Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть Ро = гтя б С ~(з = ге™, -л < уо < л, г > 0), То(я) = т/ге ~, — л < уо < л, Рз = Тл б С ~ з = ге™, з < Зо < зл, г > 0), Тз(х) = т/ге з о Т < )о < з ' $1. Освовыые повгтыя. Аваяитьтеское продолзкеыие вдоль пути 233 Элемент Р, = (Рь, (,) определяет в г-гиоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси функцию ~,, аналитичность которой следует из таких рассухсдений. Очевидно, что ш' = У,'(л) = гене = г, тлк что уь(з) = чью Поскольку ~, дает однолистное отображение области 23, на правую полуплоскость плоскости т, то существует г'(г) чз Е Р~ и эту производную можно найти по правилу дифференцирования обратной функции: 1 1 ! Л(з)= —., = — = — 2т 21'г(я) Таким образом, функция У, аналитическая в области Р,.
Аналогично убеждаемся в том, что Рз = (Рг, Зз) также является аналитическим элементом. Пересечение 2)~ О Рз ~ Я состоит из двух связных компонент Ь, и Ьг, представляющих собой соответственно второй и третий квадранты г-плоскости. Из определения функций У, и зг следует, что при з Е Ь~ ~~(з) = зз(з) и /~(з) е- Уг(г), есяи з Е Ь,. Следовательно, элементы Р, и Р, являются аналитическими продолжениями друг лруга через второй квалрант Ь,. Определеыие 4. Элементы Р = (В, У) и (2 = (6, д) явяяются аналитическцьщ продолжениями друг друга через области Ь, (и = О, п — 1), если существует такая цепочкаэлеиентов Р, = (В„, у,) (и = О, и), что: 1) Рь = Р Р = !'ь; 2) области 2), и 2) ь~ имеют непустое пересечение и Ь, является одной из коипонент этого пересечения; 3) элемент Рею является непосредственным аналитическим продолжением элемента Р„че- резЬ . Пусть, например, В = (л Е С ~ г = ге', — — < р < г, г > 0), У(з) = чгге г, — г < 'г < г, С=(гЕС~ =веге, з <Р< г, г>0), з(г)=илге г, г <(э< Как н в примере 1, устанавливаем, что пары Р = (2), у) и () = (С, р) являются аналитическими элементами.
Попочка элементов Р,, Рц Рз, где Рь — — Р, Р, = (3, а Р, = (2)н /,) определяется равенствами *к 2)~ = (л Е С ~ з = ге ~, 0 < уь < к, г > 0), у>(з) = чг е* г, О < )з < я показывает, что элементы Р и гд являются аналитическими прслолжениями друг друга в смысле опрелеления 4. При этом Ь, —,первый квадрант, а Ь, — второй квадрант з-плоскости. Для простоты последующих рассуждений конкретизируем понятие анатитического элемента. Определеыие 5. Каноническим элементом с центром в точке а Е С назовем нару Р = (Кя„, з ), где з — сумма сходящегося степенного ряда, а Кл.
— круг сходимости этого ряда с центром в точке л = а: Кя, =(зЕС;~л — а~<В ), у (л)= ~ с„(з — а)". =ь Круг Кя. называется кругом сходимости элемента Р . Приведенные выше определения 3 и 4 для канонических элементов упрощаются, так как их области (круги) всегда пересекаются по связным множествам, и поэтому нет необходимости оговаривать, через какие компоненты пересечения Ь„совершается продолжение. Рассмотрим еще несколько моментов, связанных с понятием канонического элемента.
1) Пусть Р = (Кл., у ) и Рь — — (Кль, )ь) — два канонических элемента, являющихся непосРелственным пРодолжением дРУг дРУта, и пУсть Ь Е Хл . Тогда, очевидно, пРодолжение элемента Р сводится к переразложению суммы степенного рыла У в ряД по степенЯм з — Ь: ~ь(л) = '~, -', ~.'"ь(Ь)(л — Ь)". (1) =ь Гл. б. гьнваитическое продпюкевве 234 2) Если два канонических элемента Р, и Рь являются непосредственным продолжением друг друга, то их круги К„ и Кл„не могут компактно принадлежать друг другу. Действительно, пусть, например, Кн, С Кл зь Е А(Кя,) и ~ь = ~ в Кл„, однако 1 Е А(Хл.). Отсюда получаем, что функциа Ть аналитическаЯ в большем кРУге, чем Хл„, и, таким образом, Хл, не может быть кругом сходимости.
Из последнего утверждения следует, что кривые дКя. н дКл, обязательно имеют общую точку, и справедливо неравенство (см. рис. 84) (й — К ~ ( (ь — а(. (2) Реь. ал 3) Пусть элементы Рг, и Р„являются непосредственным аналитическим продолжением одного и того же элемента Р.. Тогда Ры = Ры. Действительно, пусть Вы ( Вьз. Тогла функции Ты и 1ьз анатитическне в круге Кды и совпадают в нем, поскольку 1ы =,Г, и 1ьз —— 1 на пересечении Кл. Г) Кяы.
Теперь очевидно, что Вы — — Вьз и, следовательно, Ры —— Рки 1.2. Аналитическое продолжение вдоль пути. Пусть Р, = (Кя„ур) — канонический элемент с центром в точке г = о, ч — непрерывная жорданова кривая с параметрическим прелставлением )с, 23 = 1 = (О, 1) и началом в точке р(0) = о, Г = ('у, Т,р). Определение. Канонический элемент Рь аналитически продолжается вдоль кривой(пути) Г, если существует семейство элементов (Р ) е г —— ((Хп,, Уг)) с центРами в точках о, = чз(1) и ненуле- )шг выми радиусами сходимости, удовлетворнющее условию: для казкдой окрестности 0;, точки гь Е 1, уг(Ом) С Кн, ю ч( Е Ои элемент Р, является непосредственным аналитическим продолжением 'ь элемента Р,, Если канонический элемент Рь продолкаем вдоль пути Г, то говорят, что элемент Р~ с центром в конечной точке (з(1) = б получен из Р, аналитическим продолжением вдоль Г.
Следующая теорема устанавливает единственность аналитического продолжения вдоль пути. Теорема 1. Если канонический элемент Рь продолжить вдоль пути Г, то полученныи в результате его аналитического продолзкения элемент не зависит от выбора семейства, осуществляющего зто продолжение. щ Применим метод доказательства от противного.
Пусть Р, — эяемент, полученный из Рь продолжением вдоль пути Г с помощью семейства Р„а (), — элемент, полученный из Р, продолжением вдоль Г с помощью семейства Ог. Имеем Рь — — ()ь, Рассмотрим множество точек 1 из интервала 1, для которых Р, = (;1,: Е = (1 Е 1 ~ Р, = <;)г).
Очевидно, Е ~ а, поскольку 1 = 0 Е Е. Покажем, что Š— открытое мнолсество. Пусть (ь Е Е: Рь, — — 0и Обозначим через Ои С 1 такую окрестность точки гь, что Р(0„) С Кя,, 'а ' где Кл, — общий круг сходимости элементов Ри и г'„)и Тогда 'у( Е Ои элементы Р, и гй, получаются непосредственным аналитическим продолжением одного и того же элемента Ри = (2м Отсюда Р, = гйг (см. замечание 3, п. 1.1), т.е. О„С Е и .Š— открытое множество. Теперь докажем, что Š— замкнутое множество в топологии 1. Пусть гь — предельная точка множества Е. Обозначим через Кл, меньший из кругов сходимостн элементов Рм и Ои, и пусть Ои — такая окрестность точки 1,, что (о(Оы) С Кя, .
Поскольку гь — предельная точка множества Е, то в окрестности Ом обязательно найдется точка 1, Е Е и, следовательно, Рп = геь, Б силу замечания 3, п. 1.1, имеем Р,„= г2м, т. е. 1, Е Е и Š— замкнутое множество. Таким образом, непустое множество Е, являющееся подмножеством множества 1, одновременно открыто и замкнуто в топологии 1, Поэтому .Е = 1 (см. теорему в 3, гл. 2) и, в частности, Р, = О, . ~ Нас будет интересовать следующий вопрос. Мы имеем определения аналитического продолжения вдоль цепочки элементов (определение 4, п. 1.1) и определение аналитического продолзкения вдоль пути. Как они связаны между собой? 235 и 1. Основные понятия.
Аналитическое продолвгевие вдоль пути Лемма. Пусть В(1) — радиус злеиента Р, из семейства элементов, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль жарданава пути Г, и пусть, далее, все круги Кл, имеют конечные радиусы схадимпсти. Тогда )2(1) — непрерывная функция на отрезке 1 = [О, 1). т Пуетв го Е 1 — ЛЮбая тОЧКа. Сущветлувт таКая ОКрЕСтНОСтЬ ОП ТОЧКИ гв, Чта Чг Е ОЫ элемент Р, является непосредственным аналитическим продолжением элемента Р,, Согласно неравенству (2), и.
1.1, имеем [В(1) — В(гь)[ < [)г(1) — Фгь)[ гле зг — параметрическое представление жордановой кривой Г. Поскольку отображение (е непрерывное, то В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1. т Теорема 2. Пусть элемент (д получен из элемента Р посредствам аналитического продолжения вдоль жарданава пути Г. Тагди ('„З является аналитическим продолжением в понимании алределенив 4, л.
1.1. т Пусть (Р,),е, — семейство элементов, осуществляющее аналитическое продолжение вдоль кривой Г (Рь = Р, Р, = Д). Радиус семейства В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1, и )Г( б 1 В(1) > О. Огсюда слелует, согласно свойству непрерывных функций, что 'чг б 1 В(1) > е для некоторого г > О. Поскольку параметрическое представление ьг жордановой кривой Г есть равномерно непрерывная функция на сегменте 1, то существует такое разбиение П= [гь1 к=О и) сегмента1, где О=ге <гз « ... 1„=1, что М(г ) — Т(г — )[<г (Ь= » ). Тогда (е(гь) Е Кл „, и, согласно определению 3, и.
1.1, элементы Р иь~ н Р пь а являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, а элементы Р = Р оа и гд = Р „„; — аналитическим продолжением друг друга вдоль цепочки элементов Р пь. (й = О, гь), т.е. элемент (,> является аналитическим продолжением элемента Р в смысле опредеяения 4, п.1.1. М Рассмотрим, например, семейство элементов Р~ = (Клин геь), 1 Е 1 = [О 1[, где Кла~=[еЕС;[г — е' '[<1), уь= чгге'", — г+хг<(е<з рвг.
Очевнано, и" = 1,"(г) = г, поэтому в каждой точке г Е К,ио сушествуег 1,'(г) = и 1,'(г) ос при г О. Получаем, что функция 1, аналитическая в круге Кщо. Представляя ее рядом Тейлора в окрестности точки е' ', получим степенной ряд с кругом сходимости Кщп. Таким образом, элементы Р, = (Клон у,) при 1 Е [О, Ц образуют семейство канонических элементов„осуществляющее аналитическое продолжение элемента Р, в элемент Р, вдоль полуокружности 7 = (г 0 С [ г = е' ~, 0 < 1 < 1). Очевидно, элемент Р~ можно также получить из элемента Рь анатитическим продолжением с помощью цепочки элементов Рь, Р1, Р,. 1.3. Иввариаитиость аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотоппых деформаций этого пути. Пусть 1 = [О, 1[, К = 1х1, К С вЂ” гомотопия жордановой кривой -Гь вжорданову кривую 7~ еь еь с общими началом и концом, 1 уа 1 — 7, — параметрические представления кривых 7ь на на и 7ъ Тогда чс Е 1 ю(0, О = (вь(0), (е(1, 1) = юе(1), т.е.
любая кривая 74 с параметрическим прелставлением б ьч Зг(1, 4) имеет то же начало, что и Ть с 7~ и тот же конец, что и 7ь с 7~ (см. п.5.1, гл.4). Теорема 1. Пусть гкарданавы кривые 7ь и 7~ гамотапны как кривые с общими концами, а элемент Р аналитически лрадаллеаетсв вдаль любой кривой 74 с параметрическим представлением б ' ' Р(1~ О 0 < 1 ~< 1, где и — гвматалия кривой 7е в кривую 7~ . Тогда результаты аналитическагв прадацкенил элемента Р вдоль кривых Гь и Г~ совладают, где Го = (7ь, 7ь ). Г~ =<7~ 7т ) м Согласно условию, аналитическое прололжение элемента Р вдоль любой жордановой кривой Гг, имеющей общие концы с кривыми Гь и Г,, существует. Обозначим через (гг результат аналитического прололжения, осуществляемого семейством элементов (Рь )ьег вдоль нуги 236 Гл. б.
Аналитическое продолжение Гг = (ТГ, Тс ). ПУсть Е = (с Е Х ( Я~ = (Г ). Множество Е непУстое, так как Р = О Е Е. ПУсть 4ь Е Е. По лемме п. 1.2 существует такое с > О, что радиусы Л(г) семейства элементов (Р,'),аг, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль кривой Гг„удовлетворяют (Г( Е 1 неравенспзу 22(1) > с. Поскольку гомотопия (с является равномерно непрерывным отображением на компакге К, то в К найдется такая окрестность 0(„С 1, что )г(Е Е 0(„1 Е Х) выполняется неравенство )(э(б, 1) — ы(1„1)) < —. 2 (1) Выберем точки (ь Е 1 (й = О, и) так, чтобы ч)» )»гь = )э(бь, гь) удовлетворяли неравенству (2) !~уь — Уа-~1< —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
