ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (864364), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

На l-й итерации вычисляем значениеI l  I h интеграла I по одной из трех требуемых составных формул приближенного вычисления интегралов с шагом hl , затемнаходим значение I l 1  I h 2 по той же составной формуле, но сшагом hl 1  lh 2 . Если для найденных значений I l и I l 1 выполняется неравенствоI l 1  I l ,(1.20)(2k  1)то точность считается достигнутой. В противном случае проводимследующую итерацию: I l присваиваем значение I l 1 , увеличива18ем в два раза число разбиений n , находим новое значение I l 1 иопять проверяем выполнение условия (1.20).При вычислении начального приближения I 0 (для l  1 ) в качестве шага h0 можно взять значение h0  k  . Однако при этомсоответствующее значению h0 первоначальное число разбиенийn0 , если его определять по формуле n0  ( b  1) h0 , скорее всегоокажется не целым числом.

Число разбиений n по своему смыслуна каждой итерации l должно быть целым, поэтому вначале надозадавать число разбиений, а затем вычислять шаг, соответствующий данному числу разбиений. Это можно сделать следующимобразом. Для формул средних прямоугольников и трапеции:b  aban0  ; 1, h0 (1.21)n0  для формулы Симпсона:baban0   4   1, h0 .2n02  (1.22)В этих формулах квадратные скобки обозначают целую частьзаключенного в них числа.3. Дать оценку сверху погрешности вычислений, используяформулы, выражающие R n через соответствующие производныеподынтегральной функции.4.

Оценить погрешность как разность между точным значением интеграла и значением, полученным численным методом.5. Сравнить между собой погрешности, полученные в п. 3 и 4.6. Оформить отчет по лабораторной работе. Отчет должен содержать описание использованного метода, результаты и текстпрограммы.Варианты лабораторной работы и ответы представлены втабл. 1.2.Таблица 1.2Варианты лабораторной работы№ варианта12a00b11Функция f ( x )ex12 x  1 ln 2Ответе2 ln 219Окончание табл. 1.2№ вариантаbФункция f ( x )3x 1 ln 3Ответ3 ln 330140,10,1eln (10 x)0,150,20, 2eln (5 x )0,267810121еx 2  16 xe (e  1)  ln 21( e 3  1) 3  169012 x  e x1e10122x 1 x3  ln 21 x7  ln 21 xexxe x11123x 21213140001114 x31 (1  x 2 )1ee 415011  2 xe  x21e12 xe x2e 116171820a001e x2x  ex11eln 2 xxe  xx2e131901x (1  x 4 )82012e1 x x 2e eln (3 2)21ln 22ln 21 ( e x  1)220 2cos3 x sin (2 x)25231 2( x  sin x) (1  cos x) 22411 ( x  x2 )2502 22601e xexee  e270,50, 5eln(2 x )12280129013001ex5xcos x4x 1 ln 510 x  1 ln10ln(4 3)(e  2  1) 21 ln 45 ln 510 ln102.

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛАПостановка задачи. Требуется вычислить двойной интегралI   f ( x, y ) dx dy,(2.1)Dгде f ( x , y ) — непрерывная в области D функция двух переменных x и y. На практике редко удается выразить интеграл черезэлементарные функции и найти его точное значение. Поэтомуобычно для вычисления интегралов применяются методы численного интегрирования.

Они основаны на замене подынтегральнойфункции f ( x , y ) аппроксимирующими ее функциями, интегралыот которых легко вычисляются в элементарных функциях. В качестве аппроксимирующих функций, например, можно использоватьмногочлены.2.1. Численные методы вычисления двойного интегралаРассмотрим два способа численного интегрирования: методячеек и последовательное интегрирование.2.1.1. Метод ячеекПусть сначала область интегрирования является прямоугольником D  {a  x  b, c  y  d }. Среднее значение f ( x , y ) непрерывной в области D функции f ( x , y ) по теореме о среднем представляется выражением1(2.2)f ( x , y )   f ( x , y ) dx dy , S  (b  a )( d  c ).S DСчитая, что среднее значение приближенно равняется значению функции в центре прямоугольника: f ( x , y )  f ( x , y ), где21x  ( a  b ) 2 , y  ( c  d ) 2, из соотношения (2.1) получаем простейшую формулу для приближенного вычисления двойного интеграла: f ( x, y) dx dy  S f ( x , y ).(2.3)DНайдем погрешность формулы (2.3).

Функцию f ( x , y ) будемсчитать достаточно гладкой, т. е. будем полагать, что она имеетвсе необходимые для хода рассуждения непрерывные производные. Разложим функцию f ( x , y ) по формуле Тейлора, принимаяцентр прямоугольника (точку ( x , y )) за точку разложения:f ( x , y )  f ( x , y )  ( x  x ) f x( x , y )  ( y  y ) f y ( x , y ) 1 ( x  x ) 2 f xx ( x , y )  ( x  x )( y  y ) f xy ( x , y ) 21 ( y  y )2 f yy ( x , y )  ...(2.4)2Погрешность есть разность точного и приближенного значенийинтеграла.

Подставляя в (2.3) формулу (2.4), получим главныйчлен погрешностиbdR    f ( x, y ) dx dy  S f ( x , y ) ac1S (b  a )2 f xx ( x , y )  (d  c)2 f yy ( x , y ) ,(2.5)24где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат производные старших порядков и более высокие степени длин сторон прямоугольника D . Заметим, что всечлены разложения, являющиеся нечетными функциями относительно центра прямоугольника, не вносят вклад в погрешность,поскольку интегралы от этих членов оказываются равными нулю.В общем случае длины сторон прямоугольника (b  a ) и(d  c ) не малы, поэтому главный член погрешности (2.5) можетбыть велик.

Для повышения точности вычислений в области D(рис. 2.1) вводится сетка xi  a  ih1 , y j  c  jh2 , i  0, 1, ..., m,j  0, 1, ..., n; h1  ( b  a ) m , h2  ( d  c ) n с достаточно мелкимиячейками Dij  xi 1  x  xi , y j 1  y  y j , i  1, ..., m; j  1, ..., n.22Рис. 2.1. Разбиение на ячейки области интегрирования DВычисляя интеграл для каждой ячейки по формуле (2.3) и суммируя найденные значения по всем ячейкам, получаем формулуметода ячеекmnI  I h   Sij f ( xi , y j ),(2.6)i 1 j 1гдеSij  h1h2—площадьячейки;xi  ( xi 1  xi ) 2 ,yj  ( y j 1  y j ) 2 — координаты центра ячейки.

Здесь и далее пустьI h будет приближенным значением интеграла (2.1), вычисленнымпо формуле (2.6) с шагами h1 и h2 .Справа в выражении (2.6) стоит интегральная сумма, поэтому длялюбой непрерывной функции f ( x , y ) эта сумма сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.Погрешность интегрирования (2.5) для одной ячейки Dijпредставляется в видеRij 1Sij  h12 f xx ( xi , y j )  h22 f yy ( xi , y j )  .24(2.7)Суммируя выражения (2.7) по всем ячейкам, получаем погрешность метода ячеекR  c1h12  c2 h22 ,(2.8)гдеc1 11f xx ( x, y ) dx dy , c2 f yy ( x, y ) dx dy,24 D24 D23илиR  O ( h12  h22 ),(2.9)т.

е. метод ячеек имеет второй порядок точности относительно шагов сетки h1 и h2 .Заметим, что поскольку в оценке (2.7) отброшены более высокиестепени h1 и h2 , то соотношение для погрешности (2.8) являетсяасимптотическим, т. е. выполняется при h1  0 и h2  0 с точностью до членов более высокого порядка малости по h1 и h2 .Для вычисления интеграла (2.1) с заданной точностью можновоспользоваться, как это следует из (2.9), правилом Рунге практической оценки погрешности.

С помощью разложения f ( x , y ) вокрестности центра каждой ячейки по формуле Тейлора до членов спроизводными четвертого порядка можно не только получить оценку главного члена погрешности (2.9), но и оценить следующие попорядку малости h1 и h2 члены погрешности. Заметим, что члены вразложении f ( x , y ) по формуле Тейлора, содержащие производныетретьего порядка, в силу симметрии области интегрирования Dijотносительно точки разложения не вносят вклад в погрешность интегрирования. Поэтому, для того чтобы учесть следующие послеглавного члена по порядку малости h1 и h2 члены погрешности,необходимо разлагать f ( x , y ) до членов, содержащих производныечетвертого порядка.

В результате интеграл (2.1) можно представитьв видеI  I h  c1h12  c2 h22  O  h14  h12 h22  h24  .(2.10)Выражения для c1 и c2 были приведены выше (см. (2.8)).Здесь важно подчеркнуть, что c1 и c2 — не зависящие от h1 и h2постоянные величины, причем они не должны одновременно обращаться в 0.Таким образом, если известен главный член погрешности, томожно увеличить точность вычисления интеграла (2.1)I  I h  c1h12  c2 h22 .(2.11)Однако постоянные c1 и c2 являются неизвестными величинами.

Для того чтобы вычислить интеграл (2.1) с учетом главного24члена погрешности, можно поступить следующим образом. Сначала находим значение I h , затем — значение I h 2 . Здесь I h 2 —значение интеграла (2.1), вычисленное по формуле (2.6) с шагамиh1 2 и h2 2 . Теперь, наряду с выражением (2.11), можно написать соотношение22hhI  I h 2  c1  1   c2  2  .2 2 (2.12)Тот факт, что сетка по каждой переменной x и y сгущается водинаковое число раз, позволяет в выражении (2.11) выделитьглавный член погрешности  c1 ( h1 2) 2  c2 ( h2 2) 2  формулы (2.12):h 2h 2I  I h  4  c1  1   c2  2   . 2  2(2.13)Из выражений (2.12) и (2.13) следует, чтоh 2h 2h 2h 2I h  4  c1  1   c2  2    I h 2   c1  1   c2  2   . 2   2  2 2Из этого соотношения получаем выражение для главного членапогрешности формулы (2.12)h 2h 2 Ih 2  Ih.c1  1   c2  2  32 2(2.14)Теперь, согласно (2.12), имеем приближенную оценку погрешности по правилу Рунге:I  Ih 2 Ih 2  Ih3.(2.15)Наконец, подставляя выражение (2.14) в (2.12), получаем значение интеграла (2.1) с учетом главного члена погрешности, т.

е.I  I h* 4Ih 2  Ih,3где I h* — уточненное по Ричардсону значение интеграла I .25Примечания. 1. Подчеркнем, что для практической оценки погрешности по правилу Рунге сетка по каждой переменной сгущается одинаковоечисло раз, т. е. отношение m / n при сгущении сетки должно оставатьсяпостоянным. В противном случае не удается в результате двойного пересчета интеграла (2.1) по двум сеткам с разными размерами ячеек составить формулы типа (2.11) и (2.12), из которых можно найти главный членпогрешности.2.

Характеристики

Список файлов книги