Биргер И А , Шорр Б Ф , Иосилевич Г Б - Расчет На Прочность Деталей Машин Справочник (1993.4 Изд)(Scan) (947315), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Если известна снстема снл, действующкх на тело (см. рис. 14), то перемещение некоторой точки С на его поверхности можно определить с помощью функций влннння (фунхций Грива): сь и! (С! ~ Кч (С х) 4 ($) 8$ + йа л + У К,"!(С, т=! (В!) ьь иг(С) = ~ К!"!(С, 814(з)дх+ чл + ~ К1"!(С,у ).. т=! !де К1~! (С, й) — фрнкцна влннннн давления д на перемещение точки С, показывающая перемещение точки С в направлении осн у; под действием единнчной склы, приложенной в точке ьс; К!"! (С, ье) †' то же, что для перемещения точки С в направлении оси х прн декствин единичной силы в точке с; К~~ н К!Р"! — функции влияния сил Р!лэ, показывающие перемещение точ.
кн С соответственно в направлении осей у! н х! от единичной силы, приложенной в той же точке. Подставив соотношения (81) в условия (80), получим систему интеграль. ных уравнений. С помощью этой системы н уравнений равновесия можно найти неизвестные давления в зонах контакта. размеры этих зон и кннематические перемещения тел. Общий мегнод решения конструкционных контактных задач 545 Рлс. (Э. Рзслрелезенне лолзенна е зона конгзнго Эта система уравнений решается достаточно престо, если принять допущение о наличии дискретного контакта в (.х точках каждой зоны (1 = =- 1, 2, ..., я), а неизвестную функцию распределения контактных давлений аппроксимировать ступенчатым законом с постоянными давлениями в зоне (.й точки контакта (рис.
15). В этом случае уравнения равновесия примут нид (1= 1, 2) л ь Ргтх = ~л ~г)!а(!у( т ! У=! л ь ('гту — — — ~; 415()х( т ! (821 Е д(о (р» ) = ь = Е Сд (рг (((уу + х) б(1*) (=-! Соотношения (81) можно переписать в виде (1 — — 1,2,...,4) я л оф Е (1(г((! ! + Е (((~л (т ! ! т=! (83) ь л иО = 2' (((1~(Р((ДГ(+ Е (('((РР(т, ! ! т=! 18 злкоз ьь еоз гда К(1! и )('(;! — функции влиянии, (л! (о! показывающие перемещения соответственно в направлении осей х! н р! точки тела ( в сечении ( от единичной силы, приложенной в сечении 1. Если вместо вормальных давлений в расчет ввести проекции давлений ух и ду, то в соотношениях (81) появятся дополнительные слагаемые, учитывающие изменение перемещений и и о соответственно от проекций давлений Су и у„. Таким ббразом, записывая уравнения (80) для всех й точек контакта и заменяя входящие в них смешения со.
отношениями (83), с учетом уравнений равновесия (82) получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных давлений, кинематнческнх перемещений н размероз зоны контакта. Эта система с учетом граничных условий задачи решается по методу последовательных приближений (для определении размеров действительной площадки контакта). Определение функций влияния. Ди. скретность контакта существенно упрощает определение функций влияния. Функции влияния в простых случаях (для стержней, оболочек и пластин) можно вычислить, используя известные соотношения между перемещениями и действующими силачи (иа.
пример, с помощью интеграла Мора дли стерт!зеи). Лля тел сложной фор. мы эти функции достаточно просто вычисляют с помощью одного из чис. ленных методов (методом конечных элемен гав и др.). Функции влияния в этом случае вычисляют по обычной методике численного расчета напряженного состояния в телах при заданных граничных условиях. При этом учитывают реальную форму тела и его общие деформации (см. гл, 26), В более сложных задачах функции влияния можно определить экспериментально, измеряя перемещения в различных то гках тела под действием сосредоточенных сил. При определении функций влияния возникает вопрос сб уравновешивания свободных (не имеющих точек закрепления) тел прн действии единнч.
Контакшные эпдачи Рис. 1Е. Скеиа уравиовешкеакев свободного тема г, = О, и, = 0; (84) ной силы. Следует уравновешивать единичную силу в начале координат тела (рис. 16, и), удовлетворяя уело. виям равновесия (рис. 16, б). Пример 1. Определить контактные давления под головкой болта (осеснмметричная задача).
Рассмотрим контакт головки болта и стягиваемой детали иэ стали (Е = = 2 10' МПа, т = О,З). Зскнз деталей показан аа рис. 17, а. Граничные условия задачи для головки болта (1 =. 1) при Уд = 0 и о!=1 МПа дли стягиваемой детали (втулки,! = 2): при уз=О; х,=о о = о; = о. (85) Уравнение равновесии а о,уй= 2 ~ у) г йг (86) (=! где г = 5 мм — радиус стержня болта; Ьгг — ширина Рй ступени с постояниымн давлениями ду в сечении радиусом г = гу под головкой; номер ступени (! = 1, 2, ..., 5) '. Учитывая, что при натруженна соединения поворота местных осей координат не происходит (а = 0), иэ уран. пений (80) получим следующие усло- Неезвестимй закон расередеаеее» коетакткма давлеимй авероксвиировав аатестовбчатой йууекчией вия совместности перемещений (/ = = 1,2,...,5): у(А,1) — у(Аа1) = би — (оту — озу) (87) где бз — — Бта+ Бзи — книематическое пеоемещенне тел (разно расстоянию между точками О, и Оз при действии внешней нагрузки). В расчете принимали, что опорные поверхности деталей параллельны, в этом случае у (А!1) — р (А,!) = 0 прн оз = 0; трение в стыке отсутствует.
Смещения уравнений (87) и контакт. ные давления связаны соотношением з 01 = Х К1)Я1 лг1, (861 1=! где К!71 — функция влияния, показывающая перемещение в точке ! болта (! = !) под действием распределенной по окружности радвусом г = г1 единичной силы, Кв11 — то же для втулки (! =- 2). Записывая [с учетом равенства (88) ) уравнение (87) для пяти сечений радиусов гб получим систему нз пяти уравнений с шестью неизвестными (пятью контактными давлениями дт, да, ..., г)а и кинематнческим переме. щением Би). Решая зту систему совместно с уран. некием равкоаесия (86), найдем неизвестные контактные давления и кинематическое перемещение. Для вычислении функпий влиянии в рассматриваемой задаче испольэо.
вали вариационно-разностный метод (см. гл. 26). Общий меглод решения конструкционных конвшклгнмх зидач 547 а2 Рлс. !т. Рлслределелне лаяалвелна оод голоелоа Золта (89) о= 0; Уравнение разновеска '-! ! р)Ллз = — ' 2 !901 На рнс. 17, б (кривая !) показано изменение по радиусу контактных давлений под головкой. При опнра. вни головки на жесткое основание (недеформнруемые стигнваемые детали, ьл .= О) контактные давления под го. ловкой распределнются существенно неравномерно (кривая 2 на рис.
17, б). 7(ля сии кения контактных давлений нл «ромке отверстия выполняют фаску. Из графиков на рис. 17, б следует, нто длн о — 1 МПа раснрытин стыка под головкой не происходит (условие раскрытия стыка о (г)) = 0 в одной из точек контакта). После определения контактных дав. лений произведем расчет напряжен. ного состояния тела болта. На рис.
17, а показана сеточная разметка тел болте и втулки для вычисления функций влияния н расчета напряженного состояния. На агом же рисунке показано изменение нормальных напряжений на контуре головки, циф)амн обозначены напряжения в отдельных точках (в МПа) при контакте головки с деформируемой втулкой. Прн опнранни головки на недеформнруемую втулку наибольшие напряжения в галтели незначительно снижаются. 18' Пример 2. Определение контактных давлений прн взаимодействии абсолютно жесткого диска [! = 1) с упругой полуплоскостью (! = 2, плоское напряженное состояние). На рнс 18, а показана сеточная разметка области. Грльнчные условия задачи: при р = = — 100 мм н к=О где Лхт — ширина ! й ступени (! = 5) контактных давлений др Множитель 1,'2 в праной части ураьнення (90) связач с ржсмотрением одной поло.
вины полуилоскостн (по условию симметрии задачи). Ур знание совместности перемещений, клк н н иредыдушей задаче, имеет внд (87), а смешения связаны с контактными давлениями (! = ! 2) соотношением Ь оз)= ~ Кз!!о! Лкс гй) / ! Кон>пляжном задачи гоо Лавлеиии кисла иа полуплоскость Порядох решения задачи не отли- чается от изложенного выше. Однако рассматриваемый пример имеет еле.
дую(цне лве особенности: !) разно ть координат точек в не. негру кои юм сост яинн (см. уравне- ние (ЬО) ) рвана пулю лншо при и = О, а в остальных точках контахта равна зазору между дисхом н аолуплоско- сп ю, 2) размер (полушнрнна) площадки контакта заранее неизвестен и зави- сит от вие(пней иа"рузки (по аналогии с задачей о контахте цилиндров).
Поэтому задачу целесообразно решать методом в)с,.едовател пых .ряблнже- ний. В нулевом прнближс>ни полу. ширину площадки контакта можго принять такой же, как и для контак- тирую(цих цилиндров (ндь в общем случае произволы(о',. Далее плошадку разбавают на,' ступеней (постоянной нлн переменной ширины), вычисляют функции влияния, по описанной выше методике определгют контактные дав. лепна н проверяют выполнение гра- ничных условий(: при х = а о(а) = О. Если в результате расчета окажется, что принятлч в нулевом приближении а> Рис.
(З, Распрекелеиие вапряиеиий при полушнрнна площадки ал больше действительной ал (а„(о> а ), то в д' первом врнближенни принимают новое значение а„ О> (наиример, из ус. лопия Ч (аг) = О, где а> — координата ступени, в которой давления рав»ь. нулю) и повгорнют расчет вновь (раз. бнвают новую площадху на ступени и т. д.). Расчет заканчивается, если и (>.(-!) (е, и(() где е — принятая погрешность расчета. На рис. !8, б нохазано распределение контак,иых диьлсний при р = = !О Н/ым (кривая 1 соптветстнуе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
