Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 108
Текст из файла (страница 108)
!О. Контент цнкендзноескнк стезннеа — л (л' — Зто) гл тх соо лх), ! 1 У, (х) = — ой тх от ти; 2тл (х) = о, ( сп тх Х 1 2тл (тг -( л') )4 огп лх" —" л ой лгх соо лх) (35) от' 1 -- ~'--- й-~' и л = ~у — ио+ ~,' — Оо ° (36) 4 Зт 4 Рассмотрим в качегтве примера упру.
гнй контакт цьлнндрнческнх стержней при действии сосредоточенной нагрузка (ркс. !О, а). Контактная деформация связана с контактнымн давленнями известным соотношением А. Н. 2(ннннка 6 +б = ф(г)) = я (4) 4= г=! (32) где полуширнна полоска контакта Ь= (33) лао оо — наибольшее контактное напра жснае. Если упругие постоянные материалов цилиндров одинаковы, то прн ч = 0,3 р (а) =-< — '+ 'е х Г 0,386 0,5?9 х !п ~ 1,725 ()(! + )(г):~ ~ д; (39) о,=0,4!В у ОЕ ~ — + — ).
(40) 1 1 'ч )(! )го Пренебрегая деформацией сдвига в цилиндрических стержнях (а = 0), по. лучам — + !)од = 0 (4!) бор Граничные условия прн к = ! (рнс. 10, б) а" (1) = о; д" П) = о <42) связаны с отсут твнем изгибающего момента н перерезывающей силы в етом сечении. Прн х= 0 д <О) = О; д- <О) = ОР. (43) 1 — о С учетом граничных условий )!Уз+ )о а (,) = р ', уо(к)+ ро 2 угуо + — у,уг 1го у) уг угуо + ! ту! в Конслсруяционные контактные задачи 539 или ! 4 (х) дх = — Р.
2 О (46! = а О(х,) дх, сЬ~ с)х )и=о соа т( 0; 2 ~lг— (51) ф ( , == о, или получим Р Чоп 2! где К)(х) (1= О, ..., 3) — функция А. Н. Крылова ', 1'г — значения этих функций при к = !. Протяженность половины зоны контакта может быть найдена нз условия О(1) = о (45) Условие (45) выполняется для доста. точно длинных стержней: й )1.
Если 1 ) 5, то следует принять 1 = 1. и задача значительно упрощается, ее решение выражается уравнением (44) прн 1=1. Рассмотрим случай, когда зона кон. такта занимает часть длины стержня. Для определения 1 используем условие (45), тогда получим !— (48) Так как то соотношение (48) позволяет найти 1 и затем )в. С учетом равенства (47) решение уравнения (44) можво пред. ставить в виде 4(л) = 1 соа — с)) Рт Г лк п (1 — х) л ~ 2! 21 + 2 + а!п — Й лх и (1 — х) ) 21 21 (49) Относительное распределение контактного усилия по длине зоны контакта не зависит от нагрузки. Последняя, как н упругие характеристики ' Соотношении лнн фунипна А Ы Крылове можно пвнуннть ив формул (За) н (За).
если принять ав = О контактного слоя н стержней, влияет только на длину зоны контакта. Подобным образом может быть решена задача и при учете деформации сдвига стержней. Условие для апре. деленна длины зоны контакта в этом случае запишем в виде 1))т!)Кл! = в и ' (50) 2тл тв „и тле значения т н л вычисляют из соотношений (36). Прн свв = О условия (47) и (50) совпадают.
В общем случае один из наиболее эффективных методов решения состоит в применении интегральных уравнений и использовании алгоритма последовательных приближений. Интегрируя по. следовательно уравнение (25) н учитывая граничные условия ф (О) = — а ~ ~ О (хН дхв дх, + н х, ! + Д ~ ~ ~ ~ д (х,) дхв длв дхв дхо (52) ке О н, и, Вводя безразмерную координату $ = = «1! и учитывая равенство (53) Р 2~4(3)д$ О запишем уравнение (52) в виде нели. нейного интегрального уравнения: Рн Ч ($) х 1((с ша~ Конт1аклзнме задачи х ~ ) о($«) 35«б5 + 1 $! -() 7, 4 ~~ ~ ') 4%4) Ус о УС с(54 с($« с($« бЬ, (54) или в сокращенной форме д= Кч. (55) )(ля решения используем метод «подобной итерациие, принимая для (! + + 1)-го приближения Ог„, =- К (с«О!) (56) Определив коэффициент подобия г! из славия у рс, (0) =- с,.д« (О), (57) получим следующее уравнение для ВЫЧИСЛЕНИЯ С1: ! с О (0) = — ус 4(сге (0)) — сс ! 1>е х + ) 1 ! х ) ~ Ог(5,)35, 5, + о Ь, Ре +й— Х ~е1((~В~«) '1О 1$! 1 " ) ) ) ( с, !1.! «Ь Е, 41.
41, ) . о о 1,1, (58) В качестве исходного приближенна можно принять линейное распределе. нне Ое (й) = Ре (О) (! — Й)е (59) причем ое(0) = ( т (60) Р (и! где 1ао — исходное приближение для протяженности половины зоны контакта. Пример.
Примем )71 = Я, = 50 мм; Е,=Е,=2!0«МПа; ч,=ч,=03; й = !019; сила Р = 10' Н. Принимаем для исходного прибли. жеиик !е = 2,5 )7 = !25 мм, В соответствии с равенством (39) д (о) - — '~0,386+ + 0,579 )п (3,45Й вЂ” ) ~ . Уравнение (58) для определения се принимает внд 5,232 — 0,579 1п се = ', + — ' 1,926 3,353 со са откуда с, = 1,003. В процессе последовательных приближений получим — =- 2,5: 2,82; 2,69; 2,67; )7 д (0).10 4, — = 8; 8,03; 8.50; 8,57. Н см На рис. 11 показано распределение о, полученное по уравнению (541(кривая 3, Х = чаг) и на основании приближенных решений при Х = сопз! с учетом сдвига (кривая 2) и без учета сдвига (кривая 1).
с ы, лйч и а,г о,«о,о о,в «,ч Рес. 11. Ресерсдееенее де«деева ее стикс деус стернееа 542 Кооппалшлые задачи Кельвнна ! н 11 родов нулевого поряд кас ( 1)а аьае 24а ((2й) Цг а-о 1)а Оаа-)-2 1'о (О) 4 24О4-21(2л+ 1)1)2 а=о й (1) -= — ~. ~с — )п — ) и й + 2 ~~ 21 ~) л )» )аа + со (сь) > 2 х 24а ((22, г а О и х ту )а (О) - - — (1и — — с) О, (О) )- л ('т л (- — но (са)— ( 1)а Оаач-2 а 24а-1 2 ((21 1 1) 1)2 4 1 т а=о са=1 (б9 где с = 0,577 — постоянная Эйлера. При больших значениях аргумента можно пользоваться следующими прнблнженнымн аснмптотическнми завнснмостячи; ес л но(О) =сох)о — — 1; Оа(О) .-= Ош )о --- — ); 2е На (О) — сов~о — — ) го(О) = — зш(о — — ), ~сг" 2 'р' — ~ (70) где О==. $ У2 Граинчные условна в рассматрнваемой задаче: прн $ = О О' (Ос) = 0; О" (О ) = = — ссГ4' 1 2 (71) прн ~= ~„Е„=О; М„=О, (72) где ()„и М, — соответственно перерезывающая сала н радиальный нзгн.
бающнй момент. Из уравненнй (67) с учетом этнх условий найдем 1 Оа,) =-,Е О а, Ы' (73) О а.) = —,' Е тп а., Ы, где )а(5с $41) = у'. (~д +( — ) )'!в ~',(у$ +( )у). =;и'л.,+( — ) и — ' — Г; ()),й„+ ( — ) У() ЧО (ьс ьо!) 3 2 с' 1 здесь )', н 'г'; — значения нормальных фундаментальных функций и нх производных прн („ от $ = Оса(см.
рис. 12). Подставляя значения произвольных постоянных нз равенств (71) — (73) в уравненне (б7), получнм 1 9(О) = — () (Ч (О. О. ) Г (О' О)+ -1- гп (йс йаа) )'о (йс. й) + «'» ($с, Ь) (75) Значение Оаа прн условнн, что О (Оаа) =- О, находят нз уравнении (75) с помощью известных методов решения трансцендентных ураенеинй. Аналогично определяют и значение Решение задачи существенно упоошается, если 141 ( ьсе н "оа > сьа (сьь рнс. 12). В этом случае следует при. нять Оса = $ и На рнс.
13 показано изменение дав. леннй на стыке одннаковых пластннок Оба)мй метод ресисиия конструкционных контактных задач ;,мпл 1э о ег гл ж Р;т„=- е ~ д да; (76) Со о «!Ь РИо (Р,т) е ) ))хс(х + иго Рса Рт„=е ~ удУ; Рис. 1З. Распредслеиие давлеиий в сты- че двух пластииох Рис. 14. Схема коитвхта двух тел про- извольной формы толщиной Ьх=йл=-! д мм. Податливость слон определялась нэ соотношения (с+ (а Е Решение задачи об упругом контакте пластинок можно весьма эффективно испольэовать при расчете беспрокладочных фланцевых соединений (3).
ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ Основные уравнения задачи. Рассмотрим для простоты два плоских тела (с = ), 2) произвольной форлсы в декартозой системе координат хОу (рис. (4). В некоторых двух точках тел Он удаленных от эоны контакта, поместим системы координат хгОсуы жестко связанные с телами. Под действием внешних сил про.
изойдет кннематнческое перемещение тел относительно обшей системы координат хОу на величины Ап ксмпенсируемые перемещенинми в зоне контакта. В зоне контакта возникнут контактные давления д (х, у). Уравнения равновесия в рассматриваемой задаче имеют вид (силы трения ие учитываютси): л Рсь где Р, „. и Р;тр — проекции на оси х и у внешних с ил ухст г( и т — соот. ветстаенно номер тела и силы), о— контактные давлении; хио и хщ— координаты начала площадки кон. такта в системе хсОсуб хш и угь — то же для конца зоны контакта; е — шярина тела (размер по осн г).
В результате кянематвческо~о перемещения некоторые сопряженные точки Аг тел (с' = 1, 2) займут новое положеаве А;. (см, рис. ~4) с коорди- натами у(А;) = у(А,.)+ Анм (77) х(А;) = «(А,) + Асх где А,„и Аср — проекции перемещений А; соответственно лв оси х и у; Агр = А, соа ап Аг„= Ас ып ип ас— угол поворота осей хг относительно оси кс в результате кинематического перемещения тел. 544 Конглаюлные задачи В зоне первоначального контакта деформируются близлежащие участки тел. В результате точки А'; переместятся относнтелько местных осей на велнчнны 6 н займут положение А; (рнс.
14): ус (А!) = Уг (А';) — с;; х, (А') = хг (А;.) — и (78) где и! н и! — компоненты смещений 8! соответственно вдоль осей у; н хь Прнннмая во внимание, что условия касання точек нмеют внд у (А;) = у (А,'); (79) х (А;) .= х (А(), н учнтывая связь между системами координат, получим условне совмест. ности перемещений для контактирующих точек тел: У (А) — У (Аз) = бщ — б,„— 2 — ~э ( — 1)'(с! сова; -(- и; Мпа,); г=! х(А,) — х !А,) =- б,„— йз„ 2 — ~и ~( — 1)' ( — с!э!па!+ и!соэа!), ! ! (80) где У (А!) н х (А!) — коордннаты точек тел а ненагруженном состояннн. Из уравнения (ВО) следует, что кнне.
матнческие перемещения тел под нагрузкой компенсируются их смещеинямк а результате деформацнн. Уравнения (80) в точной постановке задачи должны удовлетворяться для всех сопряженных контактирующих точек тел на всех площадках контакта. Решая совместно системы уравнения (70) н (80) с учетом граничных условий, можно найти контактные давления и размеры площадки (площадок) контакта. Связь между снловымн факторамн н перемещеннямн а зоне контакта.
В большинстве контактных задач гра. ннчные условна задают в напряжениях на свободных поверхностях (зне зоны контакта1, к решение задач выполняют в напряжениях. Поэтому для решения систем уран. пений (78) н (80) необходимо выразнть смещения в уравнениях (ВО) через снловые факторы (контактные давле. ння н внешние нагрузки). В класснческнх контактных задачах связь смеисений н давлений принимали такой же, как н прн действии снл на полуплоскость (нз задачи Фламана). Такой подход позволяет учесть лишь деформации н напрянсения в зове контакта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
