Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 3
Текст из файла (страница 3)
женню 1 из 4 1, и' 3, можно предполагать, что й имеет вид т'. (6), где б— связная компактная группа Ли, и на й можно выбрать невырожденную инвариантную симметрическую билинейную форму Г. Пусть х (соотв. х') — регулярный элемент алгебры й, такой, что 1=бе (х) (соотв. 1'= =ос(х)) (гл. Ч11, $3, и'3, теорема 2). Применяя 'лемму 1 при К=б, видим, что существует такой элемент кенб, что элемент [(Ад й)(х), х') ортогоиален О Относительно г" и, стало быть, равен нулю.
Таким образом, (Ад й) (х)гнй'(х')=1' и, следовательно, йе((Аб й)(х)) 1', поскольку эле- гл. 1х. кОмпАктные Вепгественные ггуппы лн мент (Ай й) (х) регуляреи. Мы приходим к заключению, что (Ай й) (1) Теорема доказана. Следствие. Пусть 1 и 1' — две подахгебры Каргина в 9, а — подмпожгство в 1, и — автоморфизм алгебры Ли й, переводящий а в 1'. Существует эхемепт а из 1п1 (й), такой, чю и»а отображает 1 на 1' и совпадает с и иа а. Положим 6 1п1 (9) и рассмотрим стабилизатор Хо (а) подмножества а в 6; это подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли йь(а), состояптей из тех элемеитов алгебры Ли й, которые перестановочиы со всеми элементами множества а (гл.
П1, $9, п 3, предложение 7). Тогда 1 и и ' (1') — две подалгебры Картава компактной алгебры Ли йь '(а). Согласно теореме 1, супгествует элемеит о из Хо (а), такой, что о(1)=и ' (1'). Зтот элемеит обладает иужиыми свойствами, 2. Маисилгалвииа тори Пусть 6 — группа Ли. Тором в 6 называется любая замкнутая подгруппа этой группы Лв, являющаяся тором (4 1, и'2), т. е. любая коммутативиая связиая компактная подгруппа. Максимальные элементы множества торов в группе О, упорядоченного по включеиию, называются максимальными торами в 6.
Теоьем»2. Пусть Π— саязяая компактная группа Ли. а) Алгебры Ли максимальных торов в группе Ли 6 являются подалггбрами Каргапа в Ь(6). б) Пуста Т~ и Тт — два максимаяьпы» тора в 6. Существует элемент уеи6, такой, что Ту=уТ~ у в) 6 является объедипепием свои» максимальна» торов. Пусть 1 — подалгебра Картава в 1.(О). Интегральная подгруппа в 6 с алгеброй Ли 1 замкнута (гл. Ч11, 4 2, и' 1, следствие 4 предложения 4) и коммутативна (теорема 1), а следовательно, является тором в 6. Если Т вЂ” максимальиый тор в 6, то его алгебра Ли коммутативиа и, стало быть, содержится' в некоторой подалгебре Картанй алгебры Ли 1.
(6) (теорема 1). Отсюда следует, что все максимальные торы в группе Ли 6 суть в точности ее интегральные подгруппы, ассоциированные с подалгебрами Картаиа алгебры Ли Ь(6). Утверждекие а) доказано. Утверждение б) следует из теоремы 1, поскольку канонический гомоморфизм 6-ь 1п1(Ь(6)) сюрьективен (гл. Ш,4 б, и'4, следствие 4 предложения 10). Обозначим через Х обьедииеиие максимальных торов в группе 6, и пусть Т вЂ” максимальный тор в 6. Образом непрерывного отображения (у, 1)ь.ьйГу ' вз ОХТ в 6 является множество Х, которое тем самым замкнуто в 6. Для доказательства в) достаточно убедиться в том, что Х открыто в 6. Поскольку Х устойчиво отиосвтельно внутренних авто- 1 3.
МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ морфизмов, достаточно показать. что для всех а~ Т множество Х является окрестностью точки а. Докажем это иидукцией по размерности группы Ли 6. Рассмотрим два случая: 1) а не принадлежит центру группы Ли 6. Пусть Н вЂ” связная компонента единицы централизатора Хс(а). Это связная компактная подгруппа в б, отличная от 6, содержащая Т и, стало быть, а. Поскольку эндоморфизм Аб а полупрост ($1„п' 1), алгебра Ли подгруппы Н является ниль- пространством эндоморфизма Аб а — 1.
Из предложения 4 из гл. Ч11, $4, и'2, следует, что множество У, являющееся объединением подгрупп, сопряженных с Н, есть окрестность точки а. Согласно предположению индукции, Нс:Х и, следовательно, УГ=Х. Таким образом, Х вЂ” окрестность а. 2) а принадлежит центру группы Ли 6. Достаточно доказать, что а ехрх принадлежит Х для любого х из т (6). Поскольку любой элемент х из 1. (6) принадлежит некоторой подалгебре Картава алгебры Ли 1.
(6) (теорема 1), то соответствующая интегральная подгруппа Т' содержит ехр х. Так как подгруппа Т' сопряжена с Т, то оиа содержит а и, следовательно, аехр х. Отсюда вытекает требуемое утверждение. Следствие 1. а) Экспопенциальное отображение для 6 сюраективио. б) Для любого и)1 отображение д- К" иэ 6 в б сюръективпо. Действительно, ехр(г. (6)) содержит все максимальные торы в б, что дает а). Утверждение б) следует тогда из формулы (ехр х)"=ехр пх для х из й (6). Замечание 1. Существуег компактное подмножество К в й(6), такое, что ехрс (К) = 6. Действительно, если Т вЂ” максимальный тор в С, то существует компакт С~1.(Т), лля которого ехр т(С)=Т; достаточна взять К= = )) (Аду)(С). еис Следствие 2. Пересечение максимальных торов в группе Ли 6 является центром этой группы Ли.
Пусть х — центральный элемент в 6. Согласно теореме 2в), существует максимальный тор Т в б, содержащий х. Тогда х принадлежит всем торам, сопряженным с Т, т. е. всем максимальным торам в группе Ли б. Обратно, если х принадлежит всем максимальным торам в 6, то он, согласно теореме 2в). Коммутирует со всеми элементами из 6.
Следствие 3. Пусть дтыб, и пусть С вЂ” его централиэатор. Тогда у принадлежит Сз. причем группа Сз является объединением максимальных торов в б, содержаиих у. Существует максимальный тор Т в 6, содержащий у (теорема 2в) ) и, следовательно, содержащийся в Сз. С другой стороны, Сз — связная компактная группа Ли, так что она является объединением своих ГЛ.
1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН максимальных торов (теорема 2в)); все они содержат й (следствие 2), т е. в точности являются маасимальиымн тарами в 6, содержащими й. Следствие 4. Пусть йгн6. Если й — регулярный элемент (гл. УП, 4 4, и' 2, определение 2), го он принидлезсит единственному максимальному тору, который является связной компонентой единицы его централи- затора.
Если и не регулярен, го он принадлежит бесконечному множеству максимальных торов. Поскольку Ад й полупрост, размерность нильпространства эндоморфизма Аб й — 1 такая же, как и размерность централизатора С элемента й. Согласно теореме ! и предложению 8 нз гл. УП, 4 4, п' 2, элемент и регулярен тогда и только тогда, когда Сь — максимальный тор в 6. Используя следствие 3, завершаем доказательство. Следствие 5, а) Пусть 5 — гор в 6. Централизатор группы 5 связен и является объединением максимальных торов в 6, содержащих 5. б) Пусть а — коммутатианая подалгебра в Е(6). Стабилизатор а в 6 связен и является объединением максимальнык торов в 6, алгебра Ли которых содержит а.
Для доказательства а) достаточно проверить, что если элемент й группы Ли 6 перестановочен с 5, то существует максимальный тор в этой группе Ли, содержащий 5 и й. Но если С вЂ” централизатор элемента й, то йея Сь (следствие 3) и Я~Со. Если, далее, Т вЂ” максимальный тор в связной компактной группе Ли Сь, содержащий 5, то йенТ (следствие 2), откуда вытекает а). Утверждение б) следует с учетом предложения 9 из гл. П1, 4 9, п'3, из утверждения а), примененного к интегральной подгруппе с алгеброй Ли а. Замечание 2. Из следствия 5 вытекает, что максимальный тор а группе Ли 6 является ее максимальной коммутаткапой подгруппой.
Обратное у неверно: например, а группе Лп $0 (3, й) максимальные торы имеют размерность 1 и, следовательно, не могут содержать подгруппу днагопальаык матриц, пзоморфаую группе (Х/2аТ. С другой стороны, если йФ $0 (3, й) — нескаляраая диагопальнап матрица, то й — регулярный элемент группы $0 (3, й), цептралнзатор которого аесаязеп (см. следствие 4).
Следствиеб. Максимальные торы в 6 являются своими собственными ценгрализагораии и стабилизаторами своих алгебр Ли. Пусть Т вЂ” максимальный тор в 6 и С вЂ” его централнзатор. Так как Е(Т) — подалгебра Картана в Е(6), то Е(Т)=Е(С). Следовательно, С= = Т, поскольку С вЂ” связная подгруппа (следствие 5). Следствие7. Пусть Т и Т' — два максимальных тора в 6, А — подмножество в Т и з — автоморфизм группы 6, переводящий А в Т'. Существует йен6, такой, что зч (1п! й) отображает Т на Т' и совпадает с з на А.
1 э. млксимхльнып тогы компактных ггтпп ли Пусть С вЂ” централизатор множества А. Тогда Т н з '(Т') — два максимальных тора в Сь. Любой элемент у из Сз, такой, что (!п( д)(Т)= =з '(Т'), обладает нужными свойствами, Слвдствик8. Пусть Н вЂ” компактном группа Ли и Т вЂ” максимальный тор в Н. Тогда Н Фз(Т) Нь и вложение Ив(Т) в Н индуцирует изоморфизм Нв(Т)г'Ив (Т) на Н)Н«. Пусть Ь~Н. Тогда й ' Тй — максимальный тор в Нь, и, следовательно (теорема 2), существует элемент дя Н„такой, что ИуепНв(Т).
Таким образом, Ь принадлежит Фв(Т).Н«, откуда вытекает первое утверждение. Второе утверждение непосредственно следует из первого. Замечания. 3) Пусть С вЂ” связная группа Лн с компактной алгеброй Ли. Назовем подгруппами Каргина з С ннтегральные подгруппы, алгебры Лн которых являются подалгеб рамн Картана алгебры Лн Ь (6) (подгруппы Картана связной компактной группы Лп являются ее макснмальнымн торзмн). Теорема 2 н ее следствия остаются справедливыми для 6, сслн в нпх всюду заменить выраженне «макснмальный торэ на выражение «подгруппа Картана».
Это следует в силу предложения 5 $1, п' 4, из того фанта, что С является прямым пронзведеннем векторной группы У на связную компактную группу К, н нз того, что подгруппы Картапа в 6 являются пронзведеннямн группы У на максимальные торы в К. Отмстнм, между прочим, что нз следствия б этого пункта вытекает также, что подгруппы Картана можно определнть как стабнлизаторы подаягебр Картава в 1. (6). *4) Утверждение з) теоремы 2 можно также доказать следующнм образом. Будем считать, что 6 наделена пнварнантной рнмановой метрнкой (й 1, п' 3, предложение 3).
Тогда для любого элемента й нз С существуег максимальная геодезическая, проходящая через й н единичный элемент группы Ли С (теорема Хопфа — Ринова). Проверяется, что замыканне этой геодезической является подтором в группе Лн С.„ 3. Максамальиив торы в подгруппах п в факторгруппал Пгвдложвпис ! . Пусть 6 и 6' — две связные компактные группы Ли. а) Пусть 1' 6 — э 6' — сюръективный морфизм групп Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
