Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Следовательно, — =! 1п! — 21+2!.м дх! г г ду„* =з г;г ~зз.~ *.=*'", ®="" - — '"( ' ( у =2х+(гу', у(О) =-2; д,и „о м С помощью дифференцирования кюкдого равенства данной задачи по параметру р и по- следующей подстановки д = 0 получаем: г(и(1, О) = и(1, 0) + о(1, 0), и(0, 0) = 1, юЬ(1, 0) = 2и(1, 0)+уз(1, 0), с(0, 0) = О, где и((,,и) = — о,", Я, е((,,и) = — уь.. Функцию у((, 0) находим из задачи: х(1, О) = а(1, О) + у(1, 0), х(0, 0) = 1, у(1, О) = 2х(1, 0), у(О, О) = -2, которая получается из данной при (г = О.
Подставив х(1, 0) = —,'у(1, О) в первое уравнение, имеем задачу: у(1, 0) — у(1, 0) — 211(1, О) =О, у(0, 0) = -2, у(0, 0) = 2, из которой находим у(г, О) = — 2е '. Используя этот результат, из системы (1) методом исключе- ния получаем задачу: У(1, О) — 6(1, 0) — 2е(1, 0) = — 12е з', е(0, О) = О, б(0, 0) = б, решение которой имеет вил: о(1, 0) = 2е ' + е" — Зе г .
Это и есть искомое решение. М г г дх~ 534. х — х = (х + 1) — рх; х(0) = —, х(0) = — 1; найти— и Дифференцируя равенства данной задачи и полагая затем в кюкдом из них р = 1, получаем: г(ти(1, !) ди(1, 1) г(и(1, 1) дтг — — — 2и=-х~(! 1) и(0 1)=0 ' =О, гй Ф \ > 1! ~=а где и(1, р) = — ф —. Функция ! ~-~ х(1, 1) является решением задачи: дхн. а) дгх(1, 1) дх(1, 1) 1 — = 2х(1, 1)+ 1, х(0, 1) = —, х(0, !) = — 1, которую можно получить из данной цри (г = 1.
Решив последнюю задачу, имеем: 1 х(1, 1) = е Учитывая зто решение, задачу (1) представляем в виде: й(С, 1) — и(1, 1) — 2и(1, 1) = — (е — -71, и(0, 1) = й(0, 1) = О. г -г Наконец, интегрируя последнее уравнение и используя начальные условия, получаем: дх! 1 ! 25 !'г 1 х 1 и(1, 1) = — ~ = — +е ~ — — -'г! — — е — — е . !ь д)г!„ю 8 ~Зб 3/ 4 72 24б Гл. 5. Приблшкеинме методы решения диффереицвальиык уравнений 535. Оценить, насколько может измениться при О ( х < 1 решение уравнения у' = х+ яп у с начальным условием у(0) = у, = О, если число уа изменить меньше, чем на 0,01. и Пользуемся неравенством (4), п.
1.!. В данном примере в = О, так как сравнивяотся между собой решения у(х) и в(х) одного и того же уравнения, т. е. у' = х + яп у, в' = х+ яп в, где решение у(х) удовлетворяет начальному условию уо — — О, а решение в(х) — условию в(0) = во, для которого, согласно условию, справедлива оценка )уа — га! ( 0,01, или )во( ( 0,01. Следовательно, по формуле (3), п.!.1, 6 = 0,01. Далее, так как ! яп у — о!ив! < )у- в(, то постоянная Липшица К = 1, и, согласно оценке (4), и.
1. 1, имеем окончательно: 1у(х) — в(х)! ( 0,01еи! ( 0,01е щ 0,0271, я 536. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ яп х = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 ( ! ( 2 возникающую ог этого погрешносп в решении с начальными условиями х(0) = 0,25, й(0) = О, если известно, что !х — в(их! ( 0,003 при (х! ( 0,25. и Пусть у(!) — решение задачи у+ яп у = О, у(0) = 0,25, у(0) = О, (1) а х(1) — решение задачи: х+ х = О, х(0) = 0,25, х(0) = О. (2) Тогда для погрешности н(1) = х(1) — у(!) путем почленного вычитания из равенств (1) равенств (2) получаем задачу: й(!) + и(!) = з(ну — у, и(0) = О, и(0) = О, решение которой имеет вид: и(!) = ( (вш у(т) — у(т)) яп(! — т)г(т.
(3) а Умножив почленно уравнение (!) на у и проинтегрировав, а также приняв во внимание начальные условия, получим: у' = 2(сову — сов 0,25). Отсюда следует, что (у(( 0,25. Поэтому !япу — у! < 0,003, и из (3) находим ну~кнуго задачу: 1 з !п(1)! ( / /а1пу(т) — у(т)! !яп(! — тиг(т ( 0 003 / !з!п(! — т)! ят ( 0 003 / ат = 0 006, в 5 2.
Аналитические приближенные методы 2.1. Метод отененных рядов. Если коэффициенты ра(х), р~(х), рз(х) лифференциального уравнения ра(х) уо + р, (х)у + р,(х) у = 0 (1) в окрестности точки х = хо яютяются аналитическими функциями, т.е. разлагающимися в ряд по степеням х — хо, и ро(ха) Ф О, то решения этого уравнения в некоторой окрестности указанной точки также аналитичны. Если же точка ь = хо является в-кратным нулем функции р„ в — 1-кратлым (или выше) нулем функции р, (если в > 1) и в — 2-кратным (нли выше) нулем функции р, (если в > 2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (1) в ниле суммы обобщенного степенного ряда у(х) = (х — хо)' ~ ' а„(х — хо)", «=а где т — некоторое число.
Если функция у является аналитической в окрестности точки (хо, уо), то решение задачи У = У(» У) У(хо) = Уа б 2. Аналитические иряблшкевиые метолы 247 также является аналитической функцией в окрестности точки х = хо. Аналогично, если функция 7 =~~~х, у, у', ..., у " ) является аналитической в окрестности точки (хо, ум уо,, уо ), то (ой / о (о-(К) сущ вует решение задачи Ум' = 1, У(хо) = Уо, У'(хо) = Уо, ", Уго н(хо) = Уо" ' в виде ряда по степеням (х-хо). Для отыскания коэффициентов ряда часто используется формула Тейлора. 22. Метод малого параметра. Если в задаче (Сх, — = ~,(С, х(, хк, ..., х„, д), х,(Со) = а((д) к = 1, и, (2) фя(клин 3(, а, являются аналитическими по совокупности переменных х„х„..., х„д, то вектор-решение ее х(С, д) разлагается в сходящийся при малых значениях д (л(алых по сравнению с единицей, т.
е. ф « 1) степенной ряд по Сц х(С д) = Уо(С) +ду((С) + С( Уз(С) + (3) Для того чтобы найти функции у„у„..., следует разложить правые части в задаче (2) по степеням д и, подставив туда разложение (3), приравнять коэффициенты при одинаковых степенях д. В результате получаем систему дифференциальных уравнений с соответствуюшнми начальными условиями, интегрируя которую последовательно определяем функции ум у(, ....
При этом произвольные постоянные находим, используя начальные условия; у,(Со) = ((кьа (кг, а„,), где ак~ = сопз(. Пользуясь методом малого параметра, можно приближенно находить периодические решения уравнений вида х + а х = С(Р(С, х, т, д), (4) где г" — известная периодическая функция по С. В этом случае постоянные интегрирования, возникающие при решении дифференциальных уравнений относительно функций уо, у„..., на- ходятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих чяенов в правых частях указанных дифференциальных уравнений. Если правая часть уравнения (4) явно от С не зависит, то период решения х(С, д) заранее не известен. В таком случае в уравнении (4) следует сделать замену т = С(1+ Ь(д+ Ььа + ...), (5) где т — новая независимая переменная, и искать решение х(т, Ск) периода —.
При этом коэф2х фициеиты Ь(, Ьк,... определяются из условий периодичности решений уо(т), УДт), .... В каждой нз задач 537-542 найти а виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда. 537. у' = у' — х; у(о) =1. м Функция 7(х, у) = у' — х является аналитической по совокупности переменных *, у в окрестности точки (О, 1), поэтому существует аналитическое решение этой задачи у(х) = ~,а„х".
=о Подставив его в данное уравнение, получаем тождеспю по х; а, + 2акх+Зарх + ... = (по+а(я+ах + азх + ...) — х. з к з ПРиРавнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему уравнений относительно чисел а, (к = О, 1, 2, ...): а, = ак, 2ак = 2аоа( — 1, Заз — — а, + 2аоаз, 4ао = 2а(аз + 2аоаз 2 Так как у(О) = 1, то ао — — 1.
А тогда из уравнений полученной системы последовательно находим: 1 2 7 а(=1, аз= — аз= — ао= —, 2' 3' 12' 24В Гл. 5. Приближенные мепквя решения лиффервшшальных уравнений Таким образом, приближенное решение имеет вид: 1 2 2 з 7 4 у(х)и1+х+-х +-х + — х.~ 2 3 12 г 1 з ((х, у) = у+х(1+у+ — у + — у + — у + ...) . 2 6 24 Далее, принимая во внимание начальное условие, ищем решение в виде ряда у(х) = ага+ага +азх + аох +.... 2 3 4 Подставив его в уравнение о уг у =у+а~ в=о Ь( и приравняв коэффипненты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений: аз=о, 2аг=1, Заз-— аг, 4ао=аз+ам ° ° откуда находим 1 аг = —, 2 1 1 аз —— —, ао= —, 6' 6' Следовательно з 1 4 д(х) = — х + — х + — х + ....
> 2 6 6 539. у" = хд' - д'; у(о) = 1, д'(о) = 2. < Как и в предьщчцих задачах, приблшкенное решение у(х) можно бьшо бы получить в виде частичной суммы степенного ряда, находя коэффициенты его из некоторой системы рекуррентньп уравнений. Однако в данном случае мы поступим по-другому. Именно, зная, что искомый степенной ряд является рядом Тейлора, путем последовательного дифференцирования правой исти данного уравнения по х вычисляем нужного порядка производные в точке х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
