Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Двфференцвальиме уравпевия первого порядка 9.2. Огибающая как особое решение. Семейство интегральных кривых Ф(х, у, С) = 0 уравнения Р(х, у, у') = 0 может иметь огибающую у = (г(х). В таком случае кривы у = )з(х) является особым решением указанного уравнения. Если функция Ф = Ф(х, у, С) непрерывно дифференцируема, то огибающая удовлетворяет системе уравнений Ф(х у С)=0, ' ' =О. дФ(х, у, С) дС (2) Вообще говоря, системе (2) удовлетворяет дискриминантная кривая семейства Ф(х, у, С) = О.
Для отделения от дискримннантной кривой некоторой ее части, состоящей из особых точек, мо:кно пользоваться условием: (3) на кривой, не состоящей нз особых точек. Оставшаяся часть днскримннантной кривой мохсет оказаться огибающей. Если, в частности, эта часть не принадлежит рассматриваемому семейству, то она заведомо будет огибающей. В следующих задачах найти все решения данных уравнений и вьшелнть особые решения, если они есть.
218. у' — у' = о. р 2 м Функция Р(х, у, у') = у — у' непрерывно днфференцируема, поэтому если данное урав- нение имеет особое решение, то оно удовлетворяет системе (1), п.9.1: у' — уз = О, 2у' = О, из которой путем исключения у' получаем у = О. Кривая у = 0 является решением рассматривае- мого уравнения, однако утвер;кдать, что оно особое, мы пока что не можем. Найдем остальные решения этого уравнения. Имеем у' = ху, откуда интегрированием на- ходим у = С~е*, а также у = Сзе *.
Теперь видим, что ни одна интегральная кривая из двух полученных семейств не касается кривой у = 0 (эа исключением, естественно, ее самой). Следо- вательно, решение у = 0 не является особым. Ь 219. (у' Е 1)з = гу(х+ у)'. м Полагая х + у = и(х) и разрешая уравнение относительно производной, получаем 1 в =Зиз, откуда и = (х + С), нли у = (х + С) — х. Из системы уравнений Ф(х, у, С) гах+у — (х+С)' = О, -З(х+С)' =0 слелует, что кривая у = -х является дискримннантной кривой семейства интегральных кривых.
Так как на дискриминантной кривой ( — ) +Я =ггеО и эта кривая семейству не принадлежит, то решение у = -х является особым. Ь 220. у' = 4у'(1 — у). М Разрешаем уравнение относительно производной у' = +2)(И~%1 — у) и интегрируем полученные уравнения: =а+с, ~~ —,=а+с, / гт(уз(1 — у) ' ./ мпзг где положено у = нп'1 (О < 1 < ~т).
Принимая во внимание и очевидное решение у = 1, окончательно имеем 1 1+(я+ С) ' (1) !01 Ф 9. Особые реямввя Из уравнений Ф =— У(1 + (а+ С) ) — 1 = О, — (у(1 + (х + С) ) — 1) = О д ОС находим днскриминантную кривую у = 1. Поскольку на дискриминантной кривой ( — ) Ф( — ) =1~0 и у = 1 семейству (!) не принадлежит, то у = 1 — огибающая зтого семейства. Следовательно, у = ! — особое решение данного дифференциального уравнения. Если дяя отыскания дискряминантной кривой воспол ьзоваться системой уравнений (1), и. 9.1, то, кроме кривой у = 1, можно пояучить еше решение у = О.
Однако, как видно из (1), ни одно решение этого семейства (исключая, естественно, решение у = О, получаемое из (1) при С = со) не касается решения у = О. Таким образом, решение у = 0 не является особым. Ь 221. у' +у'=уу'(у'-ь ц. < Решив уравнение относительно производной, получим два дифференциальных уравнения: у =у; у =+Л. Проинтегрировав их, находим 1 2 у=С,е; у= -(а+С!); у=о.
4 Из уравнений Ф ш 4У вЂ” (х + Сг) = 0 — 2(х 4 Ст) = 0 следует, что у = 0 — дискриминантная кривая. В силу условия ( — ) +( — ) =16~0, выполняющеиюя на дискриминантной кривой, и того, что кривая у = 0 семейству Ф(а, у, С) = 0 не цринадлежнт, заключаем, что у = 0 — огибающая семейства у = т(а + Ст), следователь- 1 г но, у = 0 — особое решение. М 222. 4(1 — у) = (Зу — 2)'у' . 1 Имеем откуда 1 гПу — 2~ ж — / ау=а+С, 2 ./,/Т вЂ” у или у (! — у) — (а+С) = О. Кроме того, у = 1 — очевидное решение. Из уравнений Ф гя у (1 — у) — (а+ С) = О, — 2(х+ С) = 0 следует, что у (1 — у) = О, или у = О, а также у = 1.
Так как у = 0 не является решением, а на кривой у = 1, которая, очевидно, семейству Ф(а, у, С) = 0 не приналлежит, выполняется условие то у = 1 — особое решение. $ 223. у' —, у+ Л = О. М Палаша чгУ = а. полтавы линейное диффеРенциальное УРавнение 2х' — ах+ 1 = О, 102 Гл. 1. Дифференциальные урввиешш первого порядка проинтегрировав которое, находим 1 а = — (С вЂ” х)ет.
2 Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вш! 1 2 у= — (С вЂ” х) е . 4 В процессе интегрирования было потеряно решение у = О. В силу неограниченности производной и —— х — Ттгу при у = О, где !(х, у) = ху — Гу — правая часть рассматриваемого дифференциального уравнения у' = г(х, у), решение у = 0 может быть особым.
Из уравнений 2 х Ф=у — — (С вЂ” х)е =О, — — = — (С вЂ” х)е*=О 4 ОС 2 также следует, что кривая у = 0 может быть особой. Так как ( — ) +( — ) =1~0 на этой кривой, а сама кривая семейству (1) не принадлежит, то, согласно п. 9.2, решение у = 0 особое. ~ 224. у' = р(х)~у!' (О < а < 1), где р — непрерывная функция, отличная от тождественного нуля. М Пусть у > О.
Тогда, разделяя переменные и интегрируя, получим ! у = (С 4(! — а)~ р(х)г(х) Так как производная р-(р(х)/у~ ) не ограничена при у = О, то, согласно теореме существования а а У единственного решения для уравнения у' = г(х, у), решение у = 0 может быть особым. Из уравнений дФ 1 / Фи у — (С+(1 — а)~(с(х)г(х) =О, —: — — — (С+(! — а)~ )г(х)4х) =0 дС ! — от находим, что у = 0 — дискриминантная кривая семейства (!). В силу условия (Е)' (Г)'= " выполняющегося на дискриминантной кривой, и того, что кривая у = 0 не принадлежит семей- ству (1), заключаем, что у = 0 — огибающая семейства (1), т.
е. у = 0 — особое решение. При у < 0 аналогичным путем получаем другое семейство интегральных кривых, для которого кривая у = 0 также является огибающей. ~ 225. показать, что функция у = т)(х) — особое решение уравнения р'(х) у = — у+тг(х)/у — р(х)/' (О <а < 1), тз(х) где (с — непрерывная, а !д — непрерьшно дифференцируемая функции на интервале (а, Ь), причем (Э ~ 0 на (о, 0).
и полагая у = х(х)т)(х) „получим дифференциальное уравнение з = — (э — 1) (Ф(х)(", х(х) т)(х) ° 1и где функция !ссФш- непрерывная, поэтому (см. пример 224) решение в = 1 — особое, а тогда и у = ))(х) — особо~ решение исходного урэвнения. м 226. Показать, что функции у = х«))(х) — особые решения уравнения у = — у+ уг(х)!у — «(г (х)), «л (х) г г а сг(х) где О < а < 1, )г, «р' — непрерывные на интервале (а, Ь) функции и !ух Е (а, Ь) «Ь(х) ~ О. М В результате замены у = з(х)«р(х) получаем дифференциальное уравнение з = )3(х)1з — 1~, ше )3 = ф!«р! ' — непрерывная функция. Полапш в последнем уравнении з = 1 -л е(х), гле е(х) > О, и интегрируя полученное уравнение, находим 1 е(х) = 2 (! -а)) гу(!) (1+ — ) И+С), х Е (а, Ь), хо Е (а,Ь).
(1) 2 ) *о Очевидно, дифференциальному уравнению е' = )уе'(2 х е)' удовлетворяет такхсе функция е лл О на (а, Ь). Покажем, что в кюкдой точке хо Е (а, Ц функции е и е ш О имеют общую касательную. Из (1) имеем с с(хо) = Сг-«й, е (хо) = Сг-«У)У(хо)(2+ е(хо))'. В точке касания с абсциссой хо должны выполняться условия е(хо) = О, е'(хо) = О. (3) Из (2) и (3) следует, что С = О. Таким образом, любая функция, определяелюя уравнением ! е(!) х ' е(х) = 2'(1 — а) / )у(!) (1-л — ) сЫ 2 ) «а тождественно равна нулю на (а, И.
Зто означает, что решение е = Π— особое, т.е. решение у = «))(х) — особое лля данного дифференциального уравнения. Аналогично доказывается, что решение у = -«Ь(х) также является особым. М Найти особые решения, не интегрируя самого уравнения. ,г 227. у' (х' — Ь) — 2туу' — х' = О. М Разрешая уравнение относительно производной, получаем хг — Ь * + «латг -' « (1) Если !х~ > Ь, то через каждую точку плоскости хОу проходит единственное решение каждого из двух дифференциальных уравнений (1), так как в этом случае их правые части непрерывные и имеют непрерывные частные производные по у. Пусть !х! < 6, Тогда условия непрерывности нарушаются на кривой хо+уз = Ь.
Однако в силу лишь достаточности этих условий (достаточности лля существования единственного решения), лсы не можем утверждать, что указанная кривая представляет собой особое решение. Применим результат решения примера 226. Здесь фусскции уг(х) = х — у-( — и «Ь'(х) = — —; — ч х — Ь уь — х непрерывны при !х/ < Ь, а = 2, следовательно, решения у = ~(Ь(х) = Ы/6- з' — особые для 1 каждого нз уравнений (1), т. е. кривая х + у = Ь дейссвительно является особой. м 228.
у — 2ху' — у" = О. М Здесь г(х, у, у') = у — 2ху'-у, частная производная  — — — 1 ограничена, а из уравнений дс у л' = у — 2ху — у' = О, — г — = -2х — 2У = О следует, что особым решением может быть только г др ду функшш У = -х . Однако, как лепсо проверить, у = -хг не является решением уравнения, г следовательно, особых решений нет. м Гл. 1. Дпфферовциальные уравнения первого порядка 229. у + ~х+ — ) у' — (1+ х ) у — — = О. д ! х з х' г) 16 ~ Разрешая уравнение относительно производной, получим 1 ( '') Л+х' у = - - ( х -!. — ) х 16у + х4 + 4хз 2~ 2) 4 Полагая здесь и = у 4 Гг ! х~ + 4х'), имеем ! / 4 и' = ~ЪГ!+ хз гй, и > 0 Так как функции хчгТ4- хг непрерывны, то, со~ласно примеру 224, решение и ш 0 — особое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
