А.Е. Тарасов - Конспект по спецразделам физики для РТФ (849605), страница 20
Текст из файла (страница 20)
энергетические уровни расположены стольтесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямысоизмеримысразмерамистенки(),тодляэлектрона, т.е. получаются явно дискретные значения энергии(линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице впотенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениямэнергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицылишних ограничений не накладывает.123Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, чточастица в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками» не может иметьэнергию меньшую, чем минимальная энергия, равная.
Наличие отличной от нуляминимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей.Неопределенность координаты Δx частицы в яме шириной l равна: Δx = l. Тогда согласносоотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случаенулевое, значение. Неопределенность импульса:Такомуразбросузначенийимпульсасоответствуеткинетическаяэнергия. Все остальные уровни имеют энергию, превышающую это значение.Из функций (3.3.23) и (3.3.29) следует, что при больших квантовых числах, т.е.
соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если почень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательностиуровней,и характерная особенность квантовых процессов – дискретность –сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора,согласно которому законы квантовой механики должны при больших значенияхквантовых чисел переходить в законы классической физики.Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория,являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себяклассическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенныхпредельных условиях новая теория переходит в старую.124ЛЕКЦИЯ 163.3.10. Гармонический осциллятор в квантовой механикеквазиупругой силы.Потенциальная энергия частицы(3.3.32),(3.3.33)где.Гармонический осциллятор в квантовой механике описывается уравнениемШредингера:(3.3.34).Значения Ψ-функции мы находить не будем. Нас интересуют значения полнойэнергии осциллятора:,(3.3.35)где n = 0, 1, 2…Рис.
3.3.9не зависит от n, в отличие от прямоугольной потенциальной ямы.125называется нулевой энергией, т.е. приМинимальная энергияколебания атомов К в кристаллической решетке не прекращаются.В квантовой механике вычисляется вероятность различных переходов квантовойсистемы из одного состояния в другое. Для гармонического осциллятора возможны лишьпереходы между соседними уровнями.Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы изодного состояния в другое, называются правилами отбора. Для гармоническогоосциллятора правило выражено формулой:.Из (3.3.35) вытекает, что энергия квантового осциллятора изменяется толькопорциями, т.е. квантуется.
Причем, как и в прямоугольной яме, энергия ограничена снизуминимальным значением– энергия нулевых колебаний (прямое следствие соотношения неопределенностей).Это означает, что частица не может находиться на дне потенциальной ямы.Плотность вероятности нахождения частицыизображена на рис.
3.3.8.Как и в случае прямоугольной потенциальной ямы, при n = 2 в середине ямы частицанаходиться не может. Это совершенно непонятно с классической точки зрения.Квантуется не только энергия, но и координата частицы.3.3.11.ПрохождениеТуннельный эффектчастицсквозьпотенциальныйбарьер.Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 3.3.10) дляодномерного (по оси х) движения частицы.126Рис.
3.3.10. Потенциальный барьер прямоугольной формыДля потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можнозаписать:При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либобеспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будетдвигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, чточастица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеетсятакже отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнетсквозь барьер.
Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера,описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:(3.3.36),(3.3.37).Общее решение этих дифференциальных уравнений:(3.3.38)127В данном случае, согласно (3.3.37),– мнимое число, гдеМожно показать, что A1 = 1, B3 = 0, тогда, учитывая значение q,получим решениеуравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:(3.3.39)В области 2 функция (3.3.39) уже не соответствует плоским волнам,распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, адействительные.Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис.
3.3.10. Из рисункаследует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, еслибарьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом,т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовомуявлению – туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройтичерез барьер.Коэффициентпрозрачностидлябарьерапрямоугольнойформы.Для барьера произвольной формыПрохождениечастицысквозь.барьерможнопояснитьсоотношениемнеопределенностей.
Неопределенность импульса на отрезке Δx = l составляетСвязанная с этим разбросом кинетическая энергияможет оказаться достаточной длятого, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройтичерез барьер.С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приE < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладатьотрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическимквантовым эффектом.Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осциллятореприводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения.128Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области (,) (рис. 3.3.11), т.е. за точками 0 и l(рис. 3.3.7).Рис.
3.3.11Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньшепотенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.Основы теории туннельных переходов заложены работами советских ученых Л.И.Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозьпотенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (напримерявления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики(например α-распад, протекание термоядерных реакций).129ЛЕКЦИЯ 173.3.12.
Элементарная теория БораБОР Нильс Хендрик Давид (1885–1962) – выдающийся датскийфизик-теоретик, один из создателей современной физики.Сформулировал идею о дискретности энергетических состоянийатомов, в свете новых идей построил атомную модель, открыв условияустойчивости атомов, и объяснил большой круг явлений. Создалпервую квантовую модель атома, основанную на двух постулатах,которые прямо противоречили классическим представлениям изаконам.
Автор теории составного ядра, один из создателей капельноймодели ядра и теории деления атомного ядра.Бор высказал предположения, которые были названы постулатами Бора.· Первый постулат(постулат стационарных состояний): электроны движутсятолько по определенным (стационарным) орбитам. При этом, даже двигаясь сускорением, они не излучают энергию.· Второй постулат(правило частот): излучение и поглощение энергии в видекванта света (hn) происходит лишь при переходе электрона из одного стационарногосостояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий техстационарных состояний, между которыми совершается скачок электрона:.Отсюда следует, что изменение энергии атома, связанное с излучением припоглощении фотона, пропорционально частоте ν:или.(3.3.40)Правило квантования орбит: из всех орбит электрона возможны только те, длякоторых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка:,(3.3.41)где n = 1, 2, 3,… – главное квантовое число.Получим выражение для энергии электрона в атоме.Рассмотрим электрон (рис.
3.3.12,а), движущийся со скоростьюядра с зарядом Ze (при Z = 1 – атом водорода).в поле атомного130абРис. 3.3.12. Электрон движущийся в поле атомного ядраУравнение движения электрона имеет вид:(3.3.42).Из формулы (3.3.42видно, что центробежная сила равна кулоновской силе, где.Подставим значение υ из (3.3.41) в (3.3.42) и получим выражение для радиусовстационарных орбит (рис.
3.3.12,б):(3.3.43).Радиус первой орбиты водородного атома называют боровским радиусом. При n =1, Z= 1 для водорода имеем:Å = 0,529·10–10 м.Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядронеподвижно) и потенциальной энергией взаимодействия электрона с ядром:.Из уравнения движения электрона следует, что, т.е. кинетическаяэнергия равна потенциальной. Тогда можно записать:131.Подставим сюда выражение для радиуса первой орбиты и получим:(3.3.44).Здесь учтено, что постоянная Планка, т.е..Для атома водорода при Z = 1 имеем:(3.3.45).Из формулы (3.3.45) видно, чтот.к.
n = 1, 2, 3….принимает только дискретные значения энергии,Схема энергетических уровней, определяемых уравнением (3.3.45) показана на рис.3.3.13.Рис. 3.3.13. Схема энергетических уровнейПри переходе электрона в атоме водорода из состояния n в состояние k излучаетсяфотон с энергией:.Частота излучения:132.Получена обобщенная формула Бальмера, которая хорошо согласуется сэкспериментом. Выражение перед скобками, как уже было сказано, носит названиепостоянной Ридберга:.Серьезным успехом теории Бора явилось вычисление постоянной Ридберга дляводородоподобных систем и объяснение структуры их линейчатых спектров. Боруудалось объяснить линии спектра ионизованного гелия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
