Главная » Просмотр файлов » ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015

ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 6

Файл №864364 ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (А.А. Федотов, П.В. Храпов - Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации) 6 страницаФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364) страница 62022-01-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

3.2, б), а соответствующийтрехшаговый метод Адамса третьего порядка точности имеет видyi 1  yi h(23 fi  16 fi 1  5 fi 2 ).12(3.12)Формулу (3.12) легко получить, если перейти к новой системекоординат, в которой координата x точки xi 1 равна нулю (см.рис. 3.2, б). Тогдаp( x )  ax 2  bx  c;p (  h )  ah 2  bh  c  f i 2 ,p (  h )  c  f i 1 ,p( h )  ah 2  bh  c  f i .Отсюда находимfi 2  2 fi 1  fi 2 fi  fi 2x x  fi 1.(3.13)2h 22hИнтегрируя выражение (3.13) на отрезке [h, 2h], получим формулу (3.12).Если l  4, то интерполяционный многочлен является кубическим и мы получаем формулу Адамса четвертого порядка точности:p( x ) yi 1  yi h(55 fi  59 fi 1  37 fi 2  9 fi 3 ).24(3.14)Многошаговые методы требуют в начале работы знания значений в первых l точках: y0 , y1 ,..., yl 1 .

Мы не можем использовать,например, формулу (3.14) при i  3. Выход из положения состоитв применении какого-либо одношагового метода того же порядка42точности, например метода Рунге — Кутты, до тех пор, пока небудет получено достаточное количество значений для проведениярасчетов с помощью многошагового метода.Примечание. Наряду с рассмотренными явными методами существуют и неявные методы интегрирования дифференциальных уравнений.Приведем два таких метода.Неявный метод Эйлера. Это метод первого порядка точности. Егорасчетная формула:yi 1  yi  hf ( xi 1 , yi 1 ), i  0,1, ..., n  1.(3.15)Чтобы найти yi 1 , надо решить это уравнение (может быть, нелинейное) относительно этой переменной.Метод трапеций. Это метод второго порядка точности.

В результатерешения уравненийhyi 1  yi  [ f ( xi , yi )  f ( xi 1 , yi 1 )], i  0, 1, ..., n  12(3.16)находятся значения yi 1 .3.1.4. Правило Рунге практической оценки погрешностиЭто правило (см. гл. 1 и 2) применимо для практической оценки погрешности и при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть yi( h ) — значение в точке xi приближенного решения y ( h ) задачи Коши (3.1) на отрезке [a , b],найденное с шагом h, где xi  a  ih, i  0,1, ..., n, n — число разбиений отрезка [a , b], h  (b  a ) n . И пусть yi( h 2) — значение втой же точке xi , но приближенного решения y ( h 2) , найденное сшагом h 2 , т. е. число разбиений в этом случае равно 2 n.

Считается, что y ( h 2) является решением задачи Коши (3.1) с погрешностью  , еслиyi( h 2)  yi( h ) ,2k  1где i  1, 2, ..., n; k — порядок точности численного метода (например, k  1 для метода Эйлера (3.4), k  4 для метода Рунге — Кутты(3.10)).43Алгоритм вычислений. Допустим, что мы ищем численное решение задачи Коши (3.1) с помощью метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности ( k  4). Опишем алгоритм вычислений,основанный на применении правила Рунге практической оценкипогрешности.

Численное решение находят методом итераций.Пусть l — номер итерации, yl — численное решение, найденное сшагом hl , где hl — расчетный шаг на l-й итерации. Очереднуюитерацию осуществляют следующим образом. Рассчитывают y l 1с шагом hl 1  hl 2 .После этого проверяют выполнение неравенстваyil 1  yil2k  1 ,(3.17)строго говоря, во всех общих точках xi решений y l и y l 1 .Обычно выполнение неравенства (3.17) проверяют не во всехобщих точках решений yl и y l 1 , а только в выделенных контрольных точках. В качестве контрольных можно взять узловыеточки {xi0 }, соответствующие начальному числу разбиения n0 сшагом h0 : xi0  a  ih0 , i  0,1, ..., n0 , h0  (b  a ) n0 . Число n0 (этоцелое число) определяется по формуле (см.

(1.20) и (1.21))n0  ba 1.k (3.18)где k — порядок точности метода; квадратные скобки, каки в (1.20) и (1.21), обозначают целую часть заключенного в нихчисла.Примечание. Еслиb  a b  a , т. е. если дробная часть числа kk  baравняется нулю, то 1 в формуле (3.18) можно не прибавлять.kПусть, например, k  4, [ a , b ] есть отрезок [0,1], а   0, 0001. Понятно,что в этом случае в качестве n0 можно взять число 10, а не 11 (как этоследует из (3.18)), тогда h0  0,1.443.2.

Интегрирование системобыкновенных дифференциальных уравненийпервого порядкаРассмотрим задачу Коши для нормальной системы m обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкаu  f ( x , u), u( x0 )  u0 ,(3.19)где u  du dx , u1 ( x )  u1 ( x )  f1 ( x , u1 , ..., um ) ,u  , u , f ( x , u)    um ( x )  um ( x )  f m ( x , u1 , ..., um ) u0  {u1,0 , ..., um,0 }, x0 , ui ,0 , i  1, ..., m — заданные числа.В случае задачи Коши (3.19) изложенные приближенные методы интегрирования Эйлера, Рунге — Кутты и Адамса формальноостаются теми же, только функции u, f , y и коэффициенты k i вформулах Рунге — Кутты (3.9) и (3.10) заменяются соответственнона вектор-функции u, f и векторы y и ki . Правило Рунге применяется для каждой координаты вектора u в отдельности.Пусть, например, требуется найти на отрезке [a, b] решениезадачи Коши (3.19) для m  2, записанной в виде u1  f1 ( x1 , u1 , u2 ),  u1 ( x0 )  u1,0 ,x0  a u2  f1 ( x1 , u1 , u2 ),  u2 ( x0 )  u2,0 ,(3.20)или в векторной формеu  f ( x, u), u( x0 )  u0 , m  2,(3.21)где u1,0  u1 ( x )  u1 ( x )  f1 ( x, u1 , u2 ) , u, f ( x, u)  , u0  u  . u2 ( x )  u2 ( x )  f 2 ( x, u1 , u2 )  u2,0 Приведем для системы (3.21) расчетные формулы методовРунге — Кутты второго и четвертого порядков точности (аналогичные формулам (3.9) и (3.10)) в векторной и координатной формах.45Расчетные формулы метода Рунге — Кутты второго порядкаточности для системы (3.21):k1  hf ( xi , yi ),k2  hf ( xi  h, yi  k1 ),(3.22)1yi 1  yi  ( k1  k2 ), i  0,1, ..., n  1.2В координатной форме формулы (3.22) запишутся так:k1,1  hf1 ( xi , y1,i , y2,i ),k1,2  hf 2 ( xi , y1,i , y2,i ),k2,1  hf1 ( xi  h, y1,i  k1,1 , y2,i  k1,2 ),k2,2  hf 2 ( xi  h, y1,i  k1,1 , y2,i  k1,2 ),(3.23)1y1,i 1  y1,i  (k1,1  k2,1 ),21y2,i 1  y2,i  (k1,2  k2,2 ), i  0,1, ..., n  1.2Расчетные формулы метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности для системы (3.21):k1  hf ( xi , yi ),hkk2  hf  xi  , yi  1  ,22hkk3  hf  xi  , yi  2  ,22 k4  hf ( xi  h, yi  k3 ),(3.24)1yi 1  yi  (k1  2k2  2k3  k4 ), i  0,1, ..., n  1.2Координатная форма формулы (3.24) имеет вид:k1,1  hf1 ( xi , y1,i , y2,i ),k1,2  hf 2 ( xi , y1,i , y2,i ),kkhk2,1  hf1  xi  , y1,i  1,1 , y2,i  1,222246,kk hk2,2  hf 2  xi  , y1,i  1,1 , y2,i  1,2  ,222 kk hk3,1  hf1  xi  , y1,i  2,1 , y2,i  2,2  ,222 kkhk3,2  hf 2  xi  , y1,i  2,1 , y2,i  2,2  ,222k4,1  hf1  xi  h, y1,i  k3,1 , y2,i  k3,2  ,(3.25)k4,2  hf 2  xi  h, y1,i  k3,1 , y2,i  k3,2  ,1( k1,1  2k2,1  2k3,1  k4,1 ),61y2,i 1  y2,i  ( k1,2  2k2,2  2k3,2  k4,2 ), i  0,1, ..., n  1.6y1,i 1  y1,i Понятно, что вид формул в векторной форме (3.22) и (3.24) независит от количества уравнений m в системе (3.19).3.3.

Задание к лабораторной работеДля дифференциального уравнения (или системы уравнений)из предложенного варианта необходимо:1. Получить точное решение уравнения (системы уравнений)с заданными начальными условиями.2. Написать программу численного интегрирования дифференциального уравнения (системы уравнений) методом Рунге — Кутты второго или четвертого порядка точности. Для оценки точностивычислений воспользоваться правилом Рунге.3. Найти численное решение дифференциального уравнения(системы уравнений) с точностью   0, 0001 и оценить погрешность как максимум разности в узлах между точным решениеми решением, полученным численным методом.Оформите отчет по лабораторной работе.

Он должен содержать описание использованного численного метода, результатырасчетов и текст программы. Варианты задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядкови систем обыкновенных дифференциальных уравнений первогопорядка, а также ответы к ним представлены в табл. 3.1–3.6.47Таблица 3.1Варианты задачи Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядкаОтрезок [ a , b]№вариантаФункцияf ( x, u )abНачальноеусловие u0134561x u01222u xxu1 xe x uu1x ln x x22 xu  xe  x3uxx1 tg xu cos x2xu  1  x21  x213102100,50еe210211320 311323456789102u  e x  x0114112u  e3 x016512 u x  2 ln x  113102113sin11314482u e x (1  x ) 21 xu x cos xx15u  ex x12016171819(u  1) x1001320000e e u(sin x  u) cos x1  u x2xx3Окончание табл. 3.1№вариантаФункция20 ( x  u) x21u  cos x2223242u  xu  2 xu xu (2 x )f ( x, u )225262u  4 xuu ln  x x2u x27282930xu1 xx uОтрезок [ a , b]a1000110b3Начальноеусловие u0121233414421012e213202201111Таблица 3.2Ответы к вариантам задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка№вариантаОтвет№варианта14  x2102x2113( x  1) e  x12x 12 4e3 xe 2 x 5x ln x  1 x4 ln (2  e x )13( x  1) 2 e x51  ln (ln x)  ln x14x sin x15e x ln xx 16789e x2(1  x 2 2)x2  x3sin x  cos xx (1  x 2 )161718Ответe2 x  e x ex 1e  sin x  sin x  149Окончание табл.

3.2№вариантаОтвет№варианта19x ln (1 x )25xОтвет26e2 x  2 x  1211 xx 2(sin x  cos x ) 227xe1 x22(2 x 2  2 x  1) 42823e x  2 x  2x292x 22( x  1) e  x301  x22024Таблица 3.3Варианты задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№варианта50Функцияp( x)q( x )g ( x)1540201324Отрезок[a , b]ab02НачальныеусловияBA110131e032251201cos x01125044[sin (2 x)  cos (2 x)]643728x2225x013902ex131087140110901x04310104e2(1  x)01111160801212224e cos x2e13507011e3514015sin (2 x)0112315210123ex3ex6Таблица 3.4Ответы к вариантам задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№вариантаРешение u ( x )№вариантаРешение u ( x )1ex 2  x  e x  e x295sin x  2 cos x  2e x10x2  ex2(7  3 x )e x  23 2  x  sin x  sin x2h3 cos (2 x)  sin (2 x) 2 x [sin (2 x)  cos (2 x)]458 42 x  e 6 x3 33e x [(2 x    1) sin x 1112  cos x]3 72 x  e5 x5 551361 x 11 3 x 1 5 xe  e  e848147e2 x 1  2e x  e  1158712  e x  e7 x6654sin x  cos x  sin (2 x)3 2  x  3 x2  e x2 Таблица 3.5Варианты задачи Коши для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка№вариантаФункцииОтрезок[a , b]Начальныеусловияau1,0u2,0f1 ( x , u1 , u2 )f 2 ( x , u1 , u 2 )1 1 u21 u102122(u2  1) u21 (u1  x )02113x (u1u2 )02114 u2 xu2 1xu1  3u21320131e 1033156xu12 u1 xu2  (2  x )u1  5u2u1xb51Окончание табл.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6363
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее