Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Допустим, что а — устраннмая особшз точка функции (р. Ч'бгда чз имеет конечный предел при подходе к ней: бш ьз(з) = В и бгп у(я) = А+ — '. Отсюда следует, что если В т' О, то я = а является устранимой особой точкой функции у, а при В = О точка з = а — полюс функции Г. Обе возмо;кности противоречат условию теоремы. Следовательно, з = а не может быть устраннмой особой точкой функции (о. 224 Гл.
5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки Допустим теперь, что» = а — полюс функции у!, т. е. 1пи Р(») = оо Л йш 1'(») = А. Следовательно, » = а — устранимая особая точка функции У, что снова противоречит условию теоремы. Таким образом, остается единственный возмозкный случай, что» = а — существенно особая точка функции р. Тогда, согласно доказанному в 1), существует такая последовательность (»„), »„ а, что 1ип (е(»„) = со л 1ци г'(»„) = А, ~ Рассмотрим пример. ! Пусть У(») = е* = 2 —,'„!» Е 1е ~ = (» Е С ! О < !»! < оэ), Здесь а = Π— существенно =О особая точка функции г. С помощью очевидных соотношений ! ! 1ии е= =со, йт е ° =О *= >о =*со о *-е проверяем утверждение теоремы Сохоцкого для А = оо и А = О.
Пусть А ~ ( . Решим О ! уравнение е = А: 1 1 1 1 — = 1.иА, » — —— — п Е».. » ' 1.иА 1и (А)+ !'Лей А !п !А! + г(агд А -1-2п;г)' Пусть 1 1и!А! е !(а»в А+ 2и!г)' ! ! Очевидно, что»„- О, е ° = А, следовательно, йщ е* = А. Характерным в этом примере является то, что за исключением значений О и со, все остальные значения А достигаются не в пределе, а на целой последовательности. Оказывается, что это не случайность, а общая тенденция. Об этом свидетельствует меорема Пикара, уточняющая теорему Сохоцкого и утверлщаюшая, что в окрестности существенно особой точки функция у принимает, причем бесконечное число раз, любое конечное значение, за исключением, может быть, одного.
Этим случаем для е * является нуль. 2.4. Бесконечная изолированная особая точка. Пусть у — анюгитическая функция в области )гл — — (» Е С ! В < !»! < оо). Это означает, что точка» = со является изолированной особой точкой функции г. Представим функцию У в окрестности бесконечности рядом Лорана 1'(») = ~~! с„»".
Члены ряла 2 с„»" с неположительными степенями» образуют его правильную часть, а с положительными — его главную часть. Харис»ар особой точки» = оо определяется, как и в случае конечной особой точки, главной частью ряда Лорана, а именно: точка» = со явшется соответственно устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой в зависимости от того, отсуютвует ли главная часть в разложении (1), содер;кит ли главная часть конечное или бесконечное число членов. Например, функция» ! у(») = —,' имеет на бесконечности устранимую особую точку, функция» ~+ !р(») = » имеет на бесконечности полюс первого порядка, а функция » 3 м » !-! гр(») = яи» = ~ (-1)" (2и+ 1)! =е имеет на бесконечности существенно особую точку.
4 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 225 Замечание 1. Все сказанное в и. 3.2 о поведении аналитической функции вблизи конечной изолированной особой точки справедливо и в случае, когда « = со является изолированной особой точкой. Замечание 2. Если « = со является изолированной особой точкой функции «, то ( = Π— изолированная особая точка функции ( р(() = у ( — ), лорановское разложение которой в окрестности ( = О получаем 11' (с) нз разложения (!) заменой « = — . 1 Замечание 3.
Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке полностью опредевяет характер особенности этой точки. Это свойство можно положить в основу классификации изолированных особых точек, а именно, если при подходе к изолированной особой точке « = а функция имеет конечный предел, то зта точка называется устранимой особой точкой. Если предел существует и равен бесконечности, то « = а называется полюсом. Если же при подходе к точке « = а функция предела не имеет, то эта точка называется существенно особой.
Рассмотрим примеры. ! 24. Разложить в ряд лорана в кольце Р1 1 = (О < !« — Н < 2) функцию «1 )'(«) = «(« — 3)' ! ! ! ! — (-!) (« — П (« — 1)-ь ! (« — 1) (1+ ' ) « — ! ~-~ (-1) (« — 1) = ~ (-!) (« — 1), 1« — Ц > 1, =-1 1 1 1 1~"-~ 1 — — ( — !)" П-2 2 ! =.-,1 гС (« — 1)" 2"+' =-Е *=0 ~« — 1~ < 2, « — 3 («вЂ” ( ! Х) !ч чп — — — — ( — 1)" 1« — 3/ 2 2" =1 =0 и+1 2" чз (« — 1)", (« — Н < 2, (« З)1 «(« — 3)1 х-т 9 « — т ! 9 . 2"+' 3 2"+з / =-1 =0 (-1)" ' „Зп+ 5 (« — !)" + ~~1 (« — 1)" И Е Ъ'1 =0 25. Найти множество точек «, в которых сходится ряд 'хз ', и Е Х. к-э 3" + 1 и Обозначим «" «" 1 1 = Š—,-, = Е 3-.1'Е 3--+ ! — - = »=0 предполагая, что функции Л и гз определены на некотором множестве. Ряд ~ , '— „', сходится в круге кн —— («е с 1 ф < к), где 1 Л= = !пп х/3" +1=3.
и Очевидно, справедливо разложение функции г' на простые дроби 1 1 1 1 (1) «(« — З)з 9«9(« — 3) 3(« — 3)1 После некоторых преобразований дроби в праной части равенства (1) можно рассматривать как суммы бесконечно убывающих прогрессий. Имеем 226 Гл. 5. Ряды аналитических фувкций. Изолированные особме точки Областью сходимости ряда 2, =„', .
—,'„является множество 22 = (з б С: )з~ > г), где г = 1пп ~~~, = 1. таким образом, заданный ряд сходится в кольце кь, = (з е с ~ 1 < !з~ < 3). м г я+1 26. ФУнкцию Я ~-~ !(з) = з пиз — Разложить в Рад ЛоРана в кольце )гв = (з Е С ! 3 О < 1я! < сю). м Имеем г 5)пя =3 з1пвг 1+ = з з1п = з 1 г) з (2пт1)! з =в ( 1)»-~$ 2 вс ю 27. Функцию Бесселя 1-го рода п-го порядка,7 (з) при целых п можно определить как ко- 1,! - !с--) эффициент при (" разложения в ряд Лорана функции ( е! ' сг в кольце )гв,, — — (Г Е С ~ О < ф < сю); 2) ет(С С) = ~,У.(з)~" Локазать, что 1 Г (-1)" ,т (з) = — / сов(п — зйпВ)дВ = э я г-г !г!(п -1- гв)! 2 в в=в ч По формуле (2), п.
2Л, имеем 'г (з)= —. д(, О<р<со. эяг ! ("+' г, При р = 1 получаем: вв ВВ = — е'с* ьв- вг 1В г 2я/ Далее, Отсюда находим 28. Найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки зв —— со функции з з (йз +з))п —, 1 — з' если выбранная ветвь логарифма действительна на верхнем берегу радиуса (О, Ц. ~(~-с) А(з)= ./ дь= — /ег'' е 2кв / ~"вг 2я! / = — ) сов(х ип  — пВ) ВВ + 2я/ 1 — / з!п(з пп  — пВ) ВВ = — ) соз(п — з в!и В) ВВ. й 2.
Рад Лорана и юолированные особые точен аналитических функций 227 ° а Имеем (2» +»)!И вЂ” = (2» +»)Ьà — = (2» +») 1И вЂ” +ЕК = (2» +») ~-1И ~! — — у! +!Х) = 3 1 †» — ) » г = (2» +») (!х+ — + — + — + ...~ = 2га» +гя»+ 2» » 2»» 3»з г' 1 29. Иайти особые точки функции» ° 7(») = мп —,, установить их характер и исследовать со»- поведение функции 7 на бесконечности. 4 Для функции ~ ~ з!и Г точка ( = со является в С единственной особой точкой, а именно, существенно особой точкой, Следовательно, особые точки функции у определяются равенством соз —, = О.
Таким образом, функция 7" имеет бесконечное множество существенно особых точек 2 (»„= „„'„; и Е У.). Точка» = Π— предельная для указанного множества. Далее, 1цп 7(») = пи 1, поэтому» = оз — устранимая особая точка функции г. м 30. Пусть» = а является изолированной особой точкой функции 1' и йги(» — а)7(») = О. Доказать, что: 1) / ~(») г(» = О, где Г = (7, т,р) — произвольный замкнутый положительно ориентированг ный жорданов путь, лежащий в проколотой окрестности точки а (г, „= (» Е С ~ О < 1» — а~ < )2) . 2) ~(») = — / — г((, » Е (» Е С / О < !» — а~ < и < Я), Г„= (7, 7„'~), 7„= (» 6 С: 1 Г ~(Г) 2я» / г.
1» — а! = и). м точка а — устранимая особая точка функции г. поэтому 1) следует из теоремы коши, а 2) — из формулы Коши. в. 31. Доказать, что когда 7 является аналитической функцией в окрестности точки а Кл —— (» Е С: !» — а) < 22) и не принимает в этой окрестности значений, находящихся в круге Л; = (гс Е С: ~га — ю,~ < и), то точка» = а либо устранимая особая точка, либо пояюс. ° е Справедливость утверждения следует из теоремы Сохоцкого. м 31. Доказать, что функции» с)г» и» з)г» в окрестности бесконечности принимают все значения из С. и Пусть А Е С.
Решим уравнение с!з» = А: е* = А+ тГ»А» — 1 Ф О, » = !.и (А+ ЗугА» — !) . Пусть»„= !и~А + ъА» — 1 ~ +» (ага(А + ьгА» — !) + 2ох), и Е Е. Имеем йщ»„= со, сЬ»„= А. и 33. Определить характер особой точки» = 1 следующих функций: »» — 3»+ 2»' — 3»+ 2 а) б) в) (» — 1)е*-'. »» — 5»+4' »» — 2»+ 1' 2 з+» М а) Поскольку 1пп у=2*-+ — = йщ — , 'з = -,', то» = 1 — устранимая особая точка для данной функции. б) В достаточно малой проколотой окрестности (ге,, точки» = 1 »з — 3» + 2 (» — 1)(» — 2)» — 2 »' — 2»+ 1 (» — 1)»» — 1' поэтому» = 1 — пРостой поляк заданной функции. Гл. 5. Ряды аналитических функций.
Изолированные осабме точки 228 в) Разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности точки « = 1 имеет вид ! (« — 1)е *-! = (. — !) 7 а!(« — !)" =Е ! ! ! =14-« — 1+ а!(« — 1)" 4 2!(« — 1) а!(« — !) =4 Главная часть ряда Лорана содерхсит бесконечное мнохсество членов, поэтому « = 1 — суше! ственно особая точка функции «4 (« — 1)е*-' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
