность и обе искомые на импликации и применить к ним правило (6). 2. Вывод некоторых формул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
