ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому,когда подобная задача встречается на практике, получают приближенное решение с помощью численных методов, в частности конечно-разностных методов.3.1. Численные методы решения задачи КошиПри изучении численных методов для задачи Коши будем считать, что она имеет единственное решение в замкнутой прямоугольной области D a x b, c u d . Пусть требуется найти решение задачи (3.1) на отрезке [ a, b]. Введем на отрезке [a, b] сетку hiследующим образом:34hi {a x0 x1 ... xn 1 xn b},где точки xi , i 0,1, ..., n называются узловыми точками, или узлами сетки, hi xi xi 1 , i 1, ..., n — шагами сетки; n — натуральное число. Если hi h const, то такую сетку будем обозначать h и называть равномерной. Сетку h можно задать так:h { xi x0 ih, x0 a , h (b a ) n , i 0,1, ..., n}.(3.2)В этой главе в дальнейшем будем пользоваться равномернойсеткой h с шагом h.Пусть ui u ( xi ) — значение точного решения (3.1) в точке xi ,а yi — соответствующее приближенное значение, полученное спомощью рассматриваемого численного метода.3.1.1.
Явный метод ЭйлераПредположим, что функция f ( x, u ) в рассматриваемой области D имеет непрерывные частные производные f ( x , u ) x иf ( x , u ) u . В таком случае, как отмечалось выше, решение задачиКоши (3.1) имеет непрерывную вторую производнуюf ( x, u ) f ( x, u )u ( x) f ( x, u ).(3.3)xuЯвный метод Эйлера определяется формулами(3.4)yi 1 yi hf ( xi , ui ), i 0, 1, ...
, n 1,где y0 u0 .Соотношения (3.4) метода Эйлера получают следующим образом. Функцию u ( x ) разлагаем по формуле Тейлора в окрестноститочки xi :h2u (i ) 2h2u (i ), u ( xi ) hf ( xi , u ( xi )) (3.5)2где i [ xi , xi 1 ], i 0, 1, ..., n 1. Затем отбрасываем остаточныйчлен и заменяем значения u ( xi ) на yi .u ( xi 1 ) u ( xi ) hu ( xi ) 35На рис. 3.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.Изображены первые два шага метода, т. е.
проиллюстрировано вычисление значений y1 и y 2 при x x1 и x x2 . Интегральные кривые a0 , a1 и a2 описывают точныерешения уравнения u f ( x, u ) сначальными условиями u ( x0 ) u0 y0 , u ( x1 ) y1 и u ( x2 ) y2соответственно. При этом криваяa0 соответствует точному решению задачи Коши (3.1), так как онапроходит через начальную точкуA0 ( x0 , u0 ). Точки A1 и А2 получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера.Рис. 3.1. Геометрическая интер- Их отклонение от кривой a0 характеризует погрешность метода.претация метода ЭйлераУже при выполнении первого шагамы фактически сразу попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок A0 A1 — отрезок касательной к кривой a0 в точке A0 .
Тангенсугла наклона касательной A0 A1 равен значению производнойu0 f ( x0 , u0 ). Касательная A1 A2 проводится уже к другой интегральной кривой a1. Таким образом, погрешность метода Эйлераприводит к тому, что на очередном шаге решение переходит на другую интегральную кривую.Пример.
Явным методом Эйлера решить задачу:u u x, u (0) 1.Решение. Используя (3.4), получаемy0 1;y1 y0 h ( y0 x0 ) 1 h;y2 y1 h( y1 x1 ) 1 h h(1 h h) 1 2h 2h 2 ;y3 y2 h( y2 x2 ) 1 3h 6h 2 2h336и т. д. С другой стороны, точным решением является функцияu ( x) 1 x 2e x . Сравним точное решение с полученным приближенным:h 2 1 u1 u ( h) 1 h 2e h 1 h 2 1 h e 2 1 h h 2 e1 , 0 1 h;4 h 2 2 u2 u (2h) 1 2h 2e 2 h 1 2h 2 1 2h e 2 1 2h 4h 2 e2 , 0 2 2h.Аналогичноu3 u (3h) 1 3h 9h 2 e3 , 0 3 3h.Видно, что численное решение отличается от точного на величину, содержащую члены второго порядка h 2 и выше, с коэффициентами, растущими с номером i. Ниже покажем, что ошибка вметоде Эйлера всегда не превышает значения Ch, где C — постоянная, не зависящая от h.Вообще главный вопрос для любого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений yi .Определение 1.
Локальной ошибкой вычислений при x xiназывается величинаi u ( xi ) yi .Эта ошибка зависит от приближенного метода, использованного при подсчете yi , от функции f ( x, u ) и точности вычислений.Поэтому говорят, что локальная ошибка зависит от методическойошибки i( m ) (т. е. от ошибки вычислений, связанной с методомнахождения приближенного решения) и ошибки округления (напрактике все значения, полученные в результате вычислений, берутся с конечным числом знаков). Ошибку округления можноуменьшить, повышая точность арифметических вычислений, а методическая ошибка не зависит от точности вычислений, и поэтомуза счет повышения точности вычислений ее устранить нельзя.37Иными словами, методическая ошибка совпадает с локальнойошибкой для абсолютно точно найденных значений yi .Определение 2.
Глобальной методической ошибкой на отрезке[a; b] называется величина ( m ) max i( m ) .1 i nДля использования на практике пригодны лишь те методы численного решения, для которых( m ) 0 при h 0.Определение 3. Численный метод решения задачи (3.1) называется методом k-го порядка точности, если( m ) O ( h k ) при h 0 ,или, иначе,( m ) Ch k при h 0,(3.6)где C const 0 зависит от f ( x, u ), a, b и численного методарешения задачи (3.1), но не зависит от h.Покажем, что метод Эйлера является методом первого порядкаточности.
Будем полагать, что арифметические вычисления проводятся точно, и поэтому локальная и методическая ошибки совпадают. Докажем следующее утверждение.Лемма. Пусть при любом i 0,1, ..., n 1 справедлива оценкаi 1 (1 c1h )i c2 h k 1 ,(3.7)где h (b a ) n ; c1 и c2 — постоянные, не зависящие отh , c1 0, c2 0. Тогда соответствующий метод численного интегрирования задачи (3.1) является методом k-го порядка точности.Доказательство.
В соответствии с определением надо доказать оценку (3.6). Заметим, что0 u ( x0 ) y0 u ( x0 ) u0 0.Из оценки (3.7) имеемi 1 (1 c1h )i c2 h k 1 (1 c1h )[(1 c1h )i 1 c2 h k 1 ] c2 h k 1 38 (1 c1h )2 i 1 c2 h k 1[1 (1 c1h )] ... (1 c1h )i 1 0 c2 h k 1[1 (1 c1h ) ... (1 c1h )i ] c2 h k 1(1 c1h )i 1 1.(1 c1h ) 1Заметим теперь, что(1 c1h )i 1 exp{(i 1) ln (1 c1h )} exp{(i 1)c1h} ba(i 1) ec1 ( ba ) .nС помощью этого последнего неравенства из предыдущей цепочки неравенств следует оценка exp c1 i 1 [c2 ( e c1 ( ba ) 1)] kh ,c1выполняющаяся для всех i 0, 1, ..., n 1.
Сравнивая последнее неравенство с неравенством (3.6) и полагая C c2 ( e c1 ( b a ) 1) c1 ,убеждаемся в справедливости леммы.Теперь, в соответствии с леммой, чтобы доказать, что методЭйлера является методом первого порядка точности, достаточнопроверить неравенствоi 1 (1 c1h)i c2 h k 1при всех i 0,1, ..., n 1.Вычитая (3.4) из равенств (3.5), получаемui 1 yi 1 ui yi h[ f ( xi , u ( xi )) f ( xi , yi )] h2u( i ). (3.8)2По теореме Лагранжа о конечном приращении функции имеемf ( xi , u( xi )) f ( xi , yi ) f ( xi , i )(ui yi ),uгде точка i лежит между точками ui и yi .С помощью последнего равенства из соотношения (3.8) находим оценкуi 1 i c1hi c2 h 2 i (1 c1h ) c2 h 2 ,39гдеc1 max fu( x, u) , c2 0,5 max f x( x, u ) fu( x, u ) f ( x, u ) ( x, u )D( x, u )D(см.
формулу (3.3)).Таким образом, доказано, что явный метод Эйлера имеет первый порядок точности.3.1.2. Методы Рунге — КуттыРассмотрим теперь методы, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью.Метод Рунге — Кутты второго порядка точности. Его расчетные формулы:k1 hf ( xi , yi ),k2 hf ( xi h, yi k1 ),1yi 1 yi ( k1 k2 ), i 0, 1, ..., n 1.2(3.9)Метод Рунге — Кутты четвертого порядка точности. Вычисления с помощью этого метода проводят по формулам:k1 hf ( xi , yi ),hkk2 hf xi , yi 1 ,22hkk3 hf xi , yi 222,(3.10)k4 hf ( xi h, yi k3 ),yi 1 yi 1(k1 2k2 2k3 k4 ), i 0,1, ..., n 1.6Мы рассмотрели методы, для которых при вычислении yi 1нужно знать лишь значение yi , а значения приближенного решения в предшествующих точках не входят в расчетные формулы.Иными словами, одношаговые методы — это методы с «короткойпамятью».
Если «память метода» получше, то его называют мно40гошаговым. Более точно метод численного интегрирования задачиназывать l-шаговым, если при вычислении значения yi 1 используют l величин yi l 1 , yi l 2 , ..., yi yi 1.3.1.3. Многошаговые методы АдамсаИз (3.1) следует, чтоu( xi 1 ) u( xi ) xi 1xiu( x )dx xi 1f ( x, u( x ))dx xixi 1p( x )dx,xiгде p ( x ) — полином, аппроксимирующий f ( x, u ( x)) .Пусть f i f ( xi , yi ), где yi — приближенное решение задачи(3.1), и в качестве p ( x ) возьмем интерполяционный полином,проходящий через l ранее найденных точек ( x j , f j ),( j (i l 1), (i l 2), (i l 3), ..., i ), включая текущую точку( xi , f i ).
Если l 1, то имеем явный метод Эйлера (3.4). Если l 2,то p ( x ) — линейная функция (рис. 3.2, a), проходящая через дветочки ( xi 1 , fi 1 ) и ( xi , f i ) :p( x ) ( xi x )( x xi 1 )fi 1 f i , p( xi 1 ) f i 1 , p( xi ) fi .hhРис. 3.2. Метод Адамса — Башфорта:а — второго порядка точности; б — третьего порядка точности41Интегрируя полином от xi до xi 1 , получаем двухшаговый метод Адамса второго порядка точности (он также называется методом Адамса — Башфорта):hyi 1 yi (3 fi fi 1 ).2(3.11)Если l 3, то p( x ) — парабола, проходящая через точки( xi 2 , f i 2 ), ( xi 1 , f i 1 ) и ( xi , f i ) (рис.