Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 55
Текст из файла (страница 55)
5. прибюожевиме методм решеюи дифференциальных уравнений Следовательно, первое частное решение имеет вид: 1 2 1 3 уэ(х) =!+ — х + — х 2 12 Для получения второго частного решения полагаем найдем 5 + — х +.... 72 ао — — О, аз — — 1. Тогда из этой же системы 1 ! 3 аз=о, Следовательно И вЂ” хо)у +у!п(!+хо — !) = О, или (1 — хо)ух+у!п(1+хо) +у!и (/!в „1-. Подставляя в последнее уравнение разложения \ у(!) = Ь, + Ь,г+ Ьз('+ Ьзг' + 1+ хо „, п(1+ хо)" и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, получаем: ь 2Ьзхо — Ьо!и(! + хо) .= Оз 2Ь2 — 6Ьзхо+ Ьэ !и(1+ хо) — = Оз !+ хо ь, Ьо -12Ьохо + 6Ьз + Ьз 1п(1 + хо)— =О, 1 + хо 2(1 + хо) Пусть Ьо — — 1, Ьэ — — О.
Тогда из полученной системы последовательно найдем 1п(1 + хо) 1 / 1п(1 + хо) 1 хонго, Ьз= — ( — х ~О, 2хо ' ' бхо ( хо !+хо/' 1 (1о(! + хо) 1 1п (1+ хо) 1 Ь4— + х ФО, 12хо 1, 4 хо(! + хо) 2хо 2(! + хо)2) Пусть Ьо — — О, Ьэ — — 1. Тогда из системы (1) получим: !и(! + хо) 1 /!и(1+*о) 1 ь=о, ь= хо за о, Ь4 х ~О. бхо !2хо (, хо 1+ хо/ Заметим, что из выражений для Ьг, ! = 1, 2, 3, 4, предельным переходом хо — +О мохсно получить значения соответствующих аг, 3' = 1, 2, 3, 4, вычисленных в случае хо = О. Таким образом, частные решения при хо > О можно записать тюс (в+ хо) 1п(1+ хо) (х+ хо) /1л(1+ хо) 1 у,(х) =1+ + ~+ хо бхо хо 1+ хо (х+хо) (йз(!+хо) 1 !и (!+хо) 1 + 2 + 2 12хо 1, хо хо(1+ хо) 2хо 2(1+ хо)') (х + хо) !п(1 + хо) (х + хо) /1п(1 + хо) 1 Уз(х) = х + хо + + )+....и хо 12хо '3 хо 1+ хо) 549.
у" — уо+ (х — 2)у'+ У = О. м поскольку ро(х) ы 1 зо О и функции рэ = рэ(х) = -х, рз = рз(х) = х — 2, рэ = рз(х) ы 1 явшются аналитическими при всех х Е (-со, +со), то фундаментальная система состоит из аналитических на всей числовой оси функций. Следовательно, соответствующие им степенные ряды 3 4 уз(х) = х+ — + — + 6 24 Радиус сходимости степенных рядов, представляющих у,(х), у,(х), равен единице. для полугения частных решений, пригодных 3/х Е (-со, !), сделаем замену х = ! — хо (хо > 0).
Тогда данное уравнение примет внд 255 з« схоюпся при всех х. Подставляя в данное уравнение ряд 2' .а„х" и приравнивая коэффициенты «=0 при ха, х, х', ..., получаем: баз — 2а, + аа = О, (и+ 3)(п+ 2)а 43 — (и + 2)а +3 + а„= О, п = 1, 2, .... Пуси ае — — 1, аз — — аз = О. Тогда из последних уравнений найдем: 1 ! 1 аз з а4=0 аЗ«« — аб«« 6' ' 30' 180' Следовательно х х х 3 уз(х) = ! — — — — + — + .... б 30 !80 Пусть ૠ— — а, = О, аз = 1. Тогда из указанных выше уравнений следует, что 1 1 1 а,=-, а«= — —, а,= —, 3' 12' 15' Поэтому второе частное решение имеет вид: хз х« уз(х) =х+ — — — + — + .... 3 12 15 Наконец, если положим ас = а, = О, а, = 1, то пслучнмз 1 ! аЗ Ю а4 з аг— 4 20' Следовательно, 3 .4 3 уз(х) = х + — — — — ....
ь 4 20 у(х)=х ~ а„х. «3Х Подставив ряд в данное уравнение и приравняв коэффициенты при *, х, ..., получим: о а«г(г + 1) = О, а,(г + 1)(г + 2) = О, а„ =— (1) (и+ г)(п+ г+ 1) Ясно, что нетривиальное решение возможно только при условии аа+азз ,-4 О. Пусть ૠ— — 1, аз — — О. 2 Тогда из псрвого уравнения (1) следует, что т(г + 1) = О. Взяв г = О, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 аз —- - —, аз=о, 2 3' ! 1 а4=, аз=о, аз=- —, 2-3 ° 4 5' 6! Следовательно 2,4 уз(х> =1 — — + — — . 3! 5! Далее, положив г = — 1 (аа — — 1, аз — — 0), из ( 1 а2 = — — а3 2' Поэтому второе частное решение имеет вид: а!и х — х из 0; 1) получаем: 1 =О а4«« —, 1 3' х' х 1 созх у,(х) = — ~1 — — + — — ...~ = —, х у О.
х ) 2! 41,~ х В следующих задачах найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) рзшами. 550. ху«+ 2у'+ *у = О. 42 поскольку функция ре — — р«(х) = х имеет в точке х = 0 нуль 1-го порядка, фунюзия рз = р,(х) = 2 нулей не имеет, а функция р, = р,(х) = х имеет в этой точке нуль 1-го порядка, то, согласно п.2.1, сузцествует по крайней мере одно нетривиальное решение данного уравнения в виде суммы обобщенного степенного ряда Гл. 5.
Приблвисевиые методы решении диффереинвальиык уравнений 256 Пусть а, = О, а, = 1, Тогда из второго уравнения (1) следует, что (т + 1)(г+2) = О. Полапш, например, г = -1, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 1 аз=О, аз=- — се=О аз=— 2 3' ' 5!' Таким образом 1 / х х ! з1пх уз(х)= — ~х — — + — — ...1 =, х~О. 3! 5!,1 х Если же положим г = -2, то аналогично будем иметь у4(х)= — х — — + — — ...
= —, х зяб. хт ~, 2! 4! ) Итак, если х Ф О, то два линейно независимых частных решения представятся в виде: япх соя х у!(х) = —, ут(х) = —. м х х Примечание. Можно было бы обойтись рассмотрением случал ео = 1, а| = О. 551. 9хту" — (х' — 2)у = О. а Подставляя в уравнение ряд (1) (2) Таким образом, хт х4 5 6 5 6.!1.12 2 .4 6.7 6 7 !2.13 у!(х) = х! 1 уз(х) = х! 1 Примечаиие. Рассмотрение случал ее = О, а1 = 1 приводит к такому же резулылту. 552. х'уе+ 2ху' — (ха+ 2х+ 2)у = О. М Аналогично предыдущему примеру имеем: (г +г — 2)ае = О, г(г+3)а! 2ае = О ((и+ г)(п т г+ 1) — 2)а„— а„т — 2а„~ = О, и = 2, 3,....
(1) Посколькумы ищем нетривиальные решения, то аз+а, Ф О. Следовательно, определитель первых 2 2 двух однородных уравнений должен быть равен нулю, т.е. (г — 1)г(г + 2)(г + 3) = О. Отсюда находим возможные варианты: г~ = 1, гт = О, гз = — 2, г4 = -3. у(х) = 2 а„х" я=с и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем: а„(9(и+гКп+г — 1)+2) — а„, =О, и = 2, 3, ..., ае(9г' — 9г+ 2) = О, а~(9г + 9г+ 2) = О. Пусть ае — — 1, а~ = О. Тогда из первого уравнения (1) следует, что г, = у, гт = у. Подставив 1 2 в (2) сначала г = у, а затем г = у, для каждого из этих двух случаев найдем: 2 а, = —, аз' =О, аз 5 6' ' 5 6 11 12' 7~ аз ~ 4 6 7 Г2 Гу 257 Пусть г = 1, аа — — 1, тогда из указанных уравнений получаем аз — — 2, а из третьего уравнения (1) 1 последовательно находим 1 1 3 аз=-, аз= —, а4= —, 5' 20' 280 Соответстяенно зтому запишем первое частное решение: хз '4 Зхз у,(х)=х4 — + — + — + — + ....
2 5 20 280 Пусть г = -2, ас = 1, тогда аналогичным образом можем получить 1 2 а, = -1, 1 а,=-!, аз= — аз=О. 2' коэффициенты а4, аз и т. д, находим обычным способом. таким образом, второе частное решение запишется в виде: 1 1 '2 'з 7х4 У2(х) = — — — + — + — + — + — + ..., х 2 8 40 !20 Рассмотрение случаев г = 0 и г = -3 приводит к таким же результатам. Ь 553. у" + у' — ху = о. ~ Подставив ряд 2.' а„хьм в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степе=о нях х, получим: ааг =О, аз(1+г) =О, а„= " 2, и=23," (и + г)2 пуси, г = О, тогда а, = О, а коэффициент ае можем приравзшть единице.
из третьего соотношения последовательно находим: ! 1 4з аз — — О, а4 22 4'з Следовательно, хз .4 х %(*) — ' 22 + 22, 42 + 22, 42, б2 Найти общее решение уравнений: 554. х'у" + ху'+ (! — х)у = О. < Частное решение ищем в виде ряда 2.' а„х"'". Подставив ряд в уравнение, получим таз=4 жлество по х, из которого известным способом находим: ае(г +1)=0, а„=, пЕМ 1+ (и + г)2 Поскольку ае И' 0 (при аа = 0 получается тривиальное решение), то нз первого уравнения следует, что г = х1. Пусть г = 4, аа — — 1, тогда из второго уравнения последовательно получаем: 1 1 1 1+ 24 ' 2 (1+ 24)(1+ 4) ' 12(1+ 24)(1+ 4)(З + 24) ' Поскольку при отыскании а, приходим к неопределенности б, то поступаем следующим образом. 0 Считая, что г ~ -2, из уравнений (1) находим: 2 г +Зг+4 4(г + 2) гз + Зг ' (гз + Зг)(з 2 + 5г + 4) ' (гз + Зг)(г + 5г + 4)(з' + 5) Озсюда, устремив г — -2, получим: 25В Гл.
5. Приближенные менщм решения двКмреипиальиых уравнеивй Таким образом, частные решения имеют внд: х > ! -~ 2в 4(! + 2в)(! + в) 12(1+ 2в)(1+ в)(3+ 2в) ув(х)=х 1+,+,, + +...~, х х' ув(х)=х' 1+ .+, + +... 1 — 2в' 4(1 — 2в)(1 — в) 12(1 — 2в)(1 — в)(3 — 2в) Общее же решение у = Свув(х) + Свув(х) = С,(и 4- ви) Х Сз(и — ви) = аи + Ьи тле а = С, + Св, Ь = в(С, — Сз). Функшвн и, и легко получить из представления у,(х), если воспользоваться йюрмулами Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
