А.Е. Тарасов - Конспект по спецразделам физики для РТФ (849605), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

считать, что вероятность обнаружитьмикрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такоетолкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятностьобнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что неимеет смысла.Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, чтопо волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудойвероятности и обозначаемая. Эту величину называют также волновойфункцией (или-функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, ивероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:(3.3.13)где, где– функция комплексно-сопряженная с Ψ.Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функцииимеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции(квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождениячастицы в момент времени в области с координатами x и dx, y и dy, z и dz.Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому –с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об ихкорпускулярных и волновых.(3.3.14)Величина(квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотностивероятности, т.е.

определяет вероятность нахождения частицы в единице объема вокрестности точки, имеющей координаты x, y, z. Таким образом, физический смыслимеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуляинтенсивность волн де Бройля., которым определяетсяВероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласнотеореме о сложении вероятностей, равна:116.Т.к.определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψпредставить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если заобъем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данномусловии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условиенормировки вероятностей:(3.3.15)где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е.

покоординатам x, y, z отдо . Таким образом, условие нормировки говорит обобъективном существовании частицы во времени и пространстве.Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояниямикрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ,характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должнабыть:·конечной (вероятность не может быть больше единицы);·однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);·непрерывной (вероятность не может меняться скачком).Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система можетнаходиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями,,…, то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этихфункций:,где(n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратамимодулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию отклассической статистической теории, в которой для независимых событий справедливатеорема сложения вероятностей.Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов.Например, среднее расстояниеэлектрона от ядра вычисляется по формуле,117где вычисления проводятся, как и в случае (3.3.15).3.3.7.

Уравнение ШредингераТолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели квыводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающей движениемикрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бывытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должнобыть уравнением относительно волновой функции, т.к. именно величинаосуществляет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. вобласти с координатами x и,yи,zи.

Т.к. искомое уравнение должноучитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобноуравнению, описывающему электромагнитные волны.Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г.Шредингером.ШредингерЭрвин(1887–1961) – австрийский физик-теоретик, один изсоздателей квантовой механики.Основные работы в области статистической физики, квантовой теории, квантовоймеханики, общей теории относительности, биофизики. Разработал теорию движениямикрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений –приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоенНобелевской премии.Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется.

Правильность этогоуравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов,что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:(3.3.16)где m – масса частицы,i2 – мнимая единица,– оператор Лапласа– потенциальная энергия частицы в силовом поле,в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция.118Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U независит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решениеуравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит толькоот координаты, а другой – только от времени:(3.3.17).Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остаетсяпостоянной.

Чтобы убедиться в справедливости выражения 3.3.17, подставьте его ввыражение (3.3.16), и вы получите уравнение Шредингера для стационарныхсостояний:,(3.3.18).Уравнение Шредингера можно записать в видеВ этом уравнении.– оператор Гамильтона, равный сумме операторов. Гамильтониан является оператором энергии E.В квантовой механике другим переменным также и динамическим сопоставляютсяоператоры.

Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, моментаимпульса и т.д.119ЛЕКЦИЯ 153.3.8. Движение свободной частицыСвободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Т.к. насвободную частицу (пусть она движется вдоль оси x) силы не действуют, топотенциальная энергия частицыи ее можно принять равной нулю. Тогдаполная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.

В таком случае уравнениеШредингера для стационарных состояний примет вид:(3.3.19).Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения(3.3.19) является функция, гдеи, с собственнымзначением энергии:(3.3.20).Функцияпредставляет собой только координатную частьволновой функциипредставить в виде:.

Зависящую от времени волновую функцию можно,где(3.3.21).Функция (3.3.21) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.Из выражения (3.3.20) следует, что зависимость энергии от импульса(3.3.22)оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергиясвободной частицы может принимать любые значения, т.е.

ее энергетический спектрявляется непрерывным.Таким образом, свободная частица описывается плоской монохроматической волнойде Бройля. Этому способствует не зависящая от времени плотность вероятностиобнаружения частицы в данной точке пространства:120,т.е. все положения свободной частицы являются равновероятностными.3.3.9. Частица в одномерной прямоугольной ямеПроведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно кчастице, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такаяяма описывается потенциальной энергией U(x) следующего вида:где l – ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна (рис.

3.3.7).хРис. 3.3.7Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачизапишется в виде:(3.3.23).По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределыямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. На границахямы волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничныеусловия в таком случае имеют вид:.В пределах ямы ((3.3.24)) уравнение Шредингера (3.3.23) сводится к уравнению(3.3.25)121(3.3.26)Общее решение дифференциального уравнения:.А т.к. по (3.3.24), то B = 0. Тогда(3.3.27),уравнениенеобходимо, чтобывыполняется только при, где n – целые числа, т.е.(3.3.28).Из выражений (3.3.26) и (3.3.28) следует, что энергия частицы зависит от n:(3.3.29),где n = 1, 2, 3… .Т.е.

стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы впотенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только присобственных значениях En, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия Enчастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишьопределенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии Enназываются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни –главным квантовым числом.Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокимистенками может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или,как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.Подставив k в (3.3.27), из (3.3.28) найдем собственные функции:Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (3.3.15), которое дляданного случая запишется в виде.122В результате интегрирования получим, а собственные функции будут иметьвид:(3.3.30).абРис.

3.3.8. Графики собственных функцийГрафики собственных функций (3.3.8), соответствующие уровням энергии (3.3.29) прип = 1, 2, 3, приведены на рис. 3.3.8, а. На рис. 3.3.8, б изображена плотность вероятностиобнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы:для п = 1, 2, 3… . Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать вее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления отраекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.Из выражения 3.3.29 следует, что энергетический интервал между двумя соседнимиуровнями равен:(3.3.31).Например, для электрона при размерах ямы(свободные электроны вметалле), т.е.

Характеристики

Список файлов лекций