Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 21

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 21 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 212013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

М а) Функция у(х, у) = 2ху+ у' непрерывна в любой части плоскости хОУ, а ее производная В = 2(х 4 у) ограничена в любой конечной части Р этой плоскости. Следовательно, дг У по теореме Пикара через каждую точку (хо, уо) Е Р проходит единственная интегральная кривая уравнения а). б) Функция С (х, У) = 2+ (гу- 2х непрерывна у (х, у) Е Жз, однако ее частная производная ч- = 3(у — 2х) з ограничена только при у и' 2х. Тогда, по теореме Пикара, через каждую точку ОГ 1 Уд (хо, уо) Е Ж, где уо Ф 2хо, проходит единственная интегральная кривая. в) Воспользуемся теоремой п.8.2. Функция Г(х, у, у') = (х — 2)у' — /у+ х удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна при у > 0; 2) частная производная — „-г = х — 2 ~ 0 при х Ф 2; др ду' 3) ЧаСтяая ПрОИЗВОдиая  — — — -ч„-,- ОтраинЧЕНа Прн у > Е > 0; 4) уо « -' 5 Х вЂ” ЕдИНСтВЕННЫй Ог" 1 2су х — 7 действительный корень уравнения х.(х, у, у') = О.

Следовательно, через кюкдую точку (хо, уо) плоскости хОУ, где хо ~ 22 .55( (уо > о > О, проходит единственная интегральная кривая уравнения в). г) ясно, по при у и' ~т + Бог, й Е Е, правая часть уравнения непрерывна и имеет ограниченную частную производную по у. Следовательно, по теореме Пикара, через кажлзчо точку плоскости хОУ, эа исключением прямых у = от+ух, проходит единственная интегральная кривая рассматриваемого уравнения. И $8. Суп!еетповввие и сдиихшевиасеь ршиешш 91 Пввиечевве.

Если функпня т в задаче Коши имеет в прямоугольнике и ограниченную частную производную ч»е, то она автоматически удовлепюрвет условию Лившица. дг 204. При каких неотрицательных а нарушается единственность решений уравнения у' = (у)" и в каких точках? м При неотрицательных а функция у(х, у) = !у~' непрерывна, поэтому уравнение имеет решения. Если у ~ О, то частная производная н- = а1У~' збпу существует и ограничена в у каждой конечной части плоскости хОУ. Следовательно, по теореме Пикара, если у ~ О, то при любом а существует единственная интегральная кривая, проходяшдя через заданную точку. Если у = О, но а > 1, то функция у удовлетворяет условию Липшица: !У»(' = !у,!' ')У,) < Ь|у,~ (здесь у! — — 0). Поэтому, согласно теореме Пикара, единственносп решения и в этом случае гарантирована. Остается проверить случай, когда 0 < а < 1 н у = О.

Возьмем произвольную точку !!у(хе, 0) на оси Ох. Очевидно, что через эту точку прохолит 1 — » интегральная кривая у = О. Однако через эту точку проходит также кривая ?' — »бп у = * — хе, являющаяся решением рассматриваемого уравнения. Таким образом, при 0 < а < ! в точках (х, 0) б Е' наруцшется единственность решений данного уравнения.

в 205. С помощью необходимого и достаточного условия единстиенности для уравнений вида у' = у(у) исследовать дифференциальные уравнения: а) у =(у — 1)(г!у'; б) у =агссозу; (О, д=О м Согласно указанному критерию, если непрерывная функция у ~ О, то решение уравнения существует и единственно. Если же у(у) = 0 при у = С = сопл!, то вопрос о единственности с ! ле решается с помощью исследования на сходимость несобственного интеграла з! -у(-) . Если этот »» ннтв»рал расходится, то у = С вЂ” частное решение, в противном случае через кажлую точку прямой у = С проходят другие инте»ральные кривые. В случае а) имеем С = 1 и С = О.

Функция г'(у) = (у — 1)тгу' непрерывна прн у > О. Поскольку несобственные интегралы ! о йд »(у (У» > 0; у» х !) и / (О < уо < 1) (У-1) гу ~» (д- !)ьгд' расходятся, то через каждую точку полуплоскости д > 0 проходит единственная интегральная кривая даннопз дифференциального уравнения. 1 В слУчае б) С = 1 и несобственный интегРал з! — „их»до»у (-1 < У, < 1) сходитса„так как л „= О ~~ — ) при у -» 1 — О. Поэтому через каждую точку (х, у), где -! < у < 1, ~»Г1-у проходит единственная интегральная кривая, а через каждую точку прямой у = 1 — любое число имгегралънъ»х кривых. В случае в) С = 0 и С = 1.

Так как несобственный интеграл е »» / » = / — (0<у»<1) сходится, а несобственный интеграл = / —, (у.>О, У,~П »» и»» Гл. 1. Дифференциальные ууавнеивв верного порядка 92 расходится, то через кюкпую точку верхней полуплоскоспг, за исключением прямой у = О, проходит единственная интегральная кривая. Предлагаем читателю выполнить геометрическую иллюстрацию рассмотренных случаев. С» 206. При каких начачьных условиях существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) у" = !уу+ то/хх; в) у — уу' = тз/уу' — х; б) (х+ 1)у = у -Ь т/у; ох з г) — =у +!п(С+ !), гй о(у о х — = чгу — С.

дС ум = - (уо - о уу' - *). у г) Так как функции С!(С, х, у) = у~-Ь(п(С+!), Ст(С, х, у) = — (гу — С и их частные производные Ь 'г б Си = О, -д — ' —— Зу, д-'- = — — 'С вЂ”, д — =, — непрерывны при х ~ О, С > — 1, у Ф С, то через каждую точку (Са, хо, уо), где Со > -1, уо ~ Со, хо ~ О, проходит единственное решение (х(С), у(С)). Заметим, что в случае системы уравнений -~С- — — 2, ВТ = С, и т.д., ее решение лх да является вектор-функцией с координатами х(С), у(С) и т. д.

С» 207. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости хОУ пересекаться в некоторой ~очке (х,, уа) а) для уравнения у' = х + у'? б) для уравненил у" = х + у'? < а) Так как функция ~(х, у) = х + у непрерывна вместе со своей частной произволной 2 Х = 2У в любой конечной части паоскости хОУ, то, согласно теореме Пикара, через каждую д у точку (хо, уо) проходит единственная интегральная кривая уравнения у' = х+у', т. е, пересечение графиков двух его решений в этой точке невозможно. б) В силу непрерывности функции 1(х, у) = х + у и ее частных производных ча-.

= 2у, 2 дг дг г — т = О, через каждую точку (хо, уа, уо) проходит единственная интегральная кривая. Последнее, ду однако, не исключает того, что через точку (хо, уо) проходят две различные интегральные кривые с различными угловыми коэффициентами касательных к ним, т.е. пересечение графиков двух решений в некоторой точке (хо, у,) возможно. Этот факт можно установить и непосредственно, дважды проинтегрировав данное уравнение и приняв во внимание, что у(хо) = уо. Тогда получим 3 2 з хох хо l 2 У(х) + уах -Ь Уо Уоха + + (х С)у (С) дС.

б 2 3 оо Очевидно, что любая кривая у(х) проходит через точку (ха, уа), однако кажлая из них имеет в этой точке "свою" кнсательную с угловым коэффициентом уа. М М Воспользуемся утверждениями п.8.4. В случае а) имеем ?(х, у, у') = гйу+ Кх. Функция Г' и ее частные производные -д- — — — т —, —, —— О непрерывны при у и' Т + йя, й Е К, ! дг я У сао у' ду полому в достаточно малой окрестности каждой точки (хо, уо, уо), где уа ~ Т + ля, существует х единственная интегрыьная кривая, проходящая через эту точку. б) Функция С (х, у, у') = — -Д- и ее частные производные уа- = - — -1-+ 2 — ~; — ~, —,.

— — О дг ?~уй+П д,. непрерывны при х Ф -1 и у > О. Следовательно, через каждую точку (ха, уо, уао), где хо ф ! и уа > О, проходит елинстаенная интегральная кривы. в) Поскольку функция С(х, у, у', у') = — ! у" — тУУ вЂ” х) вместе с частными производными у~ = --т(у — ьГУ' — х), ~ = — - о, — ~ = — непдепывна цпи У» О и У ~ х, то через каждую точку (хо уо, уо, уа'), где уа Ф О и уаг Ф хо, прохолит единственная интегральная кривая уравнения я 8. Сущеепюввяие и едяиствеииееп, решения 93 208. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости лОу касаться друг друга в некоторой точке (яо, уо) а) для уравнения у' = я+ уз? 6) для уравнения у ' = я + уз? в) для уравнения уо' = х+ ут? м а) касание двух различных интегральных кривь1х в точке (ло, уо) невозможно в силу теоремы существования н единственности (см.

пример 207, а)). 6) Касание двух различных интегральных кривых означает, что через точку (ао, уо, у„') проходят две интегральные кривые уравнения уо = я+у~. Последнее же невозможно в силу теоремы сущеспювания и единственности решения. (см. пример 207, 6)). в) Теорема единственности решения гарантирует существование в окрестности каждой точки (ео, уо, уо, у~~) единственной интегральной кривой уравнения ум = а+ у . Она гарантирует также существование единственного решения и в окрестности точки (ао, уо, уо, уо',). Следовательно, графики двух решений, проходящих через указанные точки, имеют общую касательную. м 209.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее