Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 52
Текст из файла (страница 52)
М г Построить решения следующих дифференциальных задач: 1О. (у — и)ф-+(и — х)$ =х — у, и =у= -х. 11. (у+2из)Яи 2хгиуи = хо, а= и, у= хо. 12. (х — и) дд~ + (у — и) у~Я вЂ” — 2и, х — у = 2, и + 2х = 1. 13. гй х Д + у и = и, у = х, и = х . Управ»пеняя для самостоятельной работы Построить общие решения следующих уравнений: 1.
У~ +(2е* — У)~„"- — — О. 2. 2изхУ"- — У2гу = О. 3. хУ~Ч+Ура+хУЩ = О. 4. Уд~ +ирй = У~. 5. х иу-+У ид- =а+У. б. Уи~- -хиу- = е . г ди г ди Ви ди о х у ' ' х у Построить решения слелующих задач Коши: 7. ~~- — уф = О, ~(„-~ — — 2х. 8. у у"-+*рой = и, ~(,-~ —— уг. Я. хд-=+ уй — = и — ху, и(,щ = 1+у, Глава 5 Приближенные методы решения дифференциальных уравнений 4 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров (4) !(х; т, = Л(' х! хз " *. и), (5) хг(0) = аг(р), ! = 1, и, (6) (и — параметр) функции Д, а; — непрерывны и имеют непрерывные производные.
Тогда решение (х„хз, ..., т„) имеет непрерывную производную по параметру р и его частные производные дю = а;, ! = 1, и, являются решениями слелуюшей задачи: !(и; ' ду! ду! (7) М . !дх! ' др' а;(О) = а!(и), !' = 1, и. (8) Отметим, что частные пРоизвоДные уРЬ, до вычислвютса пРи х! = хг(1), ! = 1, и, тле хг(1)— фл решение задачи (5), (6). 1.1. Об оценке погрешности приближенного решения. Пусть у = у(Г) — вектор-функция, являюшэяся приближенным решением задачи Коши для системы дифференциальныя уравнений: де Ж вЂ” = Щ х), х!!-е = х(0), (1) где х = (х„хз, ..., т„), у = (у!, гз, ..., )'„). здесь и далее будем считать, что векюр-функция у непрерывна по переменным 1, х и удовлетворяет условию Липшица по переменной т: И,У((, у) — 7(1, х)Ц < КЦу — хИ, К = сопи, (2) где Ц . Ц обозначает какую-либо норму вектора; ИхИ= Е~*.Г' ~(хЦ=Е~х~ (Щ= !=.
! !'=! !К!<а Пуси„далее, приближенное решение у(1) задачи (1) удовлетворяет неравенствам: (! — — Я, у))( < е, Цу(0) — х(0)И < б. (3) Тогда справедлива оценка погрешности: Их(1) — у(С)Ц < бе !'!+ — (е !'! — 1). 1.2. Об отыскании производных от решений по параиегру. Пусть в задаче 241 !8 1. Завиевмасть ршиеиии иг наваль!иск услимай и параметров В частности, если аэ(,и) = р, ас(р) = сопз! прн 2 ,-а й и функции 72, ! = 1, н от р не зависимы, то из (7), (8) следует, что ди! " дс, — ' = 2 т— 'и;, и (0) = О, ! зс й, иь(0) ш 1, д ! !дх! где и; = д-~. . — дх В следуюших задачах (525 — 528) оценить погрешность приближенного решения на укаэанном отрезке (волной отмечено приближенное решение). х 1 1 525.
р'= — —, у(о) =1; р=1- —, 1х~ < —. 4 1+у!' ' 2' 2 и Действуем согласно изложенному в п. 1.1. Правая часть этого уравнения, очевидно, непрерывна по совокупности переменных т, у ((х! < 2, — оо < р < +ос) н имеет непрерывную же 1 по р производную ~у гд д. (! + 2)2 причем Нв~( 2Ь! ! 2М « — !.
ду~ 1+(рР !+~у(2 !+~Ч(2 Следовательно, в качестве постоянной Липшица К можем взять единицу. Далее, по формулам (3), и. 1.1, имеем оценки: ! --- -~=г --— 4 1+р ~ ~2 4 8 — 4'+х ~ 4(8 — 4х+хз)~ !бй<! Ь вЂ” 4х+ ~ б4' 1р(о) — р(о)! = о. Поэтому е = тт, б = О. Таким образом, согласно (4), и. 1.
1, получаем оценку погрешности: 1 ! е2 — 1 (!у(х) — р(х)!! = )р(х) — у(х)( < — (е!*! — 1) « 0,011. М 526. *', = *, — *„*', = сх „х (о) = 1, х (о) = о; х, = 1+ с+ — с, Уз = — с, ~с~ «о 1. 1 2 „1 2 ' 2 ! и пусть ))х(! = )х! ) + (х2!. тогда согласно (3), и.
1.1, имеем (! — — $(С, У)~! = ~ — — ~!(С, х2, У2)~+ ( Л(С! х!! У2)~, где у!(С! х„У2) = У, — хи 22(С! Ун хх) = Сх!. Следовательно, )~ 7(с у)~! = ) 1+ с — (! + с)) + ~с — с (1+ с + — с ) ~ = ($ (с + — с ) ~ < с + !с! — < О 0105; е = О!0105! б = О. дт! дэ! 022 Ю2 — =1, — =-1, — =С, — =О, дх! ' дхг ' дх, ' дхз то постоянная Лнпшица К = 2.
А тогда по формуле (4), п. 1.1, имеем: !!х(с) — У(с)!! < 0,0053(ети — 1) 6 О!0053(еах — 1) < 0,0012. м пвынечавие. Если в совести оиределеииа ив!вой части у(с, х), вылуклой ио переменной х, вышшнаштся !вг: нсраесиспи ~ рук ~ < С', то в качестве востоанной Лилшнив можно вина число ст = иС.
~рй;- Гл. 5. Првблвкеввме методы решеввв дифференциальных уравнений ь 527. ум — хгу = О, у(0) = 1, у'(0) = 0; у = етг, !х! ( 0,5. ьа Переходя от уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка, имеем: Р Р г у=хь у =хм хг=хм хг=!хн ьь хг(0) = 1, хг(0) = 0; Уь — — ее, У~г — — у' = — 1 еи, Щ ( 0,5. Пусть ЦхЦ = )хг / + /хгЦ Тогда согласно (3), п, 1.1, имеем: 1~-;— ! г)У ! У(!ь У)(! !!Уь Л(!ь Х!ь Уг)(+ !!Уг — Жь Х!, Уг)~. Поскольку ! У, = — е ьгь 7г(!ь У„У,) = то из (1) следует, что уг — — !еьг, уг —— еи(! + !) Уг(!хг Уг)=!Уг=!е' ! ) — — у(1, У) = ~ — еи < гиах — еи = ' е и =0,0017., Поэтому е = 0,0017; б= О.
Далее, так как Ь ь 2а(Ь+1)г+1' г2а(Ь+ 1)г+ 1/ь дЛ дУь дЛ г дуг — =О, — =1, — =1, — =О, дхг дхг ' дхг дхг то постоянная Лиишица К = 2 шах(1; !г) = 2 (см. примечание после примера 526). В силу идах оценки (4), п.1.1, и имеющихся значений лля е, б, К справедливо неравенство Цх(!) — У(!)Ц ( ' (е — 1) < 0,009(е — 1) < 0,002. О,ООП Отсюда следует, что тем более )хг — х,! < 0,002.
м 528. у' = 2ху +1, у(0) = 1; у = —, (х( ( —. 1 1 ! — х' 4 ьа Сначала находим числа е, б. По формуле (3), и. 1.1, имеем: г )у' — 2ху — 1~ = (~ —, !у(0) — у(0)~ = О, (! — х)' 9' поэтому е = 9, б = О. ! Предположим, что решение у(х) существует в прямоугольнике Я = ((хь у): )х) ( ль )у — 1! ( «) (у(х) Е Л). Тогда для постоянной Лиишица К имеем оценку !д7! 4 К (шах ~ — ~ = шах!4ху! =— л ~ду~ л 3' Используя полученные оценки, по формуле (4), п.
1.1, получаем (у(х) — у(х)! ( — ~е г — ! / ( — ( е г — 11 = О 034... 12 ~ 7 12 ь, Остается проверить, действительно ли точное решение у(х) содержится в указанном прямоуголь- нике. Поскольку функции 7(х, у) = 2ху + 1 и 7т = 4ху непрерывны в любом прямоугольнике ге, = ((х, у): !х! ~ (а, !у — 1( < Ь), то, согласно теореме сущеспювания, на отрезке )х( < Ь, где Ь = пйп ! аь «Г7, М = шах(2ху + 1), существует единственное решение рассматриваемой щдаль .мь ь.х муььь+ц'+ь ~(... ',).и* ' га(а+1) + ! уравнений $1.
Зависимвсть решеввв от иаиалымпг условий в параметров 243 получаем Ь=~(1+ —, а= =О,ЗОУ..., У=1,012.... 1 з/5 — ! 2а' Следовательно, в 2)г существует единственное решение у(х), где 2(г —— ((х, у): )х! < 0,308, )у — 1~ < 1,617) . Поскольку В < Лг, то оно существует и в 21. М Найти производные по параметру или по начальным условиям от решений след)лощих задач; 529. у' = у+ р(х+ у'), у(0) = 1; найти — < а(г!»=о и Дифференцируя по параметру р тождества у,'(х, )г)»н у(х, (г) + )г ( х + у'(х, )г)), у(о,,и) = 1, имеем о(и г — = и+ х+ у (х, р) + 2)гу(х, р)и, и(0, р) = О, дх 'где и = -"у-'-д-.
Полагая здесь,и = О, получаем задачу для функции уй< = и(х, 0): д(х ) д ди(х, 0) 2 = и(х, О)+ х+ у (х, 0), и(0, 0) = О. Функция х» у(х, 0) является решением задачи: у(х,о)=у(х,о), у(О,О)=1, что непосредственно следует из данной задачи лри р = О. Поскольку у(х, О) = е*, то, решая задачу (1), получаем окончательно и(х, 0)= — < =е — х — 1. а» ду! м а(г „=о 530* у' = у+ у + ху, у(2) = уо,' найти — ! г з ду дуо о-,=о и Пусть У = У(х уо) — решение данной задачи.
Тогда, дифференцируя тождества У*(х, Уо) — = У(х» Уо) + У (х~ Уо)+ ху (х1 Уо)~ У(2, Уо) = Уо по параметру уо, имеем: ди(х, уо) дх = и(х, уо) + 2у(х, уо)и(х, уо) + Зху'(х, уо)и(х, уо), и(2, 0)=1, и(х, уо)= ду(х, уо) дуо П олагая здесь уо — — О, получаем задачу для функции х» дд-< д ди(х, 0) 2 = и(х, 0) + 2У(х, 0)и(х, 0) + Зху (х, 0)и(х, 0), дх и(2, 0) = 1, где у(х, 0) — решение следующей задачи: у',(х,о) =у(х, 0)+у (х, 0)+ху (х, 0), у(2, 0) =О. Очевидно, у(х, 0) гв О, поэтому задача (1) принимает внд: аи(х, О) =и(х, 0), и(2,0)=1. Отсюда находим и(х, 0) = е* ~. Итак, — =и(х,о)=е . ° ау! дуо „о Гл. 5. Прыблвкеивме мхпщм рввеввя двффизевциальвык ураоаевий з 531.
— = х +Сага, х(О) =(+Со;найти — ! ' гй д)з!„= ' ° а Дифференцированием по Сз из данной задачи получаем задачу для функции и(С, Сг) = де(С р) дд (2) откуда 1 — С вЂ” 1п(1 — С) (1 — С)з Таким образом, дх ~ 1 — С вЂ” 1п(1 — С) — = и(С, 0) = д)з о=а П П ~Зг. С '.='У+' ' ( 2у=-у', х(1) = хо,, дх у(1)=у' д о и=2 < Дифференцируя по параметру уа каждое равенство данной задачи, имеем. ди(С, хо, уа) = х(С, ха, уа)е(С, хо, уо)+ и(С, хо уо)у(С хо уо) и(1, хо, уо) = О, де(С, хо, уо) 2 ' ' = -2У(С, хо. Уо)е(С хоо уо) дС е(1~ хо~ уо) = 11 где введены обозначения: дх(С, хо, Уо) дУ(С, хо> Уо) и(С, хо, Уа) = ' ', е(С, х,„у,) = дуо ' ' " дуа Функции х, у являются решениями исходной задачи.
Полагая в ней хо = 3, уа = 2 и интегрируя соответствуюШие уравнения, получаем: х(1,3,2)=С +21', у(1,3,2)= —. С Подставляя в (1) найденные функции, а таске хо = 3, уо — — 2, имеем: ди(132) з зз 2 = (С + 2С 11е(С, 3, 2) + — и(С, 3, 2), и(1, 3, 2) = О, де(С, 3, 2) 2 дС С = — -е(С 3 2) е(1, 3, 2) = 1. (2) ди(С Сз) з з =С(х + Зх Сзи(С, Сз)) +2хи(С, д), и(0, д) = 1.
Положив здесь Сз = О, имеем: ди(С, О) — = Се~(С, 0)+2х(С, 0)и(С, О), и(0, О) = 1, где функция С з- х(С, 0) является решением задачи: дх(С, 0) з гй =х(С,О), х(0,0)=1, получающейся из исходной при Сз = О. Из (2) находим х(С, О) = Т-'-Т. Подставив х(С, 0) в (1), полушем задачу для искомой функции: ди(С, 0) С 2и(С, 0) дС (1 — С)з 1- С 245 $1. Заввсвмость решения от вачальвых условий и параметров Из второго уравнения системы (2) находим: е(1, 3, 2) = —. 1 Подставив е(1, 3, 2) в первое уравнение системы (2), после интегрирования имеем: и(1, 3, 2) = ! 1п! — 2!+ 2! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
