opbvshmt (862065), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:⎧⎪⎨ 1 − 2 = −121 + 2 + 3 = 3⎪⎩ + =12312Решение.⃒⃒⃒ 1 −1 0 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒det = ⃒ 2 1 1 ⃒ = 0 − 1 · ⃒⃒+1·⃒⃒=⃒⃒⃒0⃒21⃒1⃒⃒01 1⃒= −(1 − 0) + (1 + 2) = 2,⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −1 −1 0 ⃒⃒⃒⃒ −1 −1 ⃒⃒ −1 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒Δ1 = ⃒ 3 1 1 ⃒ = 0 − 1 · ⃒⃒+1·⃒⃒=⃒⃒ 1⃒ 3⃒1⃒1⃒⃒ 11 1⃒= −(−1 + 1) + (−1 + 3) = 2,⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 −1 0 ⃒⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒Δ2 = ⃒ 2 3 1 ⃒ = 0 − 1 · ⃒⃒+1·⃒⃒=⃒⃒0⃒2⃒1⃒3⃒⃒01 1⃒= −(1 − 0) + (3 + 2) = 4,⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 −1 −1 ⃒⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒ 1 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒Δ3 = ⃒ 2 1 3 ⃒ = 0 − 1 · ⃒⃒+1·⃒⃒=⃒⃒2⃒2⃒3⃒1⃒⃒01 1⃒= −(3 + 2) + (1 + 2) = −2,Δ12откуда 1 = det = 2 = 1, 2 =Ответ: (1; 2; −1).Δ2det =42= 2, 3 =Δ3det =−22= −1.Задание 6.
Решить систему линейных уравнений, указать частное решение и фундаментальную систему решений соответствующей однороднойсистемы:⎧⎪⎨ 51 + 32 + 53 + 124 = 1021 + 22 + 33 + 54 = 4⎪⎩ + 7 + 9 + 4 = 21234Решение. Запишем расширенную матрицу системы линейных уравнений и будем совершать элементарные преобразования над её строками. Сперва просто уменьшим числа:⎞⎛⎞⎛I − 2II1 −1 −1 2 25 3 5 12 10⎟⎜⎟⎜→⎝2 2 3 5 4⎠⎝2 2 3 5 4⎠1 7 9 4 21 7 9 4 2Дальше будем решать, руководствуясь методом Жордана — Гаусса, т.е.превращая столбцы матрицы системы в столбцы из нулей и единиц так, чтобы в полученных столбцах оказалось ровно по одной единице, все единицыстояли в разных строчках, а число таких столбцов оказалось равным числуненулевых строчек:13⎞⎛⎞1 −1 −1 2 21 −1 −1 2 2I − 2II⎟⎜⎜⎟2 3 5 4 ⎠ II − 2I → ⎝ 0 4 5 1 0 ⎠−→⎝ 217 9 4 2III − I0 8 10 2 0III − 2II⎛⎛ 1 2 3 41 −9 −11 0→ ⎜45 1⎝00 00 0⎞2⎟0⎠0Неизвестные 1 и 4 — базисные (им соответствуют столбцы из нулей иединиц), а 2 и 3 — свободные.
Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице и выделим базисные неизвестные:{︃1 − 92 − 113 = 242 + 53 + 4 = 0Теперь выразим базисные неизвестные через свободные, а свободные —через самих себя:⎧⎪1 = 2 + 92 + 113⎪⎪⎨ =22⎪3 = 3⎪⎪⎩4 = −42 − 53Запишем эти равенства в матричной форме, получив таким образом общее решение системы линейных уравнений:(︂ )︂ (︂ )︂(︂ 9 )︂(︂ 11 )︂21210= 00 + 2+ 3.3014−40(︂ )︂Тогда2000(︂— частное решение, а)︂ (︂91 ,0−4−5)︂1101−5— фундаментальная си-стема решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.Задание 7.
Найти характеристический многочлен матрицы⎛⎞2 −1 2⎜⎟3 ⎠.⎝ 5 −3−1 0 −214Решение.⃒⃒⃒⃒ 2−⃒⃒−12⃒⃒⃒ −12 ⃒⃒⃒⃒⃒3+1−3 − 3 () = ⃒ 5⃒ = (−1) (−1) ⃒⃒ + 0+⃒⃒⃒ −3 − 3 ⃒⃒ −10−2 − ⃒⃒⃒⃒ 2−−1 ⃒⃒⃒3+3+(−1) (−2 − ) ⃒⃒ = −(−3 + 6 + 2)+⃒ 5−3 − ⃒+(2 − )((2 − )(−3 − ) + 5) = −3 − 2 + (2 − )((2 − )(−3 − ) + 5) == −3 − 2 + (2 − )(−6 + 3 − 2 + 2 + 5) == −3 − 2 + (2 − )(2 + − 1) == −3 − 2 + (22 − 3 + 2 − 2 − 2 + ) = −3 + 2 + − 5.Задание 8. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей , и указать матрицуданного оператора в базисе из собственных векторов:(︃)︃−3 1=.3 −1Решение.⃒⃒ −1 − 3⃒det( − ) = ⃒⃒3−1 − ⃒⃒⃒⃒ = (−1 − )2 − 32 = (−4 − )(2 − ) = 0,⃒откуда у оператора есть два собственных значения = 2 и = −4.Случай = 2. Решим систему линейных уравнений( − )x = x.Запишем расширенную матрицу системы:(︃−3 3 03 −3 0)︃(︃II + I→−3 3 00 0 0)︃13I(︃→−1 10 0Неизвестная 2 — базисная, а 1 — свободная. Получаем−1 + 2 = 0.Таким образом,{︃т.е.1 = 1 ,2 = 1 ,( 12 ) = 1 ( 11 ) .1500)︃Отсюда v1 = ( 11 ) — столбец координат собственного вектора, отвечающего собственному значению = 2.Случай = −4.
Снова решаем систему линейных уравнений( − )x = x,записав расширенную матрицу системы:)︃(︃)︃(︃3 3 03 3 0→3 3 0II − I0 0 013I(︃→1 1 00 0 0)︃Неизвестная 1 — базисная, а 2 — свободная. (Учитывая, что в даннойматрице первые два столбца совпадают, можно было бы выбрать и наоборот.)Получаем1 + 2 = 0.Таким образом,{︃т.е.1 = −2 ,2 = 2( 12 ) = 2 ( −11 ) .Отсюда v2 = ( −11 ) — столбец координат собственного вектора, отвечающего собственному значению = −4.(︃)︃ (︃ )︃ (︃ )︃−3 112v1 === 2v1 + 0 · v2 ,3 −112(︃)︃ (︃)︃ (︃)︃−3 1−14= 0 · v1 + (−4) · v2 ,v2 ==3 −11−4откуда матрица линейного оператора в базисе v1 , v2 равна(︃)︃2 0′ =.0 −4Задание 9. а) Заданы комплексные числа 1 = 2 + 3 и 2 = 1 + .Вычислить 1 ± 2 , 1 2 , 21 , ¯1 , ¯2 и указать расположение чисел 1 и 2 накомплексной плоскости.√б) Решить уравнение 2 − 2 + 1 = 0 в комплексных числах и представить ответ в тригонометрической и показательной формах.16 = + 41 = 2 + 3322 = 1 + 0123Рис.
1: Расположение точек 1 = 2 + 3 и 2 = 1 + на комплексной плоскости.Решение.а)1 + 2 = (2 + 3) + (1 + ) = 3 + 4,1 − 2 = (2 + 3) − (1 + ) = 1 + 2,1 = 2 − 3,2 = 1 − .При умножении комплексных чисел воспользуемся соотношением2 = −1:1 2 = (2 + 3)(1 + ) = 2 + 3 + 2 + 2 = 2 + 5 + 2 = 2 + 5 − 1 = 1 + 5.При делении числа 1 на 2 домножим знаменатель на число 2 , комплексно сопряжённое к знаменателю 2 :2 + 3 (2 + 3)(1 − ) 2 + 3 − 2 − 322++3 5+ 5 31====== + .21+(1 + )(1 − )1 − 21+122 2√б) 2 − 2 + 1 = 0, откуда√︂(︁ )︁√√ 22±2 − 4 · 1 · 1 √2 ± √−2 √2 √21,2 ===±,2222√√221 =+,22√√222 =−.22Вычисляем модуль чисел 1 и 2 :⎯(︃⎸ √ )︃2 (︃ √ )︃2 √︂⎸221 1+ ±=+ = 1.|1 | = |2 | = ⎷222 217Таким образом, )︁=1·4,1 = 1 cos + sin44(︁ )︁)︁(︁(︁ )︁+ sin −= 1 · − 4 .2 = 1 cos −44(︁Контрольное домашнее задание №2.Аналитическая геометрия, математическая логика,дискретная математика, математический анализ идифференциальные уравненияЗадание 10.
В трёхмерном пространстве заданы координаты четырёхточек , , и . Доказать, что эти точки не лежат на одной плоскости и,приняв их за вершины пирамиды, найти:а) длину ребра и уравнение прямой, которая проходит через это ребро;б) площадь грани и уравнение плоскости, которая проходит через этугрань;в) угол между рёбрами и ;г) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;д) объём пирамиды.10.1.10.2.10.3.10.4.10.5.10.6.10.7.10.8.10.9.10.10.(2; 1; 0), (3; 3; 5), (5; 3; 1), (9; −2; 9);(5; 2; 0), (2; 5; 0), (1; 2; 4), (−1; 1; 1);(−2; 0; 4), (−1; 7; 1), (4; −8; −4), (1; −4; 6);(2; −1; 2), (1; 2; −1), (3; 2; 1), (−4; 2; 5);(−1; 2; −3), (4; −1; 0), (2; 1; −2), (3; 4; 5);(1; −1; 1), (−2; 0; 3), (2; 1; −1), (2; −2; −4);(1; 2; 0), (1; −1; 2), (0; 1; −1), (−3; 0; 1);(1; 0; 2), (1; 2; −1), (2; −2; 1), (2; 1; 0);(1; 3; 0), (4; −1; 2), (3; 0; 1), (−4; 3; 5);(0; 3; 2), (−1; 3; 6), (−2; 4; 2), (0; 5; 4).Задание 11.
Построить таблицу истинности функции алгебры логики:11.1. (¬) ∧ ( → (¬ ∨ )); 11.2.11.3. (¬ ∨ ) → ( ∧ );11.4.11.5. ( → ) ∧ ( ∨ ¬);11.6.18(¬ → ) → ( → );(¬ ∧ ) ∨ ( → );(¬ → ) → ( ∨ );11.7. ( ∧ ) ∨ ( → ¬);11.9. ∧ ( → ¬) → ¬;11.8. ∨ ¬ ∨ ( → );11.10. ( ∨ ( → )) → ( → ¬).Задание 12. Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя:√32 −11−6+73; б) lim 2 +2−3 ; в) lim 2−1; г) lim arctg;12.1. а) lim33−−1tg8→1→1→0(︁)︁→±∞д) lim 2+2;2+1→±∞423√2+2 −3+2 −−212.2. а) lim 6 1−2; б) lim 242 −−1 ; в) lim→±∞→1→3(︁ )︁−4;д) lim +3+12+3−33+2−2 ;→±∞12.3.3+32 +4lim 21+15−3 ;→±∞а)2 −4lim 3 +22 −−2 ;→−2б)2г) lim 1−cos;tg2 6→0√− 2−lim 2;→1 +5−6√в)1г) lim ctg 5 · tg 3; д) lim (1 + sin ) ;→0д)→052 +4+112.4. а) lim 3+−22 ;→±∞ln(+3)−ln 3lim;→012.5.
а)б)43+22;lim 7 −345−2→±∞√2−25lim 2−4−5;→5в) lim→−12−4lim 2−3−4;→4б)+2+2 −1 ;2г) lim sin3·tgsin 4 ;→0√4+1−32 +−6 ;→2в) lim sin г) lim cos6−1 ;→0д) lim ( + 1)(ln(2 + 5) − ln 2);→±∞12.6. а)21+2+322;→±∞ 5−6−22lim√222+9−5−2+13 −5б) lim 3−2 −+1 ; в) lim 2 −6−16 ; г) lim tg 3 ;→1→8→02д) lim (ln(3 − 1) − ln(3 ));→±∞12.7.25 +33 +25 ;→±∞ 1+ −3limа)limб)2 +3+2→−13 +22 −−2;2√ ;lim1 √21 +3−2в)2 +−→ 222)2г) lim sin 7−sin; д) lim ln(1+7;sin 32→012.8.
а)→0−32 +23lim 3 2;→±∞ 5 −6 +3+2д) lim (2 − 5)2 −9→312.9. а)д) lim (4 − 7)→2√в) lim→41+2−32 −3−42; г) lim tgctg52 ;→0;24 +32 +4lim 64 −3 +2 ;→±∞+3−2б)2+2−3lim 3 +42 +3 ;→−3б)32−+1lim 3 −2 −−1 ;+→1√в) lim→−12 ++4−2;+13−cos г) lim cossin;22→0;422+3 −7+3612.10. а) lim 5; б) lim 2 −4−21; в) lim √−2−35; г) lim 1−cos;52tg+2−3→±∞ 4 − +2→−3→7→0(︁ )︁+7д) lim +3.+2→±∞Задание 13. Найтипроизводную функций:√(︀ )︀313.1. а) () = sin + √233−+2 ; б) () = ln · sin 2 + cos(2 − ln );в) () = 22−+ln ;√213.2.
а) () =cos + √3 32 −2+1; б) () = − · ctg 3 + tg 3 ;в) () =4+3sin 2−+ 3;19113.3. а) () = 9+4+ √4 12; б) () = sin 8 · ln(1 − ) + sin(ln 2);3 +10(︁)︁2sin в) () = 1+cos;√13.4. а) () = ln − √4 222 +3 ; б) () = (92 +1) arcctg 3+cos(2 −ln );2+в) () = −2 ;√3313.5. а) () = 3 cos + √3 ++ sin(3 );2 −2 ; б) () = sin 2 · в) () = ln 2−1 + ln 3;√(︀)︀313.6.
а) () = arcsin − √25 +4+3; б) () = sin 4 · ln + tg −3 ;2в) () = 1−cos1+cos 2 + √3;(︀)︀13.7. а) () = 3 2 − 1· 4 − 1 ; б) () = ctg ·arcsin 2+ctg(arcsin 2);31в) () = 1−2 + ln ;√213.8. а) () = arctg + √3 23 +3+5; б) () = cos 4 · tg 3 + log4 (tg 3);2в) () = +6+1ln ;√13.9. а) () = 4 − 2 + arcsin 2 ; б) () = 3 ctg 3 + arccos (3 );√︁в) () = 3 · 3 2+12−1 ;√−1√13.10. а) () = (2 +2);б)()=sin·ln(3−)+arctg2 + 1;2 +2в) () =1+21−2 .Задание 14. Вычислить пределы функций с помощью правило Лопиталя:14.1.а) limб) lim tg 2−2;314.2.а)б) lim 14.3.а)14.4.а)14.5.3а) lim tg −1+cos; б) −−14.6.а) lim 14.7.а)14.8.а)sin 7;→ tg 53lim 3−sin;3→0−sin lim tg−sin ;→0lim tgsin−14 ;→→0б)б)4→0−− −2;→0 sin −lim −arctg;3→0sin lim 1−2cos3 ;→б)б)б)614.9.3−3+2а) lim 3−2 −+1 ;→1;14.10.
а) lim 1−cossin2 б)б)→0−3−sin ;→05lim 3 ;→+∞lim ln ;→+∞lim ln2 ;→+∞ lim ln sin 5 ;→+0 ln sin 3lim 2+1−;→0 +sin lim ln ;→+0 ctg 3+2 sin lim +1−−2 ;→0ln cos lim.→ 2 −0 ln tg Задание 15. Произвести исследование функции (найти область определения, исследовать на непрерывность, найти экстремумы, области возрастания и убывания, области выпуклости и вогнутости, точки перегиба, построитьасимптоты) и построить её график:15.1.=7−2 −125−2 ;15.2 =22 −82 +7+12 ;2015.3 = 3 · − ;15.4. =15.7. =15.10 =2 −422 +8+6 ;32 −122 −1 ;2 −432 −12+9 .15.5 = ( − 1)3+1 ; 15.6 =215.8 = 4− ;15.9 =2 −5+62+3 ;2 −7+125+2 ;Задание 16.
Вычислить неопределённые интегралы:∫︁∫︁216.1. а) ( + 3) ;б) tg ;√ ;( + 1) ∫︁16.2.а)∫︁16.3.а)5 ( + 1) ;а) √;1 − 2∫︁16.6.а)∫︁16.7.16.8.∫︁б)sin2 ;а)∫︁∫︁ ;4 + 1∫︁5sin cos ;16.10. а)б) ;1 − 47 ;(3 + 1) cos 2 ; б)а)√∫︁б)∫︁16.9.√cos √;ln ;б) ( + 1) ;∫︁∫︁sin3 cos ;∫︁2а)sin cos 7 ;б)(2 − 1) sin 3 ; б) cos2 ;∫︁∫︁а)∫︁16.5.б)(2 − 1) cos 3 ; б)∫︁16.4.∫︁( − 1) ln .Задание 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
