Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если в качестве исходных формул мы будем использовать только тождественно истинные Выражения, то можно быть вполне уверенным, что в числе выводимых формул не окажется никакое выражение Я вместе со своим отрицанием 1Я. Однако это вполне может произойти, если в качестве исходных формул кроме тождественно истинных выражений мы будем брать еще и какие-нибудь формализованные носилки. Если в ревультате добавления таких посылок какая-либо формула Я окажется выводимой вместе со своим отрицанием 1Я, то мы будем говорить, что эти посылки ведут к противоречию. Если такой случай действительно будет иметь место, то тогда окажется выводимой вообще любая формула, которая может быть подставлена вместо переменных А, В,...
В самом деле, пусть Э вЂ” формула такого рода. Возьмем тождественно истинное выражение А — «(1А — «- В). Подставим в него вместо А формулу Я, а вместо В формулу Я. Тогда получится Я- ('Я- «"1). Так как Я и 1 Я по нашему предположению выводимы, то двукратным применением схемы заключения мы сможем из этой Формулы получить Формулу 5. Поэтому, если о какой-нибудь системе посылок мы знаем, что с их использованием не может быть выведена некоторая формула 5, которая может быть значением переменных А, В, ..., то тем самым мы можем быть уверены, что рассматриваемые посылки вообще не могут привести ни к какому противоречию.
Это замечание мы впоследствии используем в ряде доказательств непротиворечивости. ВВЕДЕНИЕ ИНДИВИДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГЛ АВА 'Л 121 ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫВОДА П: ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ б $. Введение индивидных переменных; понятие формулы; правило подстановки; пример; параллель с содержательными рассуждениями Материал предыдущей главы подготовил нас к формализации процесса логического вывода.
Мы построили особую вспомогательную дисциплину — теорию истинностных функций — и на ее основе разработали способ формализации умозаключений определенного рода. Этот способ состоит в том, что мы исходим из определенного типа формул, представляющих собой либо тождественно истинные выражения, либо символические записи некоторых посылок (аксиом), а дальнейшие формулы выводим из них, пользуясь правилом подстановки и схемой заключения. Этот способ совершенно обходит стороной один очень существенный логический момент, а именно — отношение сказуемого к подлежащему, т.е. связь между субъектом и предикатом.
Эту связь и основывающиеся на ней способы умозаключений мы и должны теперь будем отразить в нашем формализме. Первым шагом в етом направлении будет введение индиеидних переменных. Для начала мы хотели бы связать их с теорией истинностных функций. Чтобы лучше нанять суть дела, будет полезно рассмотреть одну математическую аналогию. Если мы возьмем какое-либо формальное алгебраическое тождество, например (х + у) ° (х — у) = х' — у», то справедливость его не нарушится и в том случае, если мы будем считать, что входящие в него переменные дополнительно зависят от одного или нескольких параметров, т. е, если мы, например, заменим в упомянутой формуле х и у посредством х(1) и у(1), так что получится равенство (х (1) + у (О) ° (х (Π— у (1)) = (х (1))е — (У (1))е.
Это равенство будет выполняться тоя'дественно как относительно х и у, так и относительно 1 (здесь переменная 1 принимает значения в определенной числовой области, а х и у являются переменными для функций, которые всякому числу из области изменения 1 ставят в соответствие некоторые значения из области изменения первоначальных переменных х и у). Разумеется, совершенно аналогичным образом мы моя<ем смотреть и на тол«дества логики высказываний, т.
е. на тождественно истинные выражения. Переменные А,В,..., способные принимать лишь два значения «истина» и «ложь», мы можем считать дополнительно зависящими от параметров, которые в свою очередь пробегают некоторую область значений, будь то область объектов какого-либо определенного вида или же какая- либо фиксированная индивидная область.
Эти'параметры мы будем назь1вать и н д н в и д н ы м и и ер е м е н н ы м и и будем обозначать их строчными буквами латинского алфавита а, Ь, ..., в отличие от переменных исчисления высказываний, обозначаемых буквами А,В,... Выражения типа А (а), А(а, Ь) будут изобраясать величины, принимающие два значения; аадание А осуществляется посредством некоторой функции, которая каждому допустимому значению а, соответственно а и Ь, сопоставляет одно из значений «истина» или «ложь».
Всякая такая функция как раз и представляет собой то, что мы в гл. 1 называли пробегом значений предиката г). Итак, введением индивидных переменных мы от логики высказываний приходим к логике кредикатое. Произведенное таким образом расширение символики немедленно позволяет нам получить из тождественно истинных выражений логики высказываний тождества некоторого нового тина.
Так, например, из тождественно истинного выражения А~ 1А мы можем получить выражения А (а) )/ 1 А (а), А (а, Ь) 1/ 1 А (а, Ь), которые являются тождествами в том смысле, что они тождественно принимают значение «истина» независимо от того, как специа- ') Си. е. ЗЗ. Название во«ходит к Орете. 423 исчисление пгеднклтов 422 ВВЕДЕНИЕ ИНДИВИДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ И лнзированы, с одной стороны, переменная А посредством какого- нибудь предиката и, с другой стороны, иядивидные переменные посредством каких-либо индивидов.
Действительно, при произвольной фиксации а и Ь А (а), соответственно А (а, Ь), принимают одно нз двух значений, «истина» нли «ложь», так что все выражение в целом принимает одно из значеянй выражения А )( )А, а стало оыть, значение «истина», поскольку это выражение является тождественно истинным. Теперь, в свете этих соображений, мы дадим некоторую расширенную версию правила подстановки '). Прежде всего мы введем понятие формулы. Ф о р м у л о й мы оудем считать символическое изображение какого-либо переменного или постоянного высказывания, соответственно какого- либо переменного или постоянного предиката.
Это определение нуждается в уточнении путем описания формальной структуры тех выражений, которые мы будем допускать в качестве формул. Такая формальная характеризацня оказывается возможной вследствие того факта, что формализацию вывода мы будем рассматривать лишь в рамках аксиоматических теорий. В любой аксиоматической теории вводятся объекты заранее определенных типов, а также некоторые основные отношения между этими объектами. Каждое из этих отношений изображается предикатным символом с тем или иным числом аргументов, зависящим от числа фигурирующих в этом отношении субъектов, причем каждый из аргументов пробегает вполне определенную предметную область. Для объектов каждого из этих типов вводятся соответствующие индивидные переменные.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда будет иметься всего лишь обмп сорт объектов, так что у нас не будет надобности вводить индивидные переменные различных типов. Э л е м е н т а р н о й ф о р м у л о й мы будем называть выражение, которое представляет собой либо одну из переменных А, В, С,, либо переменную этого рода с одной или несколькими индивидными переменными, приданными ей в качестве аргументов, либо предикатный символ э) с относящимися к нему аргументами, либо выражение, которое получается из какого-либо 1) См. с.
94. ") Симввлм авторами протнзопоставляются переменнмм. Так, прэднкатный символ — это термин некоторого пвствяннвгв предяката, а нндявяднмй символ — нмя некоторого пвствяннвга индивида.— Прим. перев. выражения перечисленных выше типов путем замены индивиднои переменной именем какого-либо объекта — и н д и з и д н ы м с и м в о л о м. Формулой мы будем называть выражение, которое либо является элементарной формулой, либо получается из элементарных формул с помощью логических знаков — ~-,А, ')/,, ) исчисления высказываний. Сразу же заметим, что понятие формулы в дальнейшем будет определенным образом обобщено.
Однако мы хотели бы, начиная уже с этого места, использовать слово ф о р м у л а в качестве вполне определенного термина 1) и в связи с этим мы будем называть переменные А,В,С, . ° формульными переменными, Формульные переменные с присоединенными к ним ийдивидными переменными мы будем называть формульными переменными с а р г у м е н т а и и. Такие переменные будут играть роль предикатных переменных.
Внутри какой-либо формулы одна и та же формульная переменная может встречаться с различными аргументами: она будет считаться «одной и той же» в случае совпадения соответствующих заглавных латинских букв и числа аргументов. Вследствие этого соглашения формульные переменные с равличным числом аргументов всегда будут рассматриваться как различные плремеппые. Чтобы иметь возможность упоминать какую-либо формульпую переменную с аргументами в отрыве от конкретных замещений ее аргументов, с которыми она встречается внутри тех или иных формул, мы введем понятие именной формы переменной. У именной формы в качестве аргументов будут фигурировать индивидные переменные, отличающиеся друг от друга (если их несколько) и от остальных переменных, входящих в рассматриваемые нами формулы.
Теперь мы можем сформулировать обобщенное правило подсп»ановки. Операция подстановки, вообще говоря, будет заключаться в переходе от одной формулы к некоторой другой, отличающейся от исходной тем, что вместо определенной переменной всюду, где она встречается в исходной формуле, подставляется одно и то же выражение. Более точное определение этой операции для различньгх типов переменных может быть сформулировано следующим образом: ') Наряду с этим мы будем бэз строгого опрэдэлэяяя употреблять термин з н р з ж э н н э для обозначэння произвольных знаковых комплексов нашей символики.
125 1гл, го ИСЧИСЛЕНИЕ ПРБДИКАТОВ 124 » 11 ВВЕДЕНИЕ ИНДИВИДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Вместо индивидной переменной может быть вновь подставлена либо индивидная переменная, либо индивидный символ. Вместо формульной переменной без аргументов может быть подставлена любая формула. Подстановка вместо формульной переменной с одним или несколькими аргументами производится таким образом, что сначала для именной формы этой переменной укааывается некоторая формула Я с теми индивидными переменными„которые фигурируют в качестве аргументов в именной форме нашей переменной, а затем на каждом месте (в рассматриваемой формуле), где эта формульная переменная встречается с теми нли иными аргументами, вместо нее подставляется та формула, которая получается из Я, если вместо индивидных переменных именной формы подставить соответствующие аргументы этой формульной переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
