Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (947353), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определение !. Компактной ') алгеброй Ли называется любая алгебра Ли, удовлетворяющая условиям (!) — (ч) предложения 1. Таким образом, компактная алгебра Ли является произведением коммутатнвной алгебры на компактную полупростую алгебру. Другими словами, чтобы алгебра Ли была компактной, необходимо и достаточно, чтобы она была редуктнвной, а ее производная алгебра была компактной. Алгебра Ли компактной группы Ли компактна. Пгедложение 2. а) Произведение конечного числа алггбр Ли является компактной алгеброй Ли тогда и только тогда, когда казсдый сомноясигель компактен. б) Подахггбра «омлактной алгебры Ли компактна.
в) Пусть Ь вЂ” идеал компактной алгебры Ли 9. Тогда алгебра Ли 9/Ь компактна и расширение Ь вЂ” ь 9 -ь 9/Ь тривиально. Утверждения а) н б) следуют из условия (!й) предложения 1. Часть в) следует из а) и из того факта, что в редуктивной алгебре Ли асс идеалы являются прямыми сомножителями (гл. 1, $ б, п' 4, следствие предложения 5). ПрвдложеннеЗ. Пусть С вЂ” группа Ли, такая, что группа ее связных компонент конечна. Следующие условия эквивалентны: (!) Алгебра Ли т'.
(6) компактна. (!!) Группа Ай (6) компактна. (!В) На 1. (6) существует невырожденная положительная симметрическая билингиная форма, инвариантная относительно присоединенного представления группы Ли 6. *(гг) На 6 существует риманова метрика, инвариантная относительно левых и правых сдвигов.„ (!) ь (и). Если С (6) компактна, то группа Ай (Со)=! п1((. (С)) компактна; поскольку она имеет конечный индекс в Ай (6), последняя группа также компактна. (й)=ь(й!). Это следует из п'1.
(!!!) =ь (!). Так как 1п1(1. (6))с:Ай (6), то утверждение вытекает из п. (!В) предложения !. ~) Отметим, что вещественное топологичсснос векторное пространство может быть коипвктпыи топологнческви пространством, только если ово нулевое. ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 1О о(й)чо()ч). Это следует нз гл. 1П, $3, п' 1З.о и.
Группы с колиыктмыми алгебрами Ли Теогемь! (Г. Вейль). Пусть б — связная группа Ли, алгебра Ли которой компактна и полуиростгь Тогда б компактна и ее центр конечен. Поснольку б полупроста, ее центр Р дискретен. Кроме того, фактор- группа 6/О изоморфна Ао (6) (гл. 1П, $6, и' 4, следствие 4), а значит, компантна (предложение 3). Наконец, б/О совпадает со своей производной группой (гл. 111, $9, и' 2, следствие предложения 4). Таким образом, теорема вытекаег нз предложения б из Интегр., гл.
Ч11, 4 3, и'2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть 6 — связная группа Ли с компактной алгеброй Ли. Существуют тор Т, односеязная полупростая комиактная группа Ли 5, векторная группа У и сюрьективнгнй морфиэм с конечным ядром г: УХТХ5- 6. Если 6 компактна, то группа У состоит лишь из единичного злементгь Пусть С (соотв. 5) — односвязная группа Лн, алгебра Ли которой изоморфна центру (соотв. производной алгебре) алгебры Ли Т. (6). Тогда С вЂ” векторная группа, 5 — компактная группа с конечным центром (теорема 1) и 6 отождествляется с факторгруппой СХ 5 по дискретной подгруппе О, которая центральна (Интегр., гл. Ч11, $3, п' 2, лемма 4) . Поскольку образ О прн отображении в 5 централен н, следовательно, нонечен, то О() С вЂ” подгруппа конечного индекса в Р.
Пусть С' — векторное подпространство в С, порожденное Р() С, и У вЂ” дополнительное надпространство. Тогда группа Т=С'/(Р() С) является тором, и б нзоморфна факторгруппе произведения УХТХ5 по некоторой конечной группе. Если 6 компактна, то компактно н произведение УХ Т Х 5 (Общ. тол., 1969, гл. !П, 4 4, п*1, следствие 2 предложения 2), а следовательно. группа У компактна, откуда У=(е). Следствие 1. Пусть 6 — связная компактная группа Ли.
Тогда С (6)о — тор, Р (6) — комиактная полупростая связная группа Ли и морфизм (х, у) ьь ху из С(6)оХР(6) в б является конечным накрытием. В обозначениях предложения 4 У=(е) н подгруппы ) (Т) и 1(5) в б компактны н, значит, замкнуты. Поэтому достаточно показать, что г'(Т)=С(б)о. 1(5)=0(6). Имеем 1.(6)=1.(г(Т))Хь(1(5)).
Поскольку 5 полупроста, а Т коммутативна, 1.(1(Т))=У(1. (6))=1. (С(6)о) (гл. 111, $9, и' 3, предложение 3) и 1. (1 (5)) йо1. (6)=1. (О (6)) (гл. Ш, 4 9, и' 2, следствие предложения 4), откуда следует доказываемое утверждение. Следствие 2. Венгр и фундаментальная груипа полупростой связной компактной группы Ли конечны. а ее универсальная накрывающая компактно. ! ь комплктные ьлгевгы ли В обозначениях предложения 4 группы т' и Т состоят лишь из единичного элемента; таким образом, 5 является универсальной накрывающей группы Лн б, н фундаментальная группа группы Лн 0 изоморфна Кег 1, а следовательно, конечна.
Поскольку б полупроста, ее центр Р днскретен и, значит, конечен. Следствии 3. Фундаментальная группа связной компактной группы Ли 6 является Е-модулем конечного типа, и ее ранг равен роз.нерности С (О). Действительно, в обозначениях следствия 1 фундаментальная группа группы Ли С(6)ь нзоморфна Х", где п=й!ш С(б)ь, а фундаментальная группа группы Ли Р(б) конечна (следствне Я). Следствии 4. Пусть 0 — связном компактная группа Ли. Следующие условия эквивалентны: (!) 6 полупроста; (!1) С(6) конечна; (й!) п~ (0) конечна Если 6 односвязна, то она полупросш. Это вытекает из следствий ! — 3.
Следствие 5. Пусть б — связном компактная группа Ли. Тогда 1и!(0) — связная компонента единицы группы Ли Ап!(6) (гл. П1, $ !О, и' 2). Пусть (ыАн!(0)ь. Тогда ! индуцирует автоморфнзм /~ группы С(6)ь и автоморфизм гт группы Р(0) и )~ыАн!(С(б)ь)ь, 1гыАн!(Р(6))ь, Поскольку группа Ан! (С (0)ь) днскретна (Тор. йеп., сйар. ЧП, р. 15, ргор.
5), то (~=!о; поскольку Р(0) полупроста, то, согласно следствию 2 теоремы 1 нз гл. П1, $ !О, п'2, существует элемент у нз Р(6), такой, что (т(х)=яхя ' для всех хчиР(0). Для любого хы С (0)ь имеем ухи '=х =/, (х); так как 6= С (0)ь.Р (0), то из этого следует, что уху '=1(х) для всех хчиб; таким образом, ! еи1п! (й). Пиедложание 5. Пусть 0 — группа Ли с компактной алгеброй Ли.
а) Предположим, что 0 связно. Тогда существует наибольшая компактная подгруппа К в б, которая связно. Существует замкнутая центральная векторная (п'2) подгруппа И в б, такая, что б является прямым произведением йГХ К. б) Предположим, что группа связных компонент группы 0 копенки Тогда (1) Любая компактная подгруппа в б содержится в максимальной компактной подгруппе.
(5) Если К~ и Кт — две максимальные компактные подгруппы в О, то существует баб, такой, что Кт=йКьу Гл щ компактные вещественныа ГРуппы лн !2 (61) Луста К вЂ” максимальная компактная подгруппа в 6. Тогда К() Оо совпадаст с Ко, это наибольшая компактная подгруппа в Оо, (кч) Существует замкнутая центральная векторная подгруппа ку в Оо, нормальная в 6 и такая, что для любой макси.мильной компактной подгруппы К в 6 группа Ли'Оо является прямым произведением Ко на !о', а Π— полугрямым произведением К на дК, а) Используек| обозначения предложения 4. Проекция Кег !' на у является конечной подгруппой векторной группы у я, значит, совпадает с единичным элементом. Из этого следует, что Кег !' содержится в ТХ5, а также что 6 является прямым пронзведеннсм векторной группы !Ч !(Ч) н компактной группы К=! (ТХ5).
Проекция любой о компактной подгруппы группы Лн 6 в !Ч совпадает с единичным элементом, н, следовательно, эта подгруппа содержится в К. Это доказывает а). б) Предположим теперь, что группа 6/Оо конечна. Согласно а), Оо является прямым пронзведением своей наибольшей компактной подгруппы М на векторную подгруппу Р; очевидно, что подгруппа М в 6 нормальна.
Пусть я — векторное надпространство в ь (6), дополнительное к надпространству Е(М) н устойчивое относительно присоединенного представления группы О (и' 1 и и' 3, предложение 3); тогда и — идеал в Е(6) и ь(6)=ь(М)Хя. Пусть кЧ вЂ” интегральная подгруппа в 6 с алгеброй Лн и; согласно 'предложению 14 нз гл. Ш, 4 6, п'6, она нормальна в 6. Проекция из А(6) в ь(Р) с ядром ь(М) индуцирует нзоморфизм п на Е(Р); нз этого следует, что проекция Оо иа Р индуцирует этальный морфизм !о на Р; поскольку Р односвязна, это нзоморфнзм, н ку — векторная подгруппа. Морфнзм (х,у)к ку из МХкЧ в Оо является ннъектнвным (поскольку Маку равно единичному элементу) этальным морфнзмом, а следовательно, нзоморфизмом.
Из этого вытекает, что У вЂ” замкнутая подгруппа в 6 н что факторгруппа О/й) компактна, поскольку Оо/У компактна, а О/Оо конечна (Общ. тол., 1969, гл. 1!1, $4, п' 1, следствие 2 предложения 2). Согласно предложению 3 из Интегр., гл. ЧП, й 3, и' 2, любая, компактная подгруппа в О содержится в максимальной компактной подгруппе, все максимальные компактные подгруппы в О сопряжены и для любой максимальной компактной подгруппы К в О группа Лн 6 является полупрямым произведенаем К на ку. Поскольку Оо содержит !Ч, то она является полупрямым произведением йг на Оой К; из этого следует, что ОоП К связиа и, значит, совпадает с Ко', так как К/(Оо()К) нзоморфна 6/Оо, то она конечна; наконец, очевидно, что Ко является наибольшей компактной подгруппой в Оо согласно а).
Следствие Если ку удовлетворяет условиям б) (Гч) и если К, и Ко— двг максимальные компактные подгруппы в О, то существует элемент ло=)У, такой, что пК~ п =Кь 1 Х. МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 1З Действительно, согласно (й], существует элемент аен б, такой, что йК~ у '=КК согласно (1у), существуют пенУ и йщКП такие, что а=ой. Таким образом, элемент л обладает требуемым свойством. $2. Максимальные торы компактных групп Лн 1. Подаллебры Картона компактных алгебр Лн Ломил 1. Пусть б — группа Ли, К вЂ” компактная подгруппа в 6 и г" — инеариантная билинейная форма на Ь (6). Пусть х, у гни.
(6). Существует элемент й из К, такой, что для всех игнь(К) имеем Р (и, ((Ад й) (х), у) ) = О. Функция иь-ь Р((Ад и)(х), у) из К в й непрерывна и, следовательнд, имеет минимум в некоторой точке йщК. Пусть иен!. (К); положим й (1) = г" ((Ад ехр (!и).к) (х), у), ! щ 11. .Для всех ! Имеем Ь(!))Ь (О). С другой стороны, согласно предложению 44 нз гл. П1, 4 3, п 12, имеем — (0) = г" ((и, (Ай й) (х)1 у) = г" (и, ((Аб й) (х), у) ), йь откуда следует доказательство леммы (РЧК, с(тар. 1, р. 20, ргор. У). Теотемл1. Пусть й — компактная алгебра Ли. Подалгебры Картана алгебры Ли й (гл.
Ч11,4 2, п' 1, определение 1) являются еемаксимальными коммутатиеными подалгебрами; в частности, й является объединением своих подалгебр Картона, Группа 1п1(й) действует транзитивно на множестее лодплгебр Картана алгебры Ли й. Поскольку й редуктивна, ее подалгебры Картана коммутатнвны (гл. ЧП, $2, п 4, следствие 3 теоремы 2). Обратно, пусть1 — коммутативная подалгебра в й. Согласно предложению 1 нз $1, п'3, эндоморфизм ай х полупрост для всех генг. Согласно предложению 10 из гл. Ч11, 4 2, п' 3, существует подалгебра Картана алгебры Ли 0, содержащая 1. Это доказывает первое утверждение теоремы. Пусть ! и 1' — две подалгебры Картана алгебры Лн й. Докажем, что существует автоморфнзм ищ(п1(й), такой, что и(1)=1'. Согласно предло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
