ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Понятно, что если одновременно c1  0 и c2  0 , то для оценки погрешности вычисления интеграла (2.1) правило Рунге в виде (2.15) неприменимо.Мы получили формулу (2.6) для вычисления интеграла в простейшем случае — для прямоугольной области. Если область непрямоугольная, то в ряде случаев исходный интеграл по такой области удобно преобразовать соответствующей заменой переменных к двойному интегралу по прямоугольной области. Например,если область задана в виде криволинейного четырехугольникаD  {a  x  b, 1 ( x )  y   2 ( x )} (рис. 2.2, a), то с помощью замены переменных x  x (u )  ( b  a )u  a , y  1 ( x (u ))  v   2 ( x ( u )) 1 ( x ( u ))  исходная область D преобразуется в квадратную область D   {0  u  1, 0  v  1} (рис.

2.2, б).Рис. 2.2. Область интегрирования задана в виде криволинейного четырехугольника D (а); исходная область D преобразуется в квадратнуюобласть D' (б)Напомним правило замены переменных в двойном интеграле. Если ограниченная замкнутая область D в плоскости Oxy взаимно однозначно отображается на область D на плоскости Ouv с помощьюнепрерывно дифференцируемых функций x  x (u, v ), y  y (u, v ),причем якобиан преобразования26xuJyuxv 0,yvто справедлива формула f ( x, y) dx dy   f ( x(u, v), y(u, v)) JDdu dv.DМетодом ячеек можно вычислить интеграл и по области сложной формы, например, с криволинейной границей (рис.

2.3).Интеграл в этом случае будемвычислять следующим образом.Наложим на область D прямоугольную сетку, и в интегральную сумму (2.6) будем включатьтолько те ячейки, все точки которых принадлежат области D .В итоге на порядок понижаетсяРис. 2.3. Область с криволиточность формулы (2.6), поэтомунейной границейдля вычисления интеграла с достаточной точностью требуется сетка с более мелкими ячейками.Следует отметить, что метод ячеек (2.6) легко переносится набольшее число измерений (для вычисления тройных и большейкратности интегралов). В случае однократного интеграла аналогомметода ячеек является метод средних прямоугольников (1.6), рассмотренный в гл.

1.2.1.2. Последовательное интегрирование с использованиемформулы трапецийДругой метод вычисления двойных интегралов — их сведениек последовательному вычислению однократных интегралов.Снова рассмотрим интеграл по прямоугольной области D = {a  x  b, c  y  d } (рис. 2.4). Интеграл (2.1) можно вычислитьпоследовательным интегрированием27d bI   f ( x, y ) dx dy     f ( x, y ) dx  dy.Dca(2.16)Это выражение перепишем в видеdbcaI   F ( y ) dy, F ( y )   f ( x, y ) dx.(2.17)Рис. 2.4. Сетка, используемая при приближенном вычислении интегралаДля вычисления этих интегралов могут быть использованыформулы из гл.

1. Например, пусть и по направлению x, и понаправлению y для приближенного вычисления применяетсяформула трапеций (1.7). ТогдаnF ( y j )  h1  q1,i f ( xi , y j ),(2.18)i 0где1 2 , i  0, m;q1,i  1, i  1, 2, ..., m  1,иnI  h2  q2, j F ( y j ),j 0где281 2 , j  0, n;q2, j  1, j  1, 2, ..., n  1.(2.19)Подставляя выражение (2.18) в (2.19), получаем формулу последовательного интегрированияmnI  I h  h1h2   qij f ( xi , y j );(2.20)i 0 j 0qij  q1, i q2, j1 4, 1 2,1,i  0, m; j  0, n;i  0, m; j  1, ..., n  1, j  0, n; i  1, ..., m  1;i  1, ..., m  1; j  1, ..., n  1.На рис.

2.4 приведена сетка, которая используется при приближенном вычислении интеграла (2.1) по формуле (2.20). Точками, кружочками и квадратиками показаны узловые точки, в которых коэффициенты qij  1, 1 2 и 1 4 соответственно.Легко убедиться в том, что для дважды непрерывно дифференцируемой функции f ( x , y ) формула (2.20) имеет второй порядокточности относительно шагов h1 и h2 и что можно применитьправило Рунге практической оценки погрешности.Примечание. Если в методе последовательного интегрирования воспользоваться формулой средних прямоугольников при интегрированиипо каждому из направлений x и y, то в результате получится расчетнаяформула метода ячеек (2.6).Случай сложной области.

Метод последовательного интегрирования можно непосредственно применять и к области произвольнойформы, например, с криволинейной границей (см. рис. 2.3). Однакодля получения простых расчетных формул на практике всегда стараются свести исходный интеграл к сумме интегралов по прямоугольным областям.2.1.3. Последовательное интегрирование с использованиемквадратурных формул ГауссаДля получения квадратурной формулы более высокой точности, чем формулы (2.20), можно воспользоваться квадратурнымиформулами Гаусса. При этом предварительно заменой переменных x ( u )  ( a  b ) 2  u (b  a ) 2 , y ( v )  ( c  d ) 2  v ( d  c ) 2 пря29моугольная область {a  x  b, c  y  d } преобразуется в квадратную область D  {1  u  1,  1  v  1}. Поэтому будем считать,что с самого начала требуется вычислить интеграл по областиD  {1  x  1,  1  y  1}:I   f ( x, y ) dx dy D1 1f ( x, y ) dx dy.(2.21)1 1Применяя для интегрирования (2.21) и по направлению x, и понаправлению y квадратурную формулу Гаусса с одинаковым числом узлов, получаем следующую формулу последовательного интегрирования:nnI n   qi q j f ( xi , y j ).(2.22)i 1 j 1Значения координат узловых точек и весовых коэффициентовпо направлениям x и y берутся из табл.

1.1.Рис. 2.5. Расположение узловых точек квадратурной формулы Гаусса:для n = 3 (а), для n = 4 (б)Расположение узловых точек для n  3 и n  4 проиллюстрировано на рис. 2.5, a и б соответственно.302.2. Задание к лабораторной работеДля предложенного варианта лабораторной работы вычислитедвойной интеграл по области D, где D — криволинейный четырехугольник {a  x  b, 1 ( x )  y   2 ( x )} :I   f ( x, y ) dx dy.DВыполните вычисление:1.

Аналитически.2. Численно с точностью до   0, 0001: методом ячеек; последовательным интегрированием с использованиемформулы трапеций для интегрирования по направлениям x и y.При численном решении область D предварительно отобразитев квадрат D (см. рис. 2.2). Для оценки погрешности воспользуйтесь правилом Рунге.Оформите отчет. Он должен содержать: постановку задачи иописание методов ее решения, текст программы, результаты расчетов.Примечание. Результаты расчетов вывести на печать с пятью значащими цифрами после запятой. На основе сравнения приближенных значений интеграла, вычисленных методом ячеек и последовательным интегрированием, с точным значением убедиться в том, что приближенныевычислены с заданной точностью.

На печать вывести значения числаитераций l , шагов h1 и h2 , а также чисел разбиений m и n , позволившие достигнуть заданной точности вычисления методом ячеек и последовательным интегрированием.Варианты лабораторной работы и ответы представлены втабл. 2.1 и 2.2.Таблица 2.1Варианты лабораторной работыОбластьD№вариантаab1 ( x )2 ( x )12301012 3x21 x1  ln xcos x00Функция f ( x )xy 2eysin x (1  y )31Окончание табл. 2.1ОбластьD№вариантаab1 ( x )2 ( x )41ex2ln x5120x601x21 x71 62 2ln x1  ln xey0xsin xcos x (1  y )x ln ( xy )832Функция f ( x )y xx21  xyx2 y12eln x2xx111203 xx  y2121ln x1302 301  ln x1 cos xe x yy tg x14120x4 x 2 ln (1  xy )151201601171 21 x1  2 ln (1  x )e x  y (1  x )180 60ln (1  x )1 sin xy ctg x19130x2xln ( y x)201201x210101 xx 1  xyx  y222110x23010ex24121 xx25130x22612x 2x272 2x2x2281 30xcos ( x  y )291208 x 2 y ln (1  xy 2 )30130xx9110xy x2 x 2 y 1  xy 2 x  y2x xe xy( x  x 2 )e x cos  xy  3e ln ( x  y ) x1  (1  x 2 )(1  y ) y x ( x2  y2 )2e yx1 1  e2 yxТаблица 2.2Ответы лабораторной работы№ вариантаОтвет№ варианта193 1201623e 2  11732 ln 2  1,5ln1,5  0,5180,754( 3e 2194 (2 ln 2  1) 2 (2 2  1)  3 24e  43) 12Ответ5 12 e 1e2510 5 8 21315206187 4202171,5(e  1)221122( e  e1 8  7 8) 382 ln 2  1,5ln1,5  0,523(9e2 ) (22 )2910 ln 2  389247 ln 2  410(3e 2  5) 122572 14451226 4  arctg(1 2)12e 2 ( e  1)27e(3e 3  e  6) 2130,7528 0, 251425ln 5  4 ln 2  25,52925ln 5  4ln 2  25,51510 5 8 2131530113 1 2 e4 ln  1  1  e2 333.

ЗАДАЧА КОШИДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙПостановка задачи. Требуется найти решение u ( x ) задачиКошиu   f ( x, u ), u ( x0 )  u0 ,(3.1)где u   du dx , x0 и u0 — заданные числа.Из курса дифференциальных уравнений известно, что еслифункция f ( x , u ) непрерывна в замкнутой прямоугольной областиG  { x  x0  A, u  u0  B} и удовлетворяет в этой области условию Липшица по аргументу u , то можно указать отрезокx  x0  , на котором задача Коши (3.1) имеет единственное решение. Если вдобавок функция f ( x , u ) имеет непрерывные производные по обоим аргументам до k-го порядка включительно, то решение u ( x ) имеет непрерывные производные до (k + 1)-го порядкавключительно. В ряде случаев задача Коши может быть решенааналитически, однако для большинства задач, представляющихпрактический интерес, такое решение найти невозможно.

Характеристики

Список файлов книги