Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Гл. 4. Уралаевия в частных провзведвмк параши пар>щка Поскольку это уравнение не содержит явно независимых переменных„то применяем способ, изложенный в примере 509. Имеем о> = о>(и)> и = ах+ у. Тогда р, =и(и)а, Гп =о>(и), (р, — 1) +9, =о>=(о>а — И +о> .!.о>=0, т > т > Для решения последнего уравнения применяем метод введения параметра.
Полагая о>' = Г, имеем >до >11 2((а — 1)а ш и -1 - ((а - 1)', йи = — = - —— >(1, и = (2а — 1) 1п !1! — 2а'1+ Ь. Таким образом, система уравнений «+« = -1 — (Га — 1), а«+у= (2а — 1)1п!г) — 2а 1+ Ь определяет полный интеграл. М Примечание.
В данном случае можно исключить параметр Г и получить лолиыа инте>рак в виде Ь(х> у, «, а, И = О, однако предоставляем это читателю. В следующих зала их найти интегральную поверхность, проходящую через заланную кривую: 514. « =рд+ 1, « = 2х+ 1 при у= 2. и Прежде всего находим полный интеграл данного уравнения, пользуясь примечанием к примеру 509. Решение ищем в виде « = «(и), и = ах + у.
Тогда р = «'а, 9 = «' и « = «' а + 1. Интегрируя это уравнение, получаем полнмй интеграл исходного уравнения: Ф >ц 4а(« — 1) — (аа'+ у + Ь) = О. Далее, для определения поверхности, которая проходит через указанную прямую, поступаем согласно изложенному в п.2.2. Именно, папаша х = х, у = 2, « = 2х+ 1 и считая Ь = Иа), относительно функции Ь = Ыа) записьтваем систему уравнений (6), п.2.2: 8ах — (ах+Ь+2) =О, 8а — 2а(ах+2+Ь) юО. Затем решение этой системы Ь = 0 подставляем в систему уравнений (7), п.
2.2. Тогда получим 4а(« — 1) — (ах + у) = О, 4« — 2«(ах + у) = О. Отсюда, исключив параметр а, после упрощений окончательно находим уравнение искомой поверхности «=ау+1. М 515. 2« = ру — Зху, « = 15у при х = 5. и Предположим, что решение имеет вид « = у>(ху). Тогда относительно функции >р получаем уравнение: ,2 2(о=у> и — Зи, и=ху которое среди прочих решений имеет и такое: 9>=ам, где а, = -1, ат = 3. Следовательно, «> = -ху, «т — - Зху. В силу начальных условий имеем « =Зху. м 516.
4 = р'+ 9', = у' пр * = О. и Поскольку функция «ы 4« — рт — О' явно от переменных х, у не зависит, то решение уравнения ищем в виде « = )т(ах+ у). Тогдд относительно р получим уравнение 4>р = (а + 1)>р > интегрируя которое, находим: ~т>ту= +Ь, или Фы« — ~ +в~=О. ах+ у / ах+у т/аз+ 1 ~/а~+1 Ф 2. Нелииейнме урвииеиии неумно варюха 235 Далее в силу (5), (б), п.2.2, имеем уравнения: х=О, у=у, а=уз, Фму — ( у — +Ь) =О, у — ( у +Ь)+у=О. Отсюда, исключив переменную у, получаем Ь = О.
Используя теперь уравнение (1), п.2.2, и Ь = О, имеем систему: (ах+ у)' 2(ах+ у)(ау — х) — =О, Из второго уравнения находим а = „-* и подставляем в первое. В результате приходим к искомой поверхности л=х +у ° и Примечание. Равенство ах + у = О не подходит, тнк лак лз первого уравнения следовало бы, что л = О. 517. Рх+ ду — рд = О, л = у при а = О. < Для нахождения полного интеграла воспользуемся методом Лагранжа и Шарпи. Из системы уравнений г(х бр г(л бр й~ х — д у — р р(х — д) + д(у — р) -р -д' соответствующей уравнению (4), п. 2.1, находим один первый интеграл и = да.
Далее, решив систему уравнений р = да, рх+ ду — рд = О, получаем р = ах+ у, д = х+ —. у а Подставлял значения р н д в уравнение Пфаффа ах = р дх+ дну и интегрируя его, будем иметь л= — ах + — +ху+Ь, 2( а) Это есть полный интеграл. Для нахождения поверхности, проходящей через указанную в условии кривую, применяем схему, изложенную в п.2.2. Записываем уравнение кривой в виде х = О, у = у, х = у, составляем систему вида (6), п.
2.2: у х — — ах + — — ху — Ь(а) = О, 1 — х — — = О. 2~, а) а Подставия сюда х = О, у = у, х = у и исключая параметр у, находим Ь(а) = ча. Наконец, 1 исключая параметр а из системы уравнений, соответствующей системе (7), п.2.2: 'ы+ ' .„=, '+ 2~ а) 2 ' 2 2аз 2 Таким образом, л — у(х 1 .ггхз 1 1) 518.
л — рх — ду — Зрз + дт = О, х = уз при х = О. < Нетрудно проверить, по полным интегралом данного уравнения будет Фгих — ах — Ьу — За +Ь =О. 2 2 Аналогично проделанному в предыдущем примере имеем: х = О, у = у, л = у' (параметрические уравнения данной в условии кривой), л — ах — уЬ вЂ” За +Ь =О, 2у — Ь=О. 2 2 Подставляя сюда х = О, у = у, * = у' и исюпочая переменную у, находим Ь = х2а.
Далее, найденное значение Ь подставляем в систему (7), п. 2.2: л — ах~2ау — За +4а =О, — хх2у+2а=О. 236 Гл. 4. Уравиевия в 'аетвых вреизвадиых верного порядка Исключив параметр о иэ этой системы, получаем окончательно: г(х ду г(в г(р а(9 — — — аЫ, (1) Ч Р 2Р9 Р Ч с начальными условиями: х = в, у = вг, г = в, р = вг, у = в при т = О, а также х = в, у = вг„ з в = в, р = 2в, д = 2 при 1 = О. Таким образом, возможны два варианта.
з г в Иэ системы (1) легко находим Р = С е ', д = Сге ', х = ~(-9) гй+ Сз = С е ' + Сз, у = ) (-Р) г(т+ Са = Сге '+ Са, в = -2 ~рд Ж + Сз = С Сге " + С,. Исходя из начальных условий, определяем постоянные интегрирования: Сг- — в, Сг —— в, Сз — — О, Со=О, Сз — — 0 г (для первого решения); С, =2вг в в Сг= Сз= Са= в Сз — 0 2' 2' (для второго решения). Итак, имеем две интегральные поверхности: г -г 3 -гг, х=ве, у=ве, в=ве х=-(е '+1), у=в(2е — !), в=взе в.зо 2 аа г г 520 р + д = 1; *о = соз в, уо = яп в, хо =— 2 аг Как и в предыдущем примере, сначала находим функции ро, уо из системы уравнений (см.
(8), п.2.3): г г ! ро+яо — ! =0 -роз(по+досова — — =О. 1 2 Имеем ро —— сова, уо — — яп а, где а = в+ (-1)" К + йзг, )о Е Е. Иэ системы уравнений (см. (9), п. 23): г(х ду г(х др 49 2р 29 2(рг+ уг) 0 0 следуют также решения: Р= Сгг Д = Сг, х = 2С1+Сз, у = 2Сгз+Са, в = 2(Сг +Со)1+Со. Дгш определения постоянных интегрирования исгюльэуе м начальные услоюш: в х=соов, у=япв, в= —, р=соза, у=вша 2' при 1 = О. Пользуясь методом Коши, найти интегральную поверхность, проходящую через заданную крив!чог з 519.
в = ру, ао = в, уо = в, во — — в . и Применяем метод Коши, изложенный в и.2.3. Согласно методу, сначала составляем и ре- шаем систему уравнений (8), п. 2.2: : — в' — ро(в))о(в) = О, ро(в) + 2вуо(в) — Зв = О, о=за а=за ро (в)=в до (в)=в, ро (в)=2в', до (в)= —.
2' Затем, учитывая найденные значения ро(в), до(в), составляем и интегрируем систему уравне- ний (9), п.2.2, 237 и 2. Нелииейнме удавившая иервого иорашш Тогда получим в Сз — — созе, Со = гшв С» — — —. Сз =ила, С, =сома, Следовательно, три функции в г =21+в 2 х= 2!сова+созв, у=2(»ша+япв, описывают искомую интегральную поверхносп . И 521.
г=рх+дд+рд, хо -— 1, уо-— в, го -— в. з м Из системы уравнений (см. (8), и.2.3) з в Ро Яов Родо = О, до — Зв =О находим 2в з 3 Ро = 1+ Згз уо=Зв. Далее, составляем и решаем систему уравнений (см. (9), и. 2.3): >(х >(д >1г Ир бд *+у у+р г+рд О О Р=С>, О=С>, х=С>е — Сз, у=Сое — Сз, г=С»е — С>С>. Исходя из начальных условий 2 з д~ =За, определяем постоянные интегрирования: з С> = — , С> = Зв > Сз = ! + Зв > 2в ! + Зв> в + в' в' — Зв' 1 + Звз' 1 + Зв> Таким образом, параметрические уравнения поверхности имеют внд: ( ')' 2/ !' — » ) +ь' х= !1+Зв !е — Зв, д= 1+ Звз ' 1+ Звз Имеем Р>о = О> Рго = 1> Р>о = ~~/~~ в>. Затем интегрируем вспомогательную систему дифференциальных уравнений (см. (13), п.
2.4): г(х фл Охз д ОР !Рз Фз 2рз 2рз 2рз 2(рз> + А + рзз) -р> -рз. Рз Из последних трех уравнений атой системы получаем: з з с р, = С,е, рз = Сге, рз = Сзе . Из первых трех уравнений с учетом полученных значений для ро, й = 1, 2, 3, находим х> = 2С>е +Со, хг = 2С>е'+ С», хз — — 2С>е'+ Со, г = (С> + Сз + Сз)е" + Сп 2 > г дг пх22. г = р, + рз + рз! х,о — — в, + в,, хзо =- вз — вз, хи — — О, го — — ! — в, + вз (р и гз ' »=1,2,3). м Действуем по методу Коши, изло:кенному в п.
2.4. Именно, сначала определяем функции Р,о, Рзо, Рзо из системы уравнений (см. (12)): го-Р>зо-Рзо-Ров =О, -1-Р>о-Рог = О, ! -Рм Р„= О. Гл. 4. Уравнении и частных проюеадиык первого порошка 23В = вг+в„хг~ =в, — вг> и=о го=о зог~ Ог Рг! 1г Рз~ ~'~/Вг Вн В результате находим Сз = О, Сз = — 1, Сз = ~т/вгвгг Ся = вг+вг, Сз — вг — во+2, Сь = т2з/вг-вг, Сг — О. Таким образом, параметрические уравнения искомой поверхности имеют вил (см. (15), п.2,4): х, =аз+во хг---2е +2+в, — вг, хз —— х2~/в~ — вг е'+ 2~/вр - вг — — х2~/в~ - гч(е' — 1), в = (1+ во — в,)е".
> 5 зЗ. в = хгрг +хоро +хзрз +Рз +Рг+Рз, хзо = 1, хго = вп хзо = вг +вы оо = 1+во. г г з. г < Как н в предыдущем примере, применяем метод Каши (см. п. 2.4). Составляем и решаем систему уравнений относзпельно рм, рх, рзог г г г ! + вг =Ри+ вгрго+ (аз + во)рзо+Рм+Рго+Ри, 2вг — Рю Рзо = Ог Рзо = О. Отсюда находим — ! х 3!/5 — 20вг Рго = 2вн Рго = 2 Далее составляем и решаем систему дифференциальных уравнений: г(хг г)хг г)хз брг з(рг ьзрз хг + 2Рг хг + 2Рг хз + 2Рз + + 2 з г 0 0 0 рх,+Рх,+Рхз+2ЕР. о=г Из последних трех уравнений следует, что Р» = Сз, й = 1, 2, 3, а из первых трех— хг = Сье — 2Сг, хг = Сзе — 2Сг, хз = Сье — 2Сз, в = (СзСь+СгСз+ СзСь)е +Сг. 3 з / Используя начальные условия хз — — 1, х, =в„хз =во+от, и=о ' и=о ' и=о в! = 1+аз, г г=о з~5 - 20в', 2 — 1х Рз~ = О, Рг! = 2в„Рз! и=о ' и=о ' и=о определяем постоянные С„з = Т, 7: -1 х зг/5 - 20в~~ Сг = ", Сз =2вг Сз =О, С4=1+2Сг =х 5 — 20вгн Сз = в, + 2Сг = 5вг, — 3 х 3/5 -20вгг Сг = 1+вг — СгС4 — СзСз — СзСь = +вг.
2 Сь — — вг+ во+ 2Сз = в, + вг Итак, параметрические уравнения искомой поверюзости имеют вид: хг = х)/5 -20вге'+ 1 х з /5 - 20вгг = х~/5 — 20вг(е — 1) + 1, 1 г — —, г -3 ~ (/5 — 20вгг хг — — (5е' — 4)вг, хз = (вг + вг)е', в = -(5 ~ !/5 5 — 20вгг)е'+ во+ 2 2 524. Рг+рг+рз+Рь-1 = 0; хзо = 1, хго = вз, хзо = во+воз хм = во+во+вз, во = вг+ог+во. г г з з г М Поступаем аналогично проделанному в примерах 521-523, т.е. действуем по следующей схеме. а) Решаем систему уравнений: Рзо+Ри+Ри+Рьо — 1=0, 2вз — ри Рзо-рв= О, 2вг — Ри — роо=О, 2в> — Рм=О. з з Ддя определения постоянных интегрирования воспальзуемся начальными условиями (см, (14), и.
2.4): й 2. Нелинейные удавления первого норвдвз 239 Огсюла имеем: рез = 2вз, рзо = 2(вг — вз), рм = 2(в, — вг), р,о = й 1 — 4(вз — вг) — 4вз 4(вг — вз)г. б) Интегрируем вспомогательную систему: дхз дхг дхз дх» дг Йрз дрг дрз дро 41. 2Рз 2Рз 2Р, 2Р, 2(Роз +Рог + Рог+ Р»г) О О О О Из последних четырех уравнений следует, что р» — — С», й = 1, 4; а из первых четырех— » й=1 4 в=2) С»1+Рз х» = 2С»1+Р», в) Исходя из начальных условий х»~ = хм> Р»~ =р»о> й = 1, 4, л=о ' и=о определяем постоянные интегрирования С», Р„: С» =Р»о, Р» = тю, Рз — — во, й = 1, 4. г) Записываем параметрические уравнения искомой поверхности: во> и=о хз — — х2 +1, тг = 4(вз — вПВ+ вз, хз = 4(вз — вз)1 + вз + вг, х» = 4взг+аз + во+ аз, в = 21 + аз + вг + вз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
