Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980 (947285), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому составим первое уравнение для определения коэффициентов сд и сз: бонус е сзерхзаукозом потоке В соответствии с этим результатом и согласно (10.4.31) составляющая скорости Ух =- х(от + 2су). (10.4.36 рассмотрим точку А на ударной волне, удаленную от поверхности носка на расстояние у = 5. Приравнивая скорость У„, найденную из (10.4,36), У«А — — х (:, + 2саз) ее значению (!0.4.19) на ударной волне ! «А ! ссоз(() — нс), получаем к(сг + 2»аз) = У соз((1 — р ), Переходя к пределу при к — 0 и полагая з = аа, Ус — — РУ, находим зависимость, относящусося к точке С, расположенной на прямой части ударной волны: соз (3 3с) сг + 2саза 1'пп (10.4.37) «-+О Предел в левой части можно вычислить следующим образом.
Из рис, !0,4,6 видна, что в точке А на ударной волне угол () — Рс = и/2 — (ср + ()с). Следовательно, соэ(р — 6») = 5!п(ср —,- (!О). Вблизи точкй полного торможения углы ср и р малы и мажйо принять соз(9 — !)О)як ф+ ()с. В соответствии с этим соз (3 — 8,) е Рс 1!ш ' — = Иш — +!пп х-то Х к+О Х кае Х Очевидно, что 11ш(с(/к) = 1//!т, а второй предел можно представить в виде к-то /8»! 1пп — ' =1пп ( — ' ° — ) = ~ — ! — (!0.4.38) —.~ - ' ° ) ~-!.
йс / 'с где 1пп — = ( — ); 1пп — = —; каса — РадИУс кРивизны УдаРнай к-та сс с>,,х=-а х-+О Х /Сса волны в ее вершине (если /сс — текущее значение радиуса кривизны волны, то Яса =1!ш /сс). Угол (см. рис. !0.4.6) связан с углом наклона волны В, форму«-та лой ы = и/2 — бс. (10.4.39) Лля определения (р /ы)х=а воспользуемси формулой (4.2.19), которую получим при помощи (4.2.2!) и (10.4.39) в виде р /рс = Пй(0 — !)»))/!89 = !а /!9(ю + Рс) Для малых ы и !)с отношение р /рс =ы/(ы + рс). Следовательно, 1пп — ' = 11пт — — ! или — '' = —" — 1 — — — 1 х-+О а' х-:О О а /х=а»а р Таким образом, »аз() — эс) 1 / 1 тс 1 1!гп ' ' = — +! = — 1') †.
х-+О т, О са Глаза десятая Внесем это выражение в (10.4.37): 1 / ! 1 1 сг + 2сззо /гсо ! /гсо (сг + 2сззо) — + [ — 1! — = или — + — — 1= )р, ~-, / /р„ /тт р рУ При больших скоростях обтекания можно принять /г,о/)г яя 1, поэтому (!0.4.40) сз + 2с,з, = У, //гсо В уравнениях (!0.4.35) и (10.4.40) помимо сы со имеется третье неизвест.
ное — расстояние зо от ударной волны до носка. Поэтому к системам (10.4.35) и (10.4.40) необходимо добавить еще одно независимое уравнение, которое вытекает из выражения для вихря: дУк дУг д д Я, = — — — = — [х (с, + 2с,у)] — — [ — 2 (с,у + с.,у')] = 2с,х. з ду дх ду дх (!0.4.4!) Зависимость (10.4.4!) пригодна для определения вихря как на поверхности носка, так и непосредственно за ударнон волной на участке потока вблизи точки полного торможения. Вихрь в потоке за ударной волной можно также найти иэ уравнения (!0.4.6), которое в соответствии с зависимостью (+ Уз/2 = = сопз1 преобразуется к виду го1Р х Р=йгад/ — (1/р) йгад р.
(10. 4 А2) Воспользуемся известной из термодинамики зависимостью для энтропии ТАЗ = ой — др/р, (10.4.43) согласно которой можно получить векторное соотношение Т угад 3 = ягад Š— (1/р) агад р. Отсюда (10.4.42) представим в виде (10.4.44) го1 Р Х Р = Т ягад 3. (10.4.45) Это уравнение можно отнести к условиям на ударной волне. Рассмотрим на ней произвольную точку А (см. рнс.
10.4.6). Проецируя векторы, входящие в (10.4.5), иа направление касательной т, получаем соотношение (го1 Р Х Р), = ТодЗз/дс, (10.4.46) ] го! у хР ] = [ го17 [ [ Р [ з!п(я/2) =0,ус. Вектор, равный векторномупроизведениюго1У Х У, перпендикулярен плоскости векторов го1 У, !' и, очевидно, расположен, как и вектор Р = !', в пло скости симметрии (рис. 10.4.7, а). Проекция векторного произведения го17 Х где То — температура в точке А за скачком уплотнения.
Компонента (го!У Х У), векторного произведения определяется следующим образом. В точке А вектор го1Р,модуль которого Я, ориентирован по нормали к вертикальной плоскости симметрии (рис. 10.4.7, а). Величина У представляет собой вектор скорости за ударной волной У = !', расположенный в указанной плоскости симметрии. Ввиду перпендикулярности векторов го17 и Р их векторное произведение по модулю Конус в сверхзвуковом потоке 4! Н'а йаа=йт «7 ~Ь/ лëрнал данна гагйнй га< Ркс. 1ОА.7 К определению интенсивности вихря за ударной волной Х У на направление касательной, как видно из рис. 10.4.7, равна (го11» Х У) = ы»У 5<п(Вс, а) ° (10.4.47) Для определения правой части (10.4.
46) воспользуемся уравнением (10.4. 43), отнеся его к условиям в той же точке А за ударной волной: 7'абба = б»з — г<рг/Ра. (10.4.43') Уравнения для энтальпии гэ и давления ре возьмем соответственно в форме (4.2.6) и (4.2.4). Так как рассматриваются большие скорости, при которых <! « »2 и р! « рэ, то эти уравнения представим в виде или с учетом <4.2.31 д У»п 1»«, Р— Рг/Рэ Раа /Р Дифференцируя, получаем: '<<2=(1 Р ) 1« ""«1»«Р»<Р' »<ра = 2(1 — Р ) Р»У«бУ« т,ж,=(1 — р)2У„„бУ„„, (10.4.60) Из рис. 10.4.7, б бУ«аа = У<~!»<ег П и Р .4.7, б следует, что приращение нормальной составляющей «~ =, .При этом, так как скорость У<'!в точке А<!1, находящейся на малом удалении от за т заданной точки А, отличается от скорости У, в точке А на есконечио малую величину, дифференциал У«б™с» (10.4.61) где <Ра = »<т/»<໠— радиус кривизны волны в точке А (рис.
10.4.7, б) гэ = 1»„1/2 — 1»22/2; Р! «1 Ре(«2 2 2 '.= 1 .'„(1 — '))/2; р, = Р,У„'„(! — Р), У2 б Подставляя эти выражения в (10.4.43'), находим (10.4.48) (10.4.49) (10.4.48') (10.4.49') Глава десятая И =У (1 — р) з)п 6 сов О /((роз!пор + созой )изй ]. (10.4.54) Заменяя здесь 0о на п(2 — ы, имеем Рх = У (1 — р ) соз и ып оо/[( ро сохо о)+з!по н)пз Я ] .
(10.4.54') В окрестности точки полного торможения, где величины ы малы и )с )го о о ( Р ) /( Р)~се) ' Приравнивая правые части (10.4.41) и (10.4.54') и = 1Я о, находим коэффициент (10.4.54о) учитывая, что ы !х = сз = ",о (! !') /(2 Р)!се) (10.4.55) Подставляя это значение сз в уравнения (!0.4.35) и (10.4.40) и решая их совместно, находим зависимость для коэффициента с„: (10.4.56) Скорость на поверхности носка определяем из (10.4.36) при условии, что У=О: (10.4.57) Из свойства нечетности функции У„ следует, что прн х ) 0 или х < 0 соответственно У ) 0 нли Ух с О. Это зйачит, что в формуле (10.4.57), а следовательно, и в равенстве(10.4.56) для с, взят знак плюс.
Отход и форма головной ударной волны. Наряду с коэффициентом с, решение системы (10.4.35) и (10.4.40) дает зависимость для отхода э, ударной волны от носка: Вносим сюда значения сз из (10.4.55) и с, из (10.4.56) со знаком ПЛЮС: с~со ]1 ( 2„рз)нз] (10.4. 58) В соответствии с (10.4.51) уравнение (10.4.50) представим в виде тонха = (! Р )' У„„У,)т))Р,, (10.4.52) Внося (10.4.47) и (10.4.52) в (10.4.46), находим с ( с 'с) (! Р) (л» !" /)~ Используя формулу (10.4.21) для У, а также выражения Ь'а = 1' Мп0 ° У, =У созВ (10.4.53) которые получаются из треугольника скоростей на рис. 10.4.7, б, находим для вихря 43 И „ус в сверхзвуковом потоке б/ 5з= узт'Ят о) аа=5а/Ят атм аб а,л а,» ау дг даа а,ау а,) а,аа а Ы П гт гб М. ад а» аа р=р /р Рис (О,4.В Относительный отхоД Ула носком, обтекаемым сверхзвуковым о — дла воздуха (во артумзвту )); б — дла з1авту Мая р, =)03 Па; Т, =-гаек) рной волны перед сферическим потоком: висло)ода, азота в воздуха (по ауту- (10.4.
59) В действительности концентричность не наблюдается. Соответствующее отклонение от зависимости (10.4.59) тем больше, чем меньше числа М . Для учета отклонения от концентричной формы ударной волны можно воспользоваться зависимостью, полученной по опытным данным, Я„= Л„Я, = 1/ [1 —,)" . В результате отход, отнесенный к радиусу сферического носка, о в со 5 [1 5) (10.4 6]) И~ и Дт, где 5, берем в соответствии с (10.4.58) в виде Яо — — ' [1 — (2Р— Ра) "1. (1 — а)' Величина 50, рассчитанная по (10.4.61) и (10.4.62), представлена в фУнкции Р = Р /Рс на Рис. 10.4.8, а.
На Участке до значениЯ Р( 0,4 кривая, показанная на рис. 10.4.8, а и характеризующая изменение отхода для ударной волны около сферического носка, аппроксимируется простой зависимостью (см. [2)) , = 0,52 [р/(1 — рИ'". (10.4.63) (10.4.60) (10.4.62) В правую часть этой формулы входит радиус кривизны волны на оси /с„, который следует рассматривать при заданных условиях набегающего потока как функцию радиуса сферы гс,. Если исходить из предположения, что на оси волна концентрична сфере, то 1000 —— = Я, + 5,. ВводЯ новые обозначениЯ ус со = Йсо/х)(тт ~ = а)Жсс, получаем Глава десятая В полученных зависимостях безразмерная плотность р =р„/р, является параметром подобия для относительного отхода з, =за®т и определяется из условий равновесной диссоциации непосредственно за прямой частью ударной волны.
Формула (10.4.63) отражает реальное явление, заключающееся в том, что в условиях диссоциации происходит снижение температуры, вызывающее увеличение плотности. Таким образом, возникает дополнительное поджатие газа и, как следствие, приближение ударной волны к обтекаемой поверхности. Представляют интерес результаты расчета относительного отхода ударной волны, полученные в работе [2). Эти результаты графически изображены на рис. 10.4.8, б и показывают изменение величины з, = зв//г, в зависимости от М для случаев обтекания сферы потоками воздуха, кислорода и азота. Видно, что при значениях чисел М = 9 †: 13, когда изменение теплоемкости воздуха обусловлено в основном диссоциацией кислорода, кривая з,(М ) для воздуха расположена ближе к соответствующей кривой для кислорода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
