Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Действительно, рассмотрим какую-нибудь фиксированную подстановку значений вместо входящих в Я, З и 6 переменных. Тогда для значения Я возможны следующие случаи: 1. Я принимает значение р; тогда в любом случае Я -«3 & 6 принимает значение и. 2. Я принимает значение и. Так как Я -«З и Я -«6 по нашему предполоясению принимают значение и, то а-«З=З=и, а — «6=6=а, н следовательно, а — «З & 6 = а -«а & а = сб. 3.
Я принимает одпп из значений у, б. Так как Я вЂ” «З и Я вЂ” «6 принимают значение и, то З должно принимать либо то же самое значение, что и Я, либо значение и. То же самое справедливо и в отношении 6. Так как теперь у&у=а&у='у&а=у, 6&6=а&б=б&а=б, а&а=и, то З & 6 также принимает либо то же самое значение, что и Я, либо значение и, так что либо Я вЂ” «З&6=Я вЂ” «Я=а либо Я -«З&6 =Я вЂ” «и=а.
8 д. Гииьбере, П. Бернайс [гл. Рн ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ СОКРАЩЕННЫЕ ПРАВИЛА Тем самым мы установили, что если схему (й) взять в качестве дополкительного правила вывода, то все формулы, выводимые из фо м л 1, 11 1), 2), 111, будут тонсдественно принимать значение . Между тем в отношении формулы П 3) это утверждение места не имеет. Действительно, если мы подставим в кее вместо А, значения у, у и Ь, то получим (у- у)- ((у- б)- (у- уфсб)) = (б- (у- Р)) = (у- Р)=б ))=рс В связи с проведенным доказательством независимости сделаем следугощие замечания: 1.
Если к рассматриваемым нами формулам, ), ), до авить ф м б фор улы группы У то с помощью наших правил вывода 11 3. и схемы (з) можно будет вывести формулу ). 2. Если мы вместо схемы (6) введем модифицированную схему Я -э- (5 — +- О) И') Я э (й): ф1 Я -~ ()3 -+ Ю б, 3) ' то с ее помощью формула 11 3) может быть выведена иэ одних Действительно, схема (й') может быть использована следующим образом: А -+- ( — ~ А) А -э (В ч- В) А -+- (В -+. А & В) Здесь па первом месте стоит формула 1 1), а вторая формула может быть выведена из формул группы 1.
Таким образом, мы приходим А-~(В-+АбсВ), а иа нее с помощью формул группы 1 может быть выведена и форТаким образом, формулу 11 3) в нашей неявной характеряза- цин конъюнкции можно заменить схемои (э ). э юнкции ситуация является не такой сложной, В случае диэъюнкц как в случае конъюнкции, Более того, здесь формула (А- С) -э-((В- С)- (А ~( В- С)) может быть заменена схемой Я: ф (г) 13 — ~- й г1 1/ й) — й аналогичной схеме (й). Действительно, с помощью этой схемы формула 1П 3) может быть выведена из формул группы 1. Для этого достаточно следующим образом применить схему (й): А -+ 1(А -~ С) -~((В -+. С) -+ С)) В -+ [(А -~ С) ч- ((В э.
С) -+- С)] А Ч В КА С) -+- ((В -+. С) -+- С» Здесь обе первые формулы выводимы из формул группы 1. а формула Н1 3) получается ив заключительной формулы с помощью перестановки посылок импликации, чего моясно добиться с помощью формул группы 1. й 5. Возврат к рассмотренному в э 2 способу формализации вывода; сокращенные правила; замечание, касающееея противоречивости системы На этом ыы хотели бы закончить рассмотрение дедуктивной (аксиоматической) логики высказываний.
Наше изложение этого предмета никоим образом не претендует на полноту. Оно преследует всего лишь скромную цель — дать некоторое представление о том, как много стимулирующих проблем и систематических идей кроется в дедуктивной логике высказываний. В наших целях формализации процесса вывода мы воспользуемся логикой высказываний не в аксиоматическом виде, а в виде теории истинностных функций, построенной нами в начале этой главы ').
Это будет сделано описанным ранее обрааом; в качестве исходных формул мы будем брать, с одной стороны, тождественно истинные выражения, а с другой — определенные, записанные э виде формул гипотезы; дальнейшие же формулы мы будем затем выводить с помощью подстановок и схеы ааключения. Некоторые часто встречающиеся переходы будет полезно зафиксировать в виде специальных правил. Получающееся таким образом исчисление, которое мы снова будем называть исчислением высказываний, содержит в себе то исчисление высказываний, т.
е. применение правил замены 1 — 4, которое было построено нами ранее э). г) Логику выскаэыванвй в дедуктявксы виде ыы привлечем лишь для эвристической мотивации цравял, связанных с кввктсрамв всеобщности ц существования. ') Сы. с. 70. ИСЧИСЛВПИВ ВЫСКАЗЫВАНИЙ нв [ГЛ, Н1 СОКРАЩВННЫВ ПРАВИЛА а также ЧА -» В и ЧВ -» А. В -» (Я -» Ю). — Ж - 'я)) 6-»(В- (Я вЂ” й)) Ядййй — » 9. а также к и к Действительно, если какое-либо выражение Я заменимо в соответствии с этими правилами выражением В, то обе импликации Я -» В и В -» Я являются то1кдественно истинными; а тогда каждую иэ них можно будет взять в качестве исходной формулы и тем самым мы получим воэможность проиэводить— с помощью схемы заключения — переходы от Я к В и соответственно от В к Я.
Поэтому над любой встретившейся в процессе формального вывода формулой мы можем производить любые преобразования, разрешенные правилами аамены. Ниже мы особо отметим некоторые важные преобраэования, полученные таким образом. Как мы установили, А — » (В- С) Заменимо посредством  — » (А -» С)„а также А   — » С. Поэтому в любой нмпликации вида Я -»(3 -+- 6) мы можем поменять местами посылки, так что получится Далее, обе этн посылки мы можем соединить конъюнкцией в одну, так что получится Я 8сйИ обратно, от формулы Яхй- Ж с конъюнкцией в посылке мы можем перейти к формуле Я -» (5-» 6) с последовательными посылками Я и В в импликации. Переход от Я- (В-+. 6) к Я сс 5-» 6 нааывается правилом соединения посылок, а обратный переход — правилом разъединения посылок. Операции перестановки, соединения и раэъединения посылок могут быть распространены и на многочленные импликацин, а также и на многочленные конъюнкции в посылке.
Так, мы можем перейти от выражения Я -+- ( — » (б -+ й)) Раэумеется, эти переходы могут быть выполнены и в обратном направлении. Очень часто употребляется взаимная еаменимость выражений А-»В и ЧВ » 1А, А — » 1В и В+ 1А, Поэтому мы можем переходить от Я вЂ » 5 к 15 -+. 1Я и обратно; далее, от Я-» 13 к й-~- 1Я и от 1Я-»5 к ~5-»Я.
Этн переходы — по аналогии с соответствующими способами содержательных умозаключений — мы назовем Воятролозициями. Далее отметим, что в силу заменимости выражений А-+ (А-»В) и А — »В дважды повторяющаяся посылка импликации может быть один раэ опущена. Для эквивалентности имеют место следующие заменимости: Я В посредством  — Я; Я вЂ” В посредством 1Я 15; Я 15 посредством 1Я В.
Кроме указанных преобраэованнй, которые основываются на (двусторонней) ваменнмости одного выражения другим, логика выскааываний доставляет в наше распоряжение и такие переходы, которые не являются обратимыми. Примером может служить добавление пронэвольной посылки в нмпликации: если у нас уже имеется формула Я и если В есть проиэвольное выражение, то мы можем получить В -»Я, подставив в тождественно исти ное вырая<ение А -» (В -» А) Я вместо А н В вместо В и применив к полученной таким обраэом формуле Я -+- (В -+ Я) н к формуле Я схему Заключения.
1гл. Ен ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ «Ц СОКРАЩЕННЫЕ ПРАВИЛА 119 Тождественно истинные выражения -«В) -«- ((А."-» С) -» (А — «- В й С)), — «- С) — «- ((В -«. С) -«(А ЯВ -«. С)) следующие правила, касающиеся конъюнкции (А (А доставляют ыам и дизъюнкции: из двух формул иа двух формул Эти два правила Что касается ласно которому Я-«З и Я -«-6 можно получить Я-«ЗА6, Я -» 6 и З-«6 можно получить Я ~ 3 — «6. равносильны ранее рассмотренным схемам (9)и (1). эквивалентности, то здесь имеется правило, согдве импликации Я-ЗиЗ«Я Добавление посылки в импликации равносильно применению рапее уже упоминавшейся схемы Я З вЂ” » Я Аналогично тому, как из рассмотрения тождественно истинного выражения А -«(В -«А) мы извлекли некоторое правило формального умозаключения, такого же рода правила мы можем извлечь и из других тождественно истинных выражений.
Особенно важыым правилом этого рода является правило силлогиама: если у пас имеются две формулы Я -»З и З-«6, то мы можем вывести из них Я вЂ” «6, Действнтельыо, для этого требуется подставить в тождественно истинное выражение (А -« В) -« ((В -» С) -«-(А -«- С)) Я вместо А, З вместо В, 6 вместо С, а ватем дважды воспользоваться схемой заключения Я:, З (Я -« З) -«((З -« 6) -«(Я -«.
6)) (З ) 6)-; (Я- 6) З -«6 можно объединить в эквивалентность Я З; иначе говоря, эту эквивалентность можно вывести из упомянутых двух имплнкаций; с другой стороны, из нее мох<но вывести обе эти импликацнн. Это вытекает из заменимости Я - З посредством (Я - З) А (З -«Я). Объединяя это правило с правилом силлогизма, мы получаем правило транзитиености эквивалентности: нз Я 3 и З 6 можно извлечь формулу Я 6; равным образом, на основании симметрии и транзитивности экви- валентности из Я ° 6 и З - 6 можно извлечь формулу Я З Эти два перехода мы нааовем схемой гвене лентности. В связи с проведенным рассмотрением этого формализма выводов, строящегося на базе теории истипгюстных функций, следует сделать еще одно важное в принципиальном отношении замечаыие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
