Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотрим пример, поясняющий применение этого правила в случае формульной переменной с аргументами. Пусть 9 (а, Ь) и Ф (а, Ь, с) — предикатные символы, и пусть нам дана формула А$(а, Ь) бсср(а, с) «А(с, Ь). Из этой формулы формула Ф (а, а, Ь) бс 8 (а, с) -ь Ф (а, с, д) может быть получена в результате следующей подстановки. Для формульной переменной А с двумя аргументами берем именную форму А (та, е) и будем подставлять вместо А (т, е) формулу Ф (а, ж, и).
Тогда вместо А (а, Ь) должно быть подставлено Ф (а, а, Ь), а вместо А (с, Ь) — Ф (а, с, Ь), что н дает в результате искомую формулу. К этим правилам подстановки мы добавляем наше старое правило, позволяющее брать в качестве исходной формулы любое тождественно истинное выражение логики высказываний (для краткости мы будем говорить тождественная формул а), а также схему ааключепия Формальное исчисление, порождаемое этими правилами, мы проиллюстрируем с помощью ряда замечаний и примеров.
В качестве непосредственного следствия нашего обобщенного правила подстановки получается, что рассуждение по правилу силлогивма мы теперь можем распространить на формулы, содержащие индивидные переменные. Так, из двух формул Я (а) — ь й)(а), 1й (а) -ь. 'су (а) мы можем вывести формулу Я (а) «- 1е (а), а из формул з((а, Ь)-ь3(а, Ь) и йо(а, Ь)-ыб(а, Ь) — формулу Я (а, Ь) — б (н, Ь). Тем же самым способом мы можем применить к выражениям с индивидными переменными и другие преобразования, порождаемые соответствующими правилами аамены. Рассмотрим следующий пример, в котором, в частности, применяется и правило подстановки Вместо индивидных переменных.
Для числового предиката < (а, Ь), «а м е н ь ш е Ь», выполняются следующие две аксиомы 1): Ц <(а, а), <(а, Ь) бс <(Ь, с) «- <(а, с). < (а, Ь) «- (< (Ь, а) «- < (а, а)). Теперь возьмем тождественную формулу (А -ь В) -+ (~  — ь ЧА) и подставим < (Ь, а) < (а, а) вместо А и ') Здесь и далее, где ато не будет вызывать недоразумений, а к с и о м о м и мы будем назызать Формулы, изображающие аксиомы.
Из них требуется вывести, что <(а, Ь)-»- 1 <(Ь, а). По нашим правилам этот вывод может быть осуществлен следующим образом. Подставим во вторую аксиому вместо с переменную ее < (а, Ь) А < (Ь, а) «- < (а, а). С помощью правила разъединения посылок преобразуем эту формулу в ВВЕДЕНИЕ ИНДИВИДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 12"« 1гл.
1У ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ вместо В. Это даст нам (< (Ь, а) -~ < (а, а)) -«-( 1 < (а, а) -«. 1 < (Ъ, а)). Эта формула вместе с полученной ранее по правилу силлогизма дает <(а, Ь)-+.( 1<(а, а) — ~- 1<(Ь, а)). Затем по правилу перестановки посылок получается % <(а, а) — ~-(<(а, Ь) — ~- 1<(Ь, а)), а зта формула вместе с аксиомой 1 < (а, а) по схеме заключения дает искомую формулу <(а, Ь) -+ 1 <(Ь, а). Теперь ее можно применить к конкретным числам.
Пусть, например, доказано, что <(1'2, — „,). Тогда отсюда мы можем вывести формулу ч< ( —, )Г2), подставив сначала в полученную выше формулу у'2 вместо а и 3 — вместо Ь, что даст нам формулу (1/2, — ) < ( —, ~г'2) а аатем применив к ней и к формуле (~/2, — ) схему заключения, что в итоге даст В рассмотренном нами примере формального вывода проступают некоторые черты отличия нашего формального метода от обычных содержательных рассуждений.
Черты эти заключаются в следующем. Вместо всеобщих суждений о числах, которые справедливы для каждого отдельного числа, мы имеем адесь формулы с индивидными переменными; соответствующие формулы для конкретных чисел получаются из них в результате операции подстановки (в соответствии с правилом подстановки). Кроме того, мы отклоняемся здесь от обычной формы гипотетических суждений. В самом деле, пусть, например, В(а) и б (а) — два предиката, н пусть с«обозначает предмет, могущий служить субъектом (аргументом) этих предикатов. Тогда, если имеется предложение «еслн В (а), то б (а)» и если, кроме того, известно, что В (а) имеет место, по нравнлам содержательной логики мы можем отсюда непосредственно ааключнть об истинности б (с«). По нашему же методу мы сначала из формулы В (а) -+.
б (а) с помощью подстановки выводим В («») -«- б (а), н только ага формула, взятая совместно с формулой В (а), позво- ляет нам получить по схеме заключения формулу б (а). Таким образом, этот шаг вывода следствия мы разлагаем на два: на под- становку и на применение нашей схемы заключения. Это отклонение нашего метода от привычных способов рас- суждений связано со смысловым различием между импликацией н гипотетическим суждением. Именно, формула В(а)-эб (а), которую мы используем для формализации гипотетического суждения «если В(а), то б(а)», соответствует не непосредственно этому гипотетическому суждению, а утвернсдению о том, что при всяком значении а имплнкация В (а) -~ б (а) является истинной.
Хотя оба эти высказывания равнозначны в том смысле, что всякий раз, когда имеет место одно из них, имеет место и другое, все-таки содержание их не одинаково: в то время как гипотетическое суждение в случае истинности В (а) для какого-либо объекта а выражает истинность б (а) н потому от констатации В (а) ведет непосредственно к б (а), Второе из этих утверждений доставляет нам некоторое высказывание о любом объекте а (нз индивндной области) независимо от того, истинно ли В (а), и это высказывание, будучи применено к с«, позволяет сделать вывод об истинности б (с«) лишь в соединении с высказыванием В (с«).
Сказанное позволяет содержательно объяснить то разлон1ение гипотетических умозаключений на два шага, которое происходит )ГЛ. )и ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ 128 » 2) сВЯЗАнные переменные и пРАВилА для кВАнтоРОВ 129 в рамках нашего формального метода.
С формальной стороны это разложение мотивируется тем, что при переходе от формулы В (а) -ь 'сь (а) к 6 (а), совершающемся в силу сделанного допущвыия В (а), происходят два преобразования: вместо переменной а появляется имя предмета «г, а затем у импликации берется лишь ее второй член. Оба эти формальным образом осуществляемые действия в нашем формализме выполняются последовательно, друг за другом.
Благодаря атому правила формального вывода приобретают известную простоту и прозрачность. 3 2. Связанные переменные и правила для кванторов всеобщности и существования 1. Недостаточность свободных переменных. Бведвние индивидных переменных и связанное с ним обобщение правил подстановки представляют собой лишь начало формализации логики предикатов. Для полной формализации нам потребуются, кроме того, специальные символы и правила, с помощью которых можно будет изобразить логические формы всеобщего и частного суждений, а также основанные на этих формах способы умозаключений. Правда, для всеобщих суждений одно такое представление мы уже имеем.
Б самом деле, формула, зависящая от одной или нескольких иыдивидных переменных, соответствует некоторому всеобщему предложению, которое выражет ту мысль, что рассматриваемый нами предикат является истинным для каждого предмета (или для каждой пары, тройки,... предметов) из области значений рассматриваемых переменных.
Однако это представление оказывается недостаточным; действительно, выражение Я(а) или Я (а, Ь) соответствует, в духе содержательыого истолкования, всеобщему суждению лишь тогда, когда оно фигурирует в качестве отдельной формулы, н дело обстоит совсем иначе, если оно выступает как составная часть какой-либо другой формулы.
Так, например, формуле )Я (а) соответствует вовсе не отрицание всеобщего суждения, представ- ленного формулой Я (а), а утверждение о том, что отрицание Я имеет место для всякого предмета из области значений переменной а. Действительно, с помощью подстановки мы можем из )Я (а) получить )Я (а) для любого значеыия а перемеыной а. Эту мысль можно пояснить вще и следующим образом. Суждение, соответствующее формуле ~ Я (а), вследствие наличия в ыем переменной а должно быть всеобщим суждением и вследствие наличия отрицания оно должно быть общеотрнцательыым.
Однако отрицание общеутвердительыого суждения представляет собой не общеотрицательыое суждение, а частноотрицательное. Таким образом, мы пока еще не в состоянии выразить в нашем формализме отрицание всеобщего суждения. Более того, у ыас пока ыет никакого способа выразить даже общеутвердительпое суждение, стоящее в посылке гипотетического предложения. Так, например, суждение «если Я (а) справедливо для всех значений перемеыыой а, то имеет место и 3» мы ые можем формально выразить посредством импликации Я(а)-ь В. Б самом деле, нз этой импликации мы могли бы для любого значе-. ния а переменной а получить формулу Я (а)-ьВ, так что уже из произвольной формулы Я (а) формула 3 получалась бы по схеме заключения. Это показывает, что формула Я (а) -~3 соответствует вовсе ые высказыванию о том, что В имеет место в случае истинности Я для всех значений а.
Напротив, она соответствует высказываыию о том, что В имеет место в случае истинности Я для какого-нибудь произвольного значения переменной а. Таким образом, наши нынешние формальные выразительные средства ые дают возможности ыи образовывать отрицания всеобщих суждений, ки вводить суждения этого типа В посылки импликаций. С другой стороны, рассмотренный материал показывает, что представление частноутвердительыого (экзистенциального) суыедеыия в рамках имеющегося ыа данный момент формализма воз- 9 Д. Гииьберт, П. Вери«ге [гл.
ш 13О 1 »1 связАнные пеРеменные и пРАВилА для кВАнтОРОВ 131 ИСЧИСЛЕЕШЕ ПРЕДИКАТОВ можно и в тех сочетаниях, в которых всеобщее суждение оказывается непредставимым. Действительно, отрицание частноутвердительного суждения «для некоторых значений а имеет место Я (а)» или, в более точной экзистенциальной формулировке, «существует значение переменной а, для которого имеет место Я (а)» равнозначно общеотрицательному суждению, соответствующему формуле ) Я (а); а суждению с экзистенциальной посылкой «если существует значение а, для которого имеет место Я (а)» или, короче, «если Я (а) имеет место для некоторого значения а» соответствует формула Я(а) — д).
Тем не менее для экзистенциального суждения как такового мы пока никакой формализации не имеем. 2. Введение связанных переменных; кванторы всеобщности н существования; правило переименовании переменных; предотвращение неоднозначностей; обобщение понятия формулы и правила подстановки. Все сказанное приводит нас к необходимости ввести специальные символы для всеобщности и существования. В этом вопросе мы будем придерживаться (с незначительными отклонениями) символики, принятой в РР1пс1р1а Ма«Ьеша11са (уже в гл. 1 для иэображения всеобщих и частных суждений мы пользовались знаками 1»х — квантор всеобщности, Зх — к в а н т о р существ о в а н и я) ). Относительно этой символики следует заметить, что и квантор всеобщности, и квантор существования всегда относятся к вполне определенному выражению, которому они предшествуют: 'ФхЯ(х) (для всех х имеет место Я (х)), ЗхЯ(х) (существует х, для которого имеет место Я (х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
