ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 f cn  ,(1.6)aгде h  (b  a ) n , f ci  f ( xci ); xci  a  (i  1 2) h, i  0, 1, ..., nкоординаты средних точек частичных отрезков [ xi 1 , xi ].—Рис. 1.3. Составная квадратурная формула средних прямоугольниковПогрешность Rn получается в результате суммирования погрешностей по частичным отрезкамh3 nh3  1 nf() i 24 n  n  f (i )  ,24 i 1 i 1где xi 1  i  xi . В соответствии со сформулированной выше леммой последнее выражение для Rn можно переписать в видеRn 9Rn h3(b  a )nf ( )  h 2f ( ),   [a, b].2424Пусть M — максимальное значение модуля второй производной функции f ( x ) на отрезке [a , b], т. е.

M  max f ( x ) ; тогдаx[ a ,b ]из выражения для Rn получаем следующую оценку:Rn  h2(b  a)M.24Это означает, что погрешность формулы средних прямоугольников на всем отрезке интегрирования [a, b] есть величина O ( h 2 )(см. определение 2).В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.Примечание. Возможны формулы прямоугольников и при ином, чемв формуле средних прямоугольников, расположении узлов.

Например,bnf ( x )dx   hf xi 1 ,i 1abanf ( x )dx   hf xi .i 1Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является величиной O ( h ) , т. е. порядок точности этих формул на единицуниже порядка точности формулы средних прямоугольников.Составная квадратурная формула трапеций имеет видb f0 f ( x)dx  h  2  f1  f2  ...  fn1 afn ,2(1.7)где f i  f ( xi ), xi  a  ih, h  ( b  a ) n , i  0, 1, ..., n.Аналогично предыдущему случаю можно получить выражениедля погрешности Rn составной формулы трапецийRn  h 2(b  a )f (),  [a, b].12Тогда имеет место оценкаRn  h 210(b  a ) M, M  max f ( x ) .x [ a , b ]12Таким образом, формула трапеций (1.7) имеет, так же как иформула средних прямоугольников (1.6), второй порядок точности Rn  O ( h 2 )  ; следует заметить, что ее погрешность оцениваетсявеличиной, в два раза большей, чем погрешность формулы средних прямоугольников.Составная квадратурная формула Симпсона записывается так:bann 1hf ( x ) dx   f 0  f 2n  4 f 2i 1  2 f 2i  ,3i 1i 1(1.8)где f j  f ( x j ); x j  a  jh; h  (b  a ) (2n); j  0, 1, ..., 2n.Погрешность составной формулы Симпсона имеет видRn  h4(b  a) (IV)f(), [a, b].180Отсюда получаем оценкуRn  h 4(b  a ) M, M  max f (IV) ( x) ,x [ a , b ]180т.

е. составная формула Симпсона существенно точнее, чем формулы средних прямоугольников и трапеций. Она имеет на отрезке[a, b] четвертый порядок точности  Rn  O ( h 4 )  .Из выражений погрешностей видно, что формулы среднихпрямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, т. е. для линейных функций, а формула Симпсона точна длямногочленов третьей степени (для них погрешность равна нулю).1.1.5. Квадратурные формулы ГауссаБудем считать, что интеграл предварительно приведен к стандартной форме, когда областью интегрирования является отрезок[1, 1].

Итак, пусть1I f ( x) dx.1Мы рассматривали до сих пор квадратурные формулы с заданными узлами и убедились, что формулы средних прямоугольников11и трапеций точны для многочленов первой степени, а формулаСимпсона — для многочленов третьей степени. Пусть мы имеемквадратурную формулу с n узловыми точкамиnI n   qi f ( xi ).(1.9)i 1Если считать неизвестными не только весовые коэффициентыqi , но и узлы xi , то можно потребовать, чтобы квадратурная формула (1.9) была точна для полиномов наиболее высокой степени m.Такую формулу называют квадратурной формулой Гаусса.

Приэтом оказывается, что m  2 n  1.Формула (1.9) должна быть точна для f ( x )  1, x, x 2 , ..., x 2 n 1 ,т. е.nIn  i 111qi xilxl 11  (1)l  x dx ,l  1 1l 11lгде l  0, 1, ..., 2n  1.В результате для узлов xi и коэффициентов qi получим следующую систему 2n нелинейных уравнений: q1  q2  ...  qn  2, q x  q x  ...  q x  0,n n 1 1 2 222 q1 x1  q2 x2  ...  qn xn2  0, ........................................1  ( 1)2 n 1 q1 x12 n 1  q2 x22 n 1  ...  qn xn2 n 1 .2n(1.10)В простейшем случае n  1 систему (1.10) можно решить иубедиться в том, что полученная формула Гаусса совпадает с формулой средних прямоугольников I n  2 f (0) и что она верна длялюбой линейной функции f ( x )  c0  c1 x.

В общем случае припроизвольном n можно показать, что узлами квадратурной формулы Гаусса являются корни полинома Лежандра Pn ( x ), а весовые коэффициенты вычисляются по формуле121q j   Q n1, j ( x ) dx, j  1, ..., n,(1.11)1где подынтегральная функцияQ n 1, j ( x ) ( x  x 1 )( x  x 2 ) ( x  x j 1 )( x  x j 1 ) ( x  x n )( x j  x 1 )( x j  x 2 ) ( x j  x j 1 )( x j  x j 1 ) ( x j  x n ).Функция Q n 1, j ( x ) является полиномом степени ( n  1).В числителе у него стоит произведение (n – 1) множителей( x  xi ), i  1, ..., n, i  j; в знаменателе — значение числителя вузле x  x j .

Таким образом, полином Q n 1, j ( x ) в узлах xi принимает следующие значения:0, i  j ,Q n 1, j ( xi )  1, i  j.Полиномы Лежандра определяются формулойPn ( x ) 1 dn 2( x  1)n , n  0, 1, 2, ... .nn2 n ! dx(1.12)Согласно (1.12), P0 ( x )  1, P1 ( x )  x. Для последующих значений n можно воспользоваться рекуррентным соотношениемnPn ( x )  (2 n  1) xPn 1 ( x )  ( n  1) Pn  2 ( x ).Пользуясь этой формулой, выпишем полиномы Лежандра дляn  2, 3, 4, 5:11P2 ( x )  (3x 2  1); P3 ( x)  (5x 3  3x),2211P4 ( x )  (35x 4  30 x 2  3); P5 ( x )  (63x 5  70 x 3  15 x ).88Графики полиномов Pn ( x ) до n  5 представлены на рис.

1.4.Полиномы Лежандра с четными номерами являются четнымифункциями, а с нечетными номерами — нечетными функциями. Полиномы Лежандра Pn ( x ) в точках x  1 принимают следующие13Рис. 1.4. Графики полиномов Лежандра Pn ( x ) до n  5:а — n  1, 3, 5; б — n  2, 4значения: Pn (1)  1, Pn ( 1)  ( 1) n . На интервале ( 1, 1) многочленPn ( x ) имеет n простых нулей.

В силу четности или нечетностиPn ( x ) нули полиномов Лежандра располагаются симметрично относительно точки x  0.Можно показать, что весовые коэффициенты q j (1.11) квадратурной формулы Гаусса положительны. Кроме того, в симметричных относительно точки x  0 корнях полинома Лежандраx j   xn ( j 1) весовые коэффициенты, соответствующие этим уз-лам, совпадают при любом n : q j   qn ( j 1) .Приведем значения корней xi и соответствующих им весов qiквадратурных формул Гаусса для n  1, ..., 5:n  1: x1  0, q1  2;n  2 :  x1  x2  1 3, q1  q2  1;(1.13)n  3 :  x1  x3  3 5, x2  0, q1  q3  5 9 , q2  8 9;n  4 :  x1  x4  (15  2 30) 35,  x2  x3  (15  2 30) 35,q1  q4  (18  30) 36, q2  q3  (18  30) 36;14n  5 :  x1  x5  (35  2 70) 63,  x2  x3  (35  2 70) 63,q1  q5  (322  13 70) 900, q2  q4  (322  13 70) 900,x3  0, q3  128 225.(1.13)Численные значения узлов xi и весов qi (1.13) с десятью десятичными знаками после запятой приведены в табл.

1.1.Таблица 1.1Координаты узловых точек и весовые коэффициентыквадратурной формулы ГауссаЧислоузлов n12Номеругловойточки i411212315234132345Координатаугловой точки xiВесовойкоэффициент q i0x1   x20,5773502692x1   x300,7745966692x1   x4x2   x30,33998104360,8611363116x1   x5x2   x400,53846931010,9061798459211q1  q30,88888888890,5555555556q1  q4q2  q30,65214515490,3478548451q1  q5q2  q30,56888888890,47862867050,23692688511.2. Правило Рунге практической оценки погрешностиПри выводе формулы средних прямоугольников предполагалось, что f  C 2 [a , b].

Погрешность этой формулы, выражающаяся через вторую производную f ( x ), есть величина O ( h 2 ). Если15подынтегральная функция имеет производные старших порядков,то можно получить более содержательную оценку погрешности.Если f  C 4 [a , b], то можно получить следующее выражениеbдля I   f ( x )dx :aI  I hпр  ch 2  O(h 4 ),(1.14)где I hпр — значение интеграла, вычисленное по составной формуле средних прямоугольников с шагом h, h  (b  a ) n ; c — постоb1f ( x ) dx.янная, не зависящая от h, c 24 aВеличина ch 2 в выражении (1.14) называется главной частьюпогрешности формулы средних прямоугольников.

Может случиться, что c  0. Тогда главная часть погрешности формулы среднихпрямоугольников является величиной порядка h 4 . Но обычноc  0.Если f  C 4 [a , b], то можно получить также соотношениеI  I hтр  c1h 2  O (h 4 ),(1.15)где I hтр — приближенное значение интеграла I , найденное по составной формуле трапеций с шагом h; c1 — постоянная, не завиbсящая от h, c1  1f ( x )dx.12 aЕсли f  C 6 [a, b], то аналогично выражениям (1.14) и (1.15)можно получить следующее соотношение:I  I hC  c2 h 4  O( h 6 ),(1.16)где I hC — приближенное значение интеграла I , найденное по составной формуле Симпсона; c2 — некоторая не зависящая от hпостоянная.Правило Рунге. Пусть I h — приближенное значение интегралаI, найденное по одной из трех рассмотренных составных формул16(по формулам средних прямоугольников, трапеций и Симпсона).Объединим соотношения (1.14), (1.15) и (1.16) в одно:I  I h  ch k  O ( h k  2 ),(1.17)где c не зависит от h; k — порядок точности квадратурной формулы ( k  2 для составных формул средних прямоугольников итрапеций, k  4 для составной формулы Симпсона).

Предполагается, что f  C k  2 [a , b].На основании формулы (1.17) можем записать, чтоkhI  I h 2  c    O ( h k  2 ).2(1.18)Вычитая равенство (1.18) из (1.17), находимkhI h 2  I h  c   (2k  1)  O ( h k  2 ).2Отсюдаh k Ih 2  Ihc    k O ( h k  2 ),(2  1)2и, следовательно, согласно формуле (1.18), с точностью доO ( h k  2 ) имеемIh 2  Ih Ih 2  Ih.(2 k  1)(1.19)Вычисление приближенной оценки погрешности по формуле(1.19) при выполнении условия (1.17), т. е. при возможности представления значения интеграла I в виде (1.17), называется правилом Рунге.Вычитая из умноженного на 2k равенства (1.18) равенство(1.17), получаемI (2k  1)  2k I h 2  I h  O(h k 2 ).ОтсюдаI  I h*  O ( h k  2 ),17гдеI h* 2k I h 2  I h2k  1.Число I h* называется уточненным по Ричардсону приближенным значением интеграла I .1.3. Задание к лабораторной работеДля предложенного варианта лабораторной работы необходимо:b1.

Вычислить интеграл I   f ( x )dx аналитически.a2. Вычислить интеграл численно с точностью до   0,0001: по формуле средних прямоугольников; по формуле трапеций; по формуле Симпсона.Точность вычислений определяется с помощью правила Рунге.Точность  , с которой необходимо найти приближенное значениеинтеграла, считается достигнутой, когда в процессе вычисленийбудет выполнено неравенствоIh 2  Ih(2k  1) .Алгоритм вычислений с использованием правила Рунге. Приближенное вычисление интеграла с заданной точностью  проводим методом итераций.

Характеристики

Список файлов книги