Главная » Просмотр файлов » Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s)

Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 20

Файл №940505 Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович) 20 страницаAnti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505) страница 202013-09-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

2+!+ 21 + — 1 . 3 о о в) Как и в и. 8.4, данное уравнение второго порядка сведем к системе двух уравнений первого порядка, полагая у = у, у' = з. Тогда получим з'= 2У вЂ” з', у'=з; у(0) = 1, т(0) =О. Из рекурренгныз формул з ы(х) = /12у (!) — з Я)~гд, У ы(х) =- 1+ / зн(!)01, н Е тм а о где зз(1) г— я О, ус(1) = — 1, находим з~(х) = / (2Уо(1) — ззЯ)г(! = 2т, У(х) =! + / зс(М) г(1 = 1, зг(х) = / (2уь Я вЂ” з ~~Я) гй = / (2 — 4(з) <й = 2х — — х', 3 о а уг(х) = 1 + /г, Я 01 = 1+ / 21 ц( = ! + х .

и 201. Указать какой-нибудь сегмент, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) У' = * + У', У(О) = О; цх в) — = 1+ е*, х(1) = 0; ц( У(О) = 2. и а) Воспользуемся сначала теоремой существования, изложенной в п.8.1. В данном случае хо = уо = О, У(х, у) = х+ у'. Функция 1 непрерывна в любом прямоугольнике 22 = = )(х, у) Е Ьс: ф ч а, 1у~ < Ь~ и удовлетворяет в нем условию Липшица, поскольку производная 0 — — Зуз ограничена числом ЗЬ .

Следовательно, на сегменте г-ц, г(), где !( = ппп (а,;(у !, дг з ь т УУ— М = !пах !2(х, У)! = а + Ь существует единственное решение данной задачи. Найдем число мм>аа о' = пцп ~а, — т) . Ясно, что если на каком-то сегменте з существует единственное решение, Ь ~ 'а+Ь то оно супгествует и на кзждом меньшем сегменте, вложенном в 2. Отсюда следует, что желательно найти как можно больший отРезок 2, т.е. пшл пйп а, — т) .

Так как ФУнкцил (Ыа) = а Ь а+Ь 86 Гл. 1, Диффереиинальиме уравнения первого порядка возрастает прн а > О, а функция у(а) = — г убынает, то шах ппп ( а, — т) достигается при Ь Ь а+Ь 'а+Ь условии, что р(а) = у(а), т. е. Ь а= (1) а+ Ьз' Взяв производную по Ь от правой части (!), найдем, что при Ьз = '-, достигается максимум а, который легко вычислить, подставив значение а = 2Ьз в (1). Тогда получим 1 2 ! з Ь= з, а= з — — — з/36 066. т/6 ' з/216 3 Таким образом, можно гарантировать существование и единственность решения данной задачи на сегменте -О,бб ( х ( 0,66. Если носпользоваться леммой Бихари (см. п. 8,3), то можно указать значительно больший сегмент существования решения.

Действительно, в данном случае у(х) =) (!+у'(1))41= — +) уз(1)41 аг г !у(х)! (~ — +) ~у(1)!'г(1, 0~ (х ~( а, 2 о т.е. С = Р2-, е(х) = 1, д(у) = уз, Поэтому /41 ! /1 ге()=/ — =-~ — — — ~ и>и >О / 13 21 2 из)~ ф:-2и.г 2 1 иза Сз/ Следовательно, С С(С)+) е(1)41 =, !у(х)! ( для х б [О, т). ) 1/1 — 2Сзх А — 2Сзх ~ ' 2С / з Из уравнения а = — т находим шаха = т/2 ге 1 15 1 2С Заменив в исходном уравнении х на — х (х > 0) и проделав такие же выкладки, получим неравенство (у(х)! ( (х ~ (0), С з/! + 2Стх которое показывает, что решение задачи а) существует и при -т/2 ( х ( О. Таким образом, существование единственного решения задачи а) можно гарантировать на сегменте — 1,15 ( х ~( ~( 1,15. б) Применим теорему Пикара существования и единственности решения.

Здесь хе = уе — — 1, у(х, у) = 2у' — х. Функ~я / непрерывна в любом прямоугольнике )2= ((х, у) Е)(з: !х — Ц ~ (а, )у — Ц(61~ и имеет ограниченную проижюдную по у н Н: — =4у, ) — ~ = )4у! (4(Ь+ Ц. О/ 1О/ ау ' !Ву $8. Сущестаеание и едивстаевиасгь решеявя 87 ПозтомУ на сегменте (х — Ц < а' = ш!п(а, Ху), где М = агах !2Р' — х( < 2(1 + Ь) + 1+ а, м,т)ел существует единственное решение. Как и в случае а), параметры а и Ь находим из условий: Ь О~ Ь а= и = О. (2) 2(! + Ь)з + а + 1 ОЬ ~ г(! + Ь)' + + й Следовательно, а = 8(Т+Ьу, 2Ь вЂ” 3 = 8() — -Ы. Из последнего равенсша следует, по Ь > )7 2 > 1 2 ! ГЗ > 1,2.

А тогда а < 4(Т+ гг) = 0,11. Однако оценку для 4 можно улучшить, считая, по а < 1. Тогда М = 2(1+ Ц' — 1+ а и из равенств, аналогичных (2), находим 1 Г5 а = 2Ь вЂ” 1= < — или Ь < г(-. 4(1+Ь)' 4(1+Ы 4 1' 8 Следовательно, а = 4П+Ь) > ге 0,13. Итак, по меньшей мере, на сегменте 0,87 (~ 1 1 4 1+ уь в < х < 1,13 решение задачи существует и единственное. Пользуясь леммой Бихари, можно указать еще больший сегмент сущеспювания и единственности решения.

Действительно, представляя данную задачу в виде у(а) = — (3 — х ) + 2 ~ у (1) г)1 (а > 1), 2 ! получаем оценку ее решения: (у(х)! <С+2/1р(1)!'а(, С= — юах )3 — х ), ! из которой, согласно лемме, следует неравенство )у(я)( ч б (б(С) + 2(а — 1)), (3) где Ггй 1 1 а(н)=/ —,= — -- (в>в,>О), П ио в Таким образом, нз (3) получаем оценку С '(!) = 1 — не( С 1 — 2С(я — 1) ' С (з !Р(1)(~<, где С= шах 11+1 —— 1 — 2С( ' о<щт1 2 Получаем уравнение т шах (2+ г( — 1'~, нз котоРого слелует, что 0,33 < 2' < 0,4!.

Йтяк, можно гарантировать сущеспювание и единственность Решения запвчи б) на сегменте О,б7 (~ х <~ 1,5. из которой следует, что решение задачи б) существует на сегменте 1 < я < гС + 1. Величину Х ! находим из уравнения 2С + 1 = Х, или ! 1 шах !3 — х ). 2 (4) Х вЂ” 1 !<*<х Из (4) получаем Х = 1,5, т. е. существование единственного решения гарантируется на сегменте 1 < а < 1,5.

Для выяснения вопроса о продолжнмости решения левее точки х = 1 в задаче б) произведем замену х = 1 — 1 (1 > 0) и снова воспользуемся леммой Бихари. После аналогичных выкладок приходим к оценке Гл. 1. Дифференциальные уравиеива первого порядка 88 в) Применим сначала теорему Пикара, все условия котоРой выполнены в прямоугольнике 22, а затем найдем а' = пйп (а,,) . Из уравнений а= 1=0 а+!+ео ОЬ (а+1+ео/ получаем а = е ', а = е '+'+". Отсюда находим, что а > 0,2.

Таким образом, на сегменте 0,8 < ! < 1,2 решение существует и единственно. Воспользуемся теперь леммой Бихари. Из интегрального уравнения данной задачи х(1) = — (1 — 1)+ /е о'аз, 1> 1, 2 1 следует опенка !х(1)~ ~( С+ / е!Ио!йо, С = — шах /1' — 1! = — (Т' — 1). 2 ~<о<их 2 ! Поскольку г г(з гт(и)= — =е "' — е ", и>ио>0, е' "о то )п (е- о у) С(С) = е "' — е (С > ио). Согласно лемме, имеем оценку (х(1)! < — 1и (е "' — е и + е с — 1+ 1) = — 1и (е с — 1+ 1), откуда 1 < 1 ( е + 1. Следовательно, максимально возможный сегмент существования решения -с справа от точки ! = 1 найдем, решив уравнение Т вЂ” 1 = -21п(Т вЂ” 1) (1 < Т < 2).

Из него следует, что Т > 1,5. Для выяснения вопроса о продолжимости решения левее точки 1 = 1 произведем замену 1 = 1 — т (О .- т ( то) и проделаем все выкладки согласно лемме Бихари. Тогда получим гз !х(т)! ( — )п(е с — т), где С = шах г2- — т о<о<,1 Максимально возможное значение то находим из уравнения то — — е с нли С = — 1пто (О < то <!). гз го Так как С = т, — Т, то 2- — то — — !ото. Отсюда получаем то > 0,6. В результате делаем вывод о существовании и единственности решения на сегменте 0,4 < ~ (х ( 1,5. г) Применяем теорему Пикара для системы дифференциальных уравнений.

Здесь 1о = О, хо = 1, уо = 2. Функции У,(1, х, у) = у', Уг(1, х, у) = х' непрерывны в области ог(о,*,д) о':яо,,хф -зр+ср::Роь) и имеют в ней ограниченные частные производные .ь"г = О, -р г = 2у, ф- = 2х, ф = О. Следовательно, на сегменте — Ь (1 ( Ь, где Ь = пйп (а, ф), Ьз = шах 1/Я+ зоо, сУществует ю,ивова * единственное решение рассматриваемой задачи. $8. Существование и едвистаеииосп решения 89 откуда 1 '(1)! + Ы()! < 3+ / (!х(о)!'+ Ь(о)! )о(о < 3+ / (1х(ой+ Ъ(о)!) до, о а нлн и < 3+ / из(о)до, где и = !х(+ !у~. о Согласно лемме Бихари имеем Рдо 1 1, ео б=з( —,= — — —, 6 (1)= еа 1 — ео( о и (~ 6 (0(3) + 1) = 1 — 31' откуда 0 < 1 < 3. Аналогично получаем левый от точки ! = 0 интервал продолжимости — 3 < ! ! <1<0, и 202.

Для уравнения у' = х — у' с начальным условием д(0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его погрешность при 0 < х < 0,5. м Согласно формуле (3), п. 8.1, имеем ( 14 з 2 уа — — 0; уо(х) = ~(1 — у )дг= —; у,(х) = / (( — — ~ о(!=в а а У(2 15 'ьа ха ха хо хп у~ Г 11 х х х х ~, 2 20) ) 2 20 160 4400 о Оценим погрешность полученного приближения. Легко установить, что решение данной задачи существует и единственно на сегменте — -т- (~ 1 о'4 < х < -,—, так что последовательные приближения 1 т'4 у м(х) = уо+~1(1, у (1))Ж оо равномерно сходятся на этом сегменте к решению интегрального уравнения р(, ) = до + / У(1, р(1)) й. (2) ум 'я оо втт) ~(2+о) о 2(2 ы, ю Шо,оаоя М зГ2(2+Ь)з' дЬ (,(2+Ь)з) находим, что Ь = 2 и а ) Ьу(2) = ~г — — > 0,1. Следовательно, на сепченте -О,! < 1 < 0„1 2 2 - 'ЬУ(2) — —,~З4 —,44 существует единственное решение.

Если применим лемму Бихари, то сможем указать сегмент существования и единственности ! 1 — 3 <1< 3. Действишльно, из интегральных уравнений рассматриваемой задачи следует, по (х(1)! < 1+ / (у(о)!'до, (у(1)! < 2+ /)х(о)! Ио, а о Гл. 1. 2(иФфереиннальиые уравиещщ первого порядка Вычитал почленно из (1) равенство (2) при х > хо и оценивая соответствующие разности лля и Е Ео, получим « « !У(х)-уо! ( /И(С, у(С))!а =/!р(С))41, Р(С) =И(С, у(С))!, «о «0 « ««з « !У(х) — уз(х)! ~( э/(1С(С, у(С)) — С (С, уо)1!йС (~ Ь / с(х! / ЧЗ(С) 5(С = Ъ /(х — и)уо(и) 5(в, (3) «О «0 Ь« !У(х) — у«(х)! ~ (/ )~(С, у(С)) — у(15 у„з(С))(о(С (~ — /(х — и)"Уз(п)5(п, «0 «0 где Ь вЂ” постоянная Липпзица Функции у по переменной у в прямоугольнике СС = ((х, у) Е Ж~: !х — хо! < о, !у — уо! ( Сзо) В рассматриваемом случае Ь ~ (шах !2У(х)! = 2ЦуЦ !С(в) = !и — у (и)! < !п!+ ЦУЦ, и = 3 !«,гзоя хо — — О, поэтому из (3) получаем оценку 0,5 ЦУ вЂ” УзЦ ( — ЦУЦ' /(х — п) (и+ЦУЦ )5(и < — ЦУЦ /(0,5 — и) (и+ЦУЦ~)5(и = (О,1+ЦУЦ ).

(4) Остается оценить ЦУЦ на сегменте 0 < х < 0,5, который содержится в сегменте (--г —, -5 — ~. 1 1 С Из леммы Бихари следует, что !д! < Т5 ~х (см. пример 201), где С = шах $- = 0,125. ОД«<0,5 Поэтому ЦУЦ ( -1 — -ф20-05 < 0„134. Принимая во внимание оценку (4), окончательно имеем 0 125 Цд — узЦ < О,б. ГО '. М 203. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости хОУ, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения: а) у' = 2ху+ у; б) у = 2+ ~/«у — 2х; в) (х — 2)у = згу — х; г) у' = 1+ !Лу.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,52 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее