Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Начало координат этой системы совместим с точкой 0 полного торможения на сферической поверхности, координату к отсчитываем вдоль поверхности, а у — по нормали к ией (рис. 10.4.6). Используя (3.1.22) и учитывая, что исследуется установившийся поток (дУ/д/ = О), уравнение (10.4.5) преобразуем к виду Ягаб (Уз/2) + го! У Х У = — (1/р) Егаб р. (10.4.6) Рассматривая проекции векторов на направления координатных линий д и дз криволинейной системы [см.
(2.4.11)], получаем уравнения движения: [Ягаб (!"/2)]х + (го! !' 1С У), = — (1/Р) (Есаул Р)з; (10.4.7) [Бган (У»/2)[х+ (го( У зС У)з = — (1/Р) (Егаб Р)з. ЗначениЯ [йгаб(У«/2)]г и [йгаб(рч/2)]з можно опРеделить, использУЯ зази симость (3.1.24). Заменив в ней р на Уз/2, получим буало — = — / .1- — — / -1- — — /, (!0.4.8) Уз ! д (Уз/2) 1 д (Уз/2), 1 д (Уз/2) . 2 — 708 ус в сверхзвуковом потоке у,-г (д1'у (го!У х У)г= — (го(У)з Уз = (1+ — ) Уг [ —— /!т/ у[дк д [(1+ уИт) !'к[ ду (10.4.11) [ дУ„ (го(У Х У)з=(го1У)зуг =(1+ — ~ Ук /7г ) ! дх д.[(!+у И.) У 1 ду Из (3.
1.24) следует, что 1 др 1 др (Ягаб Р)г =' — ° —, (угад р), = —. —, й, дуг йз джаз или с учетом (2.4.40) и (2.4.42) у !з др др (Кгаб Р)г = (1+ — /! †. (угад р), —. (Уд 4 !2) /!т / дк ду Внося (1О.4. 9), (10. 4,! 1) и (10.4. 12) в (1О.4. 7), после преобразований получаем следующие уравнения движения: Ук дУк дук . Укуу 1 др к к +у к+.ку ° 1 (1О.4. 13) 1+ уИт дх ду у -1-/7 р (1-!. у/у ) д)'г д!'у Ук 1 др + ! у — — (!0.4.!4) 1+ уИт дх " ду у+ /!т р ду К уравнениям движения необходимо присоединить уравнение невазрывности, которое согласно (2.4.46) для установившегося обтекания (др/д/ = 0) представим в форме д (ргУ ) /дх + д [рг (1 + уИт) У [/ду = О. (1О.4.
15) Если принять, что исследуется область в окрестности критической точки 'и набегающий поток имеет очень большую сверхзвуковую скорость, то исходные уравнения (10.4.13) — (!0.4.!5) можно упростить. В действительности при этих условиях поток за ударной волной по своим свойствам практически несжимаем, так как чвсло Мз мало отличается от его значения [(й — 1)/2й)!/з, соответствующего случаю предельного течения (при М оо и й = сопз!) за прямым скачком. Следовательно, в рассматриваемой окрестности плотность можно принять постоянной и можения. иной и равной р е — плотности за ударной волной в точке полного торна.
Таким образом, в уравнениях движения и неразрывности переменную плотность р можно заменить постоянной величин й р Так о сз. ак как рассматриваются большие скорости, то в этом случае ударная волна близко по асполагается ко подходит к поверхности тела. При этом область возмущенного течения Р г ется в тонком слое некоторой толщины э, весьма малой по сравнению с радиусом кривизны /7 поверхности. так как 0 ~ Таким образом, если йринять, что аИ « 1, то, очевидно, и уИ « 1, т и (! .4. 14) и не а к у ~ э.
Следовательно, в уравнениях движения (10.4. 13) и тывая и иве е ) еразрывности (10.4.15) величиной уИ можно пренебречь. Учир денные упрощения и то, что для условий вблизи точки торможения т величину г в (10.4.15) можно принять г х, уравнения (10.4.13) — (104!5) 2* 36 Глава десятая представим в следующем виде: д1'х дЬ'х 1'х)'у р др у с ! У» дх " ду /7т Р ду (10.4,!6) дУ д)у Уз р дР + У . — (!0.4.17) дх ду ~ц Р ду д(ху ) д(х!'у) + — 0 (10.4.
18) ду дх В уравнения (10.4.16) и (10.4.17) введена безразмерная плотность р = = рю/ряо р /р о = сопз!. Покажем, чтоуравнения (!0.4.!6) и (10.4.17) можно еще упростить. Для этого рассмотрим порядок величин членов, входящих в эти уравнения. По физическому смыслу порядок величины У будет Уу — Уви где Ущ — скорость за прямой частью ударной волны. Порядок координат х и у для малой окрестности определяется соответственно значениями х — зо, у-щ (зо — расстояние от прямой части волны до поверхности носка). Из уравнения (10.4.18) следует, что порядок величины д(х)' ) хо 1' со «" х ) с!х илн зо1'» ) с1« ду о зо откуда находим У„Усо. Таким образом, порядок величины составляющей Ух такой же, как.и У .
Нетрудно видеть, что порядок третьих членов в правой части уравнений Уоео//(т, а остальных Уо,о/оо. Вследствие того что зо (( /7т, третьи члены имеют мейьший порядок и ими можно пренебречь. Таким образом, вместо (10.4.16) и (10.4.!7) имеем: дУ» дУ» р др У вЂ” +У дх ду р дх (10.4.!6') дуу дуу р др У вЂ” +У дх " ду р ду (10.4.!7') Ух = Ус поз (Р— Рс) ! (10.4.19) 1'"у = 1'с юп (8 дс) ° (10.4.20) где р — угол наклона касательной к поверхности в точке В, находящейся вместе с точкой А на одной нормали. Полная скорость У за скачком уплотнения определяется при помощи формулы (4.3. 18). Приняв в ней Уз = У, Ут = У~ и рг/рзяа р /р о = р, найдем У / У, = (созз 6 + Ро адно йс) / ° (1О.4.
21) Решение системы уравнений (10.4.!6'), (10.4.!7') и (10.4. 18) должно удовлетворять граничным условиям на поверхности тела в произвольной точке, где при у = 0 нормальная составляющая скорости У = О, а затем в точке полного у— торможения, в которой при у = х = 0 составляющие скорости У„= 1' = О. Кроме того, решение должно удовлетворять граничным условиям течейия за ударной волной.
Зтн условия, приведенные для составляющих скорости в точке А, расположенной на расстоянии з от поверхности носка, имеют вид (см. рис. 10.4.6) 37 конус в сверхзвуковом потоке решение задачи об обтекании окрестности точки полного торможения мож. но свести к отысканию поля скоростей. Таким образом, рассматриваемая задача „ляется чисто хилематичесхой.
Для этого необходимо исключить из уравне. „ий движения плотность и давление и продифференцировать (10.4. 16') по у, а (10.4. 1?') по х: ду дУ» д~у„дуг дУ т = — ' (10.4.22) ду д дхду ду ду т дуз р д ду! дух д1'х д'Ух д1'у дУ» дЧ'х ° +У вЂ” + — — +1' —"— ду дх " дхду ду ду т дуз дУ» дуг дзУт дуг дуг дзут дх дх дхз дх ду дудх д — дх д + д +У дд — дз + Из (10.4.24) следует, что (10.4.25) дзУ» д Ут дй дзу дзут дй дхду дхз дх дуз дуди ду Из уравнения неразрывности (10.4.!8) находим д1'»/дх + д!г„/ду =- — У„/х.
Поэтому уравнение (10.4.25), в котором дУ./ду — дУ /дх =(), можно представить в виде » У 0 У /х = У»дй /дс+ Уудй,/ду. (10.4.25') Таким об азо , (10.4.18) н (1 .4.2 ', об азам, задача заключается в отыскании решений уравн ний е Найдем ешение ) (1Х.4 25!), удовлетворяющих указанным граничным условиям. д решение для У„в окрестности точки полноготорможения, коорди- наты которои х = О, у = О, в виде ряда У, =ае(У) + а,(У)х+а,(У)х'+ аз(У)хз+ '" где х — малый па ам ординаты у. параметр, а а„— коэффициенты, являющиеся функциями ко. дУ» дуг д'Ут дУ ду дзу + "х + —.— +у ду т дудх (!0.4.23) 8"д'м фУ Ред щую уд„,„„„„„„,„,„ щую Ротора скоРости (го!1), = 2м .
м (2 23)]. з = дУ»/ду — дуг/дх. (!0.4.24) Используя функцию (10.4.24), а также уравнение неразрывности (10.4.18), можно преобразовать уравнения (1О 4 22) н (1О 4 23). Так как правые части этих уравнений одинаковы, то 38 Глава десятая Структуру ряда (10.4.26) можно упростить. Действительно, ввиду симметрии течения функция У„(х) является нечетной, т. е.
одинаковым по величине, но различным по знаку значениям х соответствуют равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку составляющие скорости Уог Поэтому в разложении (10.4.26) сохраняются члены только с нечетными степенями, т. е. 1'х = а,(у) х + а,(у) хо + ° (10.4.27) Учитывая, что рассматривается малая окрестность вблизи точки полного торможения, членами, содержащими х в третьей и более высокой степени, можно пренебречь. Таким образом, У„= а,(у)х. (10.4.28) Введем функцию Р(у) = ) а,(у) г(у, о (10.4.29) удовлетворяющую условию Р(0) = О.
Тогда У„= хо(РИу = хр' (у) . Подставим выражение У„из (10.4.30) в (!0.4.!8): (10.4.30) д1'„ хР' (у) + хР" (у) + х — = О. ду Отсюда находим выражение для другой составляющей скорости: Ут — — — 2 ) Р' (у) о(у+ 1(х) = — 2Р(у) +1(х), (!0.4.31) где 1(х) — произвольная функция х. По условию безотрывности обтекания У (х, 0) = О. Следовательно, 7(х) = = — 2Р(0).
Но функция Р(0) = О, поэтому /т(х) = 0 и У„= — 2Р(у). (10.4.32) Для определения вида функции Р(у) внесем (10.4.30) и (10.4.32) в (! 0.4. 25'): [хР" (у)!х) У„У„Р'(у) — 2Р(у) Р"'(у), Согласно (10.4.32), функция Р(у) + О, поэтому :;- Р"'(у) = О. (10.4,33) Общее решение этого уравнения имеет вид ру = 2(стао+ сало). (!0.4.35) Для нахождения второго уравнения продифференцируем (10.4.34) по у: Р'(у) = с + 2с,у. Р(у) = — У„/2 = со+ с,у + гууо. (10.4.34) Так как У = 0 при у = О, то со = О.
Два других коэффициента можно определить, если воспользоваться условиями на ударной волне вблизи критической точки при х -о О. В частности, из условия (10.4.21) следует, что непосредственно за прямой частью ударной волны (0 о = и/2) скорость в точке С (см. рис. 10.4.6) Ут — Уе = — руо. Так как координата точки у = оо, то = 1' = — 2(с,оо+ сзэо~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
