ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

3.2, б), а соответствующийтрехшаговый метод Адамса третьего порядка точности имеет видyi 1  yi h(23 fi  16 fi 1  5 fi 2 ).12(3.12)Формулу (3.12) легко получить, если перейти к новой системекоординат, в которой координата x точки xi 1 равна нулю (см.рис. 3.2, б). Тогдаp( x )  ax 2  bx  c;p (  h )  ah 2  bh  c  f i 2 ,p (  h )  c  f i 1 ,p( h )  ah 2  bh  c  f i .Отсюда находимfi 2  2 fi 1  fi 2 fi  fi 2x x  fi 1.(3.13)2h 22hИнтегрируя выражение (3.13) на отрезке [h, 2h], получим формулу (3.12).Если l  4, то интерполяционный многочлен является кубическим и мы получаем формулу Адамса четвертого порядка точности:p( x ) yi 1  yi h(55 fi  59 fi 1  37 fi 2  9 fi 3 ).24(3.14)Многошаговые методы требуют в начале работы знания значений в первых l точках: y0 , y1 ,..., yl 1 .

Мы не можем использовать,например, формулу (3.14) при i  3. Выход из положения состоитв применении какого-либо одношагового метода того же порядка42точности, например метода Рунге — Кутты, до тех пор, пока небудет получено достаточное количество значений для проведениярасчетов с помощью многошагового метода.Примечание. Наряду с рассмотренными явными методами существуют и неявные методы интегрирования дифференциальных уравнений.Приведем два таких метода.Неявный метод Эйлера. Это метод первого порядка точности. Егорасчетная формула:yi 1  yi  hf ( xi 1 , yi 1 ), i  0,1, ..., n  1.(3.15)Чтобы найти yi 1 , надо решить это уравнение (может быть, нелинейное) относительно этой переменной.Метод трапеций. Это метод второго порядка точности.

В результатерешения уравненийhyi 1  yi  [ f ( xi , yi )  f ( xi 1 , yi 1 )], i  0, 1, ..., n  12(3.16)находятся значения yi 1 .3.1.4. Правило Рунге практической оценки погрешностиЭто правило (см. гл. 1 и 2) применимо для практической оценки погрешности и при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть yi( h ) — значение в точке xi приближенного решения y ( h ) задачи Коши (3.1) на отрезке [a , b],найденное с шагом h, где xi  a  ih, i  0,1, ..., n, n — число разбиений отрезка [a , b], h  (b  a ) n . И пусть yi( h 2) — значение втой же точке xi , но приближенного решения y ( h 2) , найденное сшагом h 2 , т. е. число разбиений в этом случае равно 2 n.

Считается, что y ( h 2) является решением задачи Коши (3.1) с погрешностью  , еслиyi( h 2)  yi( h ) ,2k  1где i  1, 2, ..., n; k — порядок точности численного метода (например, k  1 для метода Эйлера (3.4), k  4 для метода Рунге — Кутты(3.10)).43Алгоритм вычислений. Допустим, что мы ищем численное решение задачи Коши (3.1) с помощью метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности ( k  4). Опишем алгоритм вычислений,основанный на применении правила Рунге практической оценкипогрешности.

Численное решение находят методом итераций.Пусть l — номер итерации, yl — численное решение, найденное сшагом hl , где hl — расчетный шаг на l-й итерации. Очереднуюитерацию осуществляют следующим образом. Рассчитывают y l 1с шагом hl 1  hl 2 .После этого проверяют выполнение неравенстваyil 1  yil2k  1 ,(3.17)строго говоря, во всех общих точках xi решений y l и y l 1 .Обычно выполнение неравенства (3.17) проверяют не во всехобщих точках решений yl и y l 1 , а только в выделенных контрольных точках. В качестве контрольных можно взять узловыеточки {xi0 }, соответствующие начальному числу разбиения n0 сшагом h0 : xi0  a  ih0 , i  0,1, ..., n0 , h0  (b  a ) n0 . Число n0 (этоцелое число) определяется по формуле (см.

(1.20) и (1.21))n0  ba 1.k (3.18)где k — порядок точности метода; квадратные скобки, каки в (1.20) и (1.21), обозначают целую часть заключенного в нихчисла.Примечание. Еслиb  a b  a , т. е. если дробная часть числа kk  baравняется нулю, то 1 в формуле (3.18) можно не прибавлять.kПусть, например, k  4, [ a , b ] есть отрезок [0,1], а   0, 0001. Понятно,что в этом случае в качестве n0 можно взять число 10, а не 11 (как этоследует из (3.18)), тогда h0  0,1.443.2.

Интегрирование системобыкновенных дифференциальных уравненийпервого порядкаРассмотрим задачу Коши для нормальной системы m обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядкаu  f ( x , u), u( x0 )  u0 ,(3.19)где u  du dx , u1 ( x )  u1 ( x )  f1 ( x , u1 , ..., um ) ,u  , u , f ( x , u)    um ( x )  um ( x )  f m ( x , u1 , ..., um ) u0  {u1,0 , ..., um,0 }, x0 , ui ,0 , i  1, ..., m — заданные числа.В случае задачи Коши (3.19) изложенные приближенные методы интегрирования Эйлера, Рунге — Кутты и Адамса формальноостаются теми же, только функции u, f , y и коэффициенты k i вформулах Рунге — Кутты (3.9) и (3.10) заменяются соответственнона вектор-функции u, f и векторы y и ki . Правило Рунге применяется для каждой координаты вектора u в отдельности.Пусть, например, требуется найти на отрезке [a, b] решениезадачи Коши (3.19) для m  2, записанной в виде u1  f1 ( x1 , u1 , u2 ),  u1 ( x0 )  u1,0 ,x0  a u2  f1 ( x1 , u1 , u2 ),  u2 ( x0 )  u2,0 ,(3.20)или в векторной формеu  f ( x, u), u( x0 )  u0 , m  2,(3.21)где u1,0  u1 ( x )  u1 ( x )  f1 ( x, u1 , u2 ) , u, f ( x, u)  , u0  u  . u2 ( x )  u2 ( x )  f 2 ( x, u1 , u2 )  u2,0 Приведем для системы (3.21) расчетные формулы методовРунге — Кутты второго и четвертого порядков точности (аналогичные формулам (3.9) и (3.10)) в векторной и координатной формах.45Расчетные формулы метода Рунге — Кутты второго порядкаточности для системы (3.21):k1  hf ( xi , yi ),k2  hf ( xi  h, yi  k1 ),(3.22)1yi 1  yi  ( k1  k2 ), i  0,1, ..., n  1.2В координатной форме формулы (3.22) запишутся так:k1,1  hf1 ( xi , y1,i , y2,i ),k1,2  hf 2 ( xi , y1,i , y2,i ),k2,1  hf1 ( xi  h, y1,i  k1,1 , y2,i  k1,2 ),k2,2  hf 2 ( xi  h, y1,i  k1,1 , y2,i  k1,2 ),(3.23)1y1,i 1  y1,i  (k1,1  k2,1 ),21y2,i 1  y2,i  (k1,2  k2,2 ), i  0,1, ..., n  1.2Расчетные формулы метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности для системы (3.21):k1  hf ( xi , yi ),hkk2  hf  xi  , yi  1  ,22hkk3  hf  xi  , yi  2  ,22 k4  hf ( xi  h, yi  k3 ),(3.24)1yi 1  yi  (k1  2k2  2k3  k4 ), i  0,1, ..., n  1.2Координатная форма формулы (3.24) имеет вид:k1,1  hf1 ( xi , y1,i , y2,i ),k1,2  hf 2 ( xi , y1,i , y2,i ),kkhk2,1  hf1  xi  , y1,i  1,1 , y2,i  1,222246,kk hk2,2  hf 2  xi  , y1,i  1,1 , y2,i  1,2  ,222 kk hk3,1  hf1  xi  , y1,i  2,1 , y2,i  2,2  ,222 kkhk3,2  hf 2  xi  , y1,i  2,1 , y2,i  2,2  ,222k4,1  hf1  xi  h, y1,i  k3,1 , y2,i  k3,2  ,(3.25)k4,2  hf 2  xi  h, y1,i  k3,1 , y2,i  k3,2  ,1( k1,1  2k2,1  2k3,1  k4,1 ),61y2,i 1  y2,i  ( k1,2  2k2,2  2k3,2  k4,2 ), i  0,1, ..., n  1.6y1,i 1  y1,i Понятно, что вид формул в векторной форме (3.22) и (3.24) независит от количества уравнений m в системе (3.19).3.3.

Задание к лабораторной работеДля дифференциального уравнения (или системы уравнений)из предложенного варианта необходимо:1. Получить точное решение уравнения (системы уравнений)с заданными начальными условиями.2. Написать программу численного интегрирования дифференциального уравнения (системы уравнений) методом Рунге — Кутты второго или четвертого порядка точности. Для оценки точностивычислений воспользоваться правилом Рунге.3. Найти численное решение дифференциального уравнения(системы уравнений) с точностью   0, 0001 и оценить погрешность как максимум разности в узлах между точным решениеми решением, полученным численным методом.Оформите отчет по лабораторной работе.

Он должен содержать описание использованного численного метода, результатырасчетов и текст программы. Варианты задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядкови систем обыкновенных дифференциальных уравнений первогопорядка, а также ответы к ним представлены в табл. 3.1–3.6.47Таблица 3.1Варианты задачи Коши для обыкновенного дифференциальногоуравнения первого порядкаОтрезок [ a , b]№вариантаФункцияf ( x, u )abНачальноеусловие u0134561x u01222u xxu1 xe x uu1x ln x x22 xu  xe  x3uxx1 tg xu cos x2xu  1  x21  x213102100,50еe210211320 311323456789102u  e x  x0114112u  e3 x016512 u x  2 ln x  113102113sin11314482u e x (1  x ) 21 xu x cos xx15u  ex x12016171819(u  1) x1001320000e e u(sin x  u) cos x1  u x2xx3Окончание табл. 3.1№вариантаФункция20 ( x  u) x21u  cos x2223242u  xu  2 xu xu (2 x )f ( x, u )225262u  4 xuu ln  x x2u x27282930xu1 xx uОтрезок [ a , b]a1000110b3Начальноеусловие u0121233414421012e213202201111Таблица 3.2Ответы к вариантам задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка№вариантаОтвет№варианта14  x2102x2113( x  1) e  x12x 12 4e3 xe 2 x 5x ln x  1 x4 ln (2  e x )13( x  1) 2 e x51  ln (ln x)  ln x14x sin x15e x ln xx 16789e x2(1  x 2 2)x2  x3sin x  cos xx (1  x 2 )161718Ответe2 x  e x ex 1e  sin x  sin x  149Окончание табл.

3.2№вариантаОтвет№варианта19x ln (1 x )25xОтвет26e2 x  2 x  1211 xx 2(sin x  cos x ) 227xe1 x22(2 x 2  2 x  1) 42823e x  2 x  2x292x 22( x  1) e  x301  x22024Таблица 3.3Варианты задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№варианта50Функцияp( x)q( x )g ( x)1540201324Отрезок[a , b]ab02НачальныеусловияBA110131e032251201cos x01125044[sin (2 x)  cos (2 x)]643728x2225x013902ex131087140110901x04310104e2(1  x)01111160801212224e cos x2e13507011e3514015sin (2 x)0112315210123ex3ex6Таблица 3.4Ответы к вариантам задачи Кошидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка№вариантаРешение u ( x )№вариантаРешение u ( x )1ex 2  x  e x  e x295sin x  2 cos x  2e x10x2  ex2(7  3 x )e x  23 2  x  sin x  sin x2h3 cos (2 x)  sin (2 x) 2 x [sin (2 x)  cos (2 x)]458 42 x  e 6 x3 33e x [(2 x    1) sin x 1112  cos x]3 72 x  e5 x5 551361 x 11 3 x 1 5 xe  e  e848147e2 x 1  2e x  e  1158712  e x  e7 x6654sin x  cos x  sin (2 x)3 2  x  3 x2  e x2 Таблица 3.5Варианты задачи Коши для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка№вариантаФункцииОтрезок[a , b]Начальныеусловияau1,0u2,0f1 ( x , u1 , u2 )f 2 ( x , u1 , u 2 )1 1 u21 u102122(u2  1) u21 (u1  x )02113x (u1u2 )02114 u2 xu2 1xu1  3u21320131e 1033156xu12 u1 xu2  (2  x )u1  5u2u1xb51Окончание табл.

Характеристики

Список файлов книги