Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 19

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 19 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 192013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

(1) Проднфференцируем обе части в (1). Тогда, принимая во внимание равенство г(у = р ох, получим дифференциальное уравнение й 7. Уравнеиня, ие разрешенные относительно производной Последнее уравнение линейное относительно х и его общее решение имеет вид х= Ср р з/Р +1 (рт+ 1)т Параметрические уравнения общего решения исходного уравнения определяются равенствами (1) и (2). Положив в (1) х = у = О, получаем р = сю.

А тогда из (2) следует, по С = О. Таким образом, кривая, параметрические уравнения которой имеют вид з У= з (Р>0) р 2р+1 (3) (уз+1)1 Озз 4-1)' удовлетворяет поставленной задаче. Очевидно, что если в (3) поменять местами х и у, то получим другую кривую з У= з (Р>0)~ 2р+1 р (4) (рз + ц у (),г + 1) з которая также является решением поставленной задачи, поскольку с геометрической точки зрения переменные х и д равноправные. Ясно, что если в (4) параметр р заменим на — (р > 0), то 1 Р получим ту же кривую, однако с другим параметрическим представлением у= з (р>О).1 ,(2+,з (рт+ 1) (уз+ 1)' 198.

Найти кривые, у которых произведение расстояний от каждой касательной до двух данных точек является величиной постоянной. м Согласно условию, (ХА) (АВ) = а' (а = сопя!) (см, рнс.24). Пусть ~АО~ = )ОВ~ = Ь. Тогда, подставив в нормальное уравнение касательной Т вЂ” у'Х вЂ” у+ ху' =0 ~/) + у" вместо координат Х и 1' координаты точки А(-6, 0)., получим 1КА! !Ьд У+ад! )(1-6 Ул Аналогично получаем Таким образом, имеем |ЬУ вЂ” у+ху ! ! — Ьу — у+ау ! = а (1+у ), откуда (ху — у) — Ьу = ха (1+ у ). Обозна зив 6~ха = пз, ха = и н разрешив последнее уравнение относительно у, можем записать з з у= ху х )/гшу' + и.

(1) Полагая в (1) у' = р и продифференцировав, получим хх Ар=о, откуда р = С и х = ~ — т — с —— . Таким образом, отбросив тривиааьный случай р = С, имеем ~изр~+ в параметрические уравнения искомого решения гпр и ху у у=+ згггпрт + гг тггтрт + и Исключив параметр р, получим пх +пзу = гпп. Очевидно, что в зависимости от знаков пз и и, зто могут быль как эллином, так и гиперболы. ~ Гл. 1. Диффереицввльиые уравнения первого порядка 5 8. Существование и единственность решения 8.1. Теоремьг Панара, Пеаво и Оегуда. Теорема (Пикара). Если в задаче Коши ду ,1 = г(х~ У)1 У(хь) = Уь (1) функции у непрерывное прямоугольнике Я = ((х, у) б мз: [х-хь! ( а, !у-уь! ( Ь) и удовлетворяет в ием уошвню Лившица ло переменной у, т.е. 3Е > 0: )г(уп уг Е [ — Ь+ уь, Ь + уь!) У(х Е [-а + хь, а + хь!) (2) ! у(х, у~) — у(х, уг)! ( (Е[«1 — уз! (Е = сопз!), то на сегменте хь — д < х ( хо+ И, где д = пап(о, ь [, М = шах [у(х, у)[, существует (ьнеп единственное решение задачи (1), к которому равномерно сходятсе лри и -«сс приблихсения у„, определяемые формулами у(хь) = уь, у«м(х) = ус+/ Щ у Я) дг, и б Еь *а (3) Теорема (Пеано).

Если функция Т непрерывна в Я, то хотя бы одно решение у = (с(х) задачи (1) существует на указанном сегменте. Теорема (Осгуда). Если; 1) функция ю = ы(1) непрерывна при( > О, ы(0) = 0 и ы(1) > О ири 1 > 0; 2« 2) интеграл [ -[([ — — +со; Г дг ь 3) [Т(х, у~) — Т(х„уз)! ( ы([у~ — уз!) в Я, то е Я мохсет существовать ие более одного решения задачи (1). 8.2. Существование в едивствеивость решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно вроязведной. Теорема. Если в замкнутой окрестности точки (ха, уь~ уь) функция Р = Р(х~ У1 У ) удогле творлет условиям: 1) Р непрерывно по совокуттсти аргументов х, у, у; 2) существует чостнан производная дт ~ 0; дР д« 3) существует частная проимодиал д —, причем ! у — ! < Ф (2«' = сопзгд др ~ др1 ! «! то на сегменте [хь — е, хо + г[, где г > 0 — достаточно малое число, существует единственное решение у = у(х) уравнения Р(х, у, у~) = 0 с начальным условием у(хь) = уь, для которого у (хь) = = уь и уь — действительный корень уравнения Р(хь, уь, уь) = О.

8.3. Продолжение решении задача Хоан. Часто решение задачи Коши существует не только на сегменте, указанном а теоремах Пикара и Пеано, но и на большем сегменте. Если условия теоремы Пикара выполненм в замкнутой области, то решение задачи (1) можно продолжить вплоть ло границы этой области. . если функция у репрсрывна в полосе и = [(х, у) б ж: о < х < 1), -со < у < +оо~ и удовлепюряьт неравенству [у(х, у)! < 1«(х)[«[+ ф(х), (4) где (ь и ф — непРеРывные функции, то всякое Решение задачи (1) можно продолжит на интервал (о, Д).

Информация о величине интерваяа существования решения задачи Коши содержатся в слелующем угвсржаенин. 83 Лемма (Бихари). Если справедливо неравенство у(х) ( С+~о(1)д(у(1)))й, хо ( х ( а, (5) «» где С = сопз1 > О, функции у = у(х), о = о(х) неотрицательные и непрерывные, а функция д = д(у) непрерывная, неотрицательная и неубывающая, причем д(у) > 0 при у > О, то )1*)»а'[»)о 1'»)«)), *» (б) г д( С(и)=21' —, и,>О, 2 д(1)' дю) всех тех х б [хе, а), для которых функция С(С) + [ о(1) М принадлезкит области определения *« функции С '.

(8) У» 2 (х У)) У2 . )У»)) У!(хо) = Ую) ю(хо) = Узо) . )У»(хо) = У»о. При условиях, аналогичных изложенным в п,8.1, существует единственное решение задачи (8). При этом под непрерывностью вектор-Функции у понимается непрерывность ее координат у„уз, ..., у„, а условие Лнпшица (2) распространяется на каждую функцию у) по кахщой переменной у„. Абсолютная величина [у[, [у[ заменяется длиной соответствующего вектора. К задаче (8) сводится следующая. Найти такую функцию у = у(х) вместе с окрестностью точки хе, которая удовлетворяет уравнению (9) н начальным условиям У(хо) = Уо) У (хо) = Уо) " ) У (ха) = Уо (10) Если в некоторой области Р, солержащей точку (хо, уо, уо,, „,уе! 1), функция у и ее частные производные перного порядка Fо у, у', ..., у!" '! непрерывны, то задача (9), (10) имеет единственное решение в достаточно малой окрестности указанной точки, целиком лежащей в Р.

Положив у = у), у' = уз,...,у!" '! = у, вместо (9), (10) получим систему ) ) ) У) У2) Уз УЗ) ' ' ) У вЂ” 1 У») У» 2 (х) У1) У2) ' ' )У») (11) с начальными условияыи у)(хо) = уо уг(хо) =, Ы " у»(хо) = уо !»-о 199. ПостРоить послеДовательные пРиближениЯ Уо, У), Уз к Решению данного УРавнениЯ с данными начальными условиями: а) у' = х — уз, у(0) = 0; б) у' = у+ е" ', у(0) = 1. т Воспользуемся формулами (3), п.8.1 а) В рассматриваемом случае хо — — О, уо — — О, уо(1) = уо — — О, у»+1(х) = ~(й — у„(1))дт) и б юо о 8.4. Существование н единственность решения векторной задачи Коши. Если в зыщче (1) у и у векторы, т.е. у = (у), уз, -,у») у = (у)) уз)" )у») то вместо задачи (1) будем иметь задачу: У! 21(Х) У!) У2) .

У»)) У2 22(х) У1) У2) )У»)) Гл. 1. Дифферевцивльиые уравнения первого порядка 84 Полагая здесь и = О, получаем первое приближение г 2 Полагая в (1) и = 1, находим х' х' 2 20 б) Поскольку у(0) = 1, то де(С) = 1, хе — — 0 и д.нг(х) = 1+ / (д„(С)+ е""П' ') ОС. о Отсюда при и = 0 получаем д (х) = 1+ /((+ е'-') ОС = 1+ 2х, о а при и =- 1 находим я дг(х) = 1+ / (1+ 21+ ег!)гй = — + х ф хг+ — ег . М 2 2 а У' = 2х+ х! г' = У; д(1) = 1, х(1) = О; г(У г, — =д, — =х; х(0)=1, у(0)=2; гй гй а) б) д" + У' — 2д = О, У(О) =1, д'(о) = о. в) ° В а) Система интегральных уравнений, эквивалентная данной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями, имеет вна: я г д( ) = 1+ / (2С + л(С)) г(С, х(х) = 1 У(С) г(С.

! ! Последовательные приближения находим по рекуррентным формулам Д д„(х) = 1+/(2С+ „(С))гй, „,(х) = / У„(С)г(С, (1) ! ! где хе(С) = О, уе(С) = 1, г! Е Ес, вытекаюшим из формулы (3), п. 8.1, если под д и у понимать векторы с координатами (д, л) и (21+ х(С), у(С)) соответственно. Полагая в (1) и = 0 и и = 1, получаем д,(х) = 1+ 2С+ (С)) й = х, ! д,(х) = 1+ / (21+ хг(С)) г(С = — — х+ — х, г 1 З 2 2 г(х) = / Уе(С) г(С = х — 1; ! я г (х) = / У !(С) г(С = / Сг гСС = ц (хг — 1) ! ! 200. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям следуюпгих уравнений и систем: 85 $8. Существование н единственность решеши б) По аналогии с проделанным вьппе, имеем х„з!(1) = 1+ / у„(т)г(т, ухы(1) = 2+ / х„(т) г(т. а о Полагая здесь и = 0 и и = 1, последовательно находим: х~(!) = 1+ /Ус(т)от = 1+ /2вт = 1+21, У~(1) = 2+ / хс(т)от = 2+/ от = 2+1, а с о о ! 2 хг(1) = 1+ ~ УДт) г(т = 1+ /(2+ т) от = 1+ 21+ —, 2' о с У,Я = 2+ / х~(т)дт = 2+ /(1+ 2т) от =.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее