1631124748-1020295736676d0fa42fba833334c36e (848593), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Эти коэффициенты были получены по формулеlj = Lj/Qff / = 1,2,3В то же время величины Lj были представлены как показатели, харак­теризующие распределение затрат труда работников (с учетом редук­ции) между отраслями:L = Z, LjТ> действительностиJВпроцесс именно таков: имеется общий ресурс жи­вого труда L, он распределяется между отраслями — получаются от­раслевые затраты живого труда Lj; в отраслях создается продукцияв объемах Qj, й тогда определяются средние коэффициенты /у. Вместес тем, если // и Qj все известны, то каждый экономист знает, как опре­делить общие затраты живого труда: надо умножить в каждой отраслисреднюю трудоемкость lj на продукцию Qj, т.е.

определить объем затраттруда в каждой отрасли Lj , а полученные результаты сложить. Итак,здесь используются величины, которые на языке математики называют­ся скалярными произведениями. Осталось лишь понять, что мы посто­янно используем приемы, известные (и точно определенные) в мате­матике. К этому вообще сводится почти вся работа по применениюв экономике такой модели, как межотраслевой баланс.2 - 109733Другой пример использования скалярного произведения в полит­экономии: хорошо известное понятие суммы цен товаров, т. е. сум­мы произведений количеств этих товаров на их соответствующие цены:М=Е1=1PiQiгде М — сумма цен всех товаров, р\ — средняя цена отдельного видатоваров i за тот промежуток времени (скажем, год), для которого рас­считывается сумма цен.Обратим внимание, что скалярное произведение векторов возмож­но только при условии, что слагаемые (т.

е. результаты умножениякомпонент одного вектора на компоненты другого) имеют одинаковуюразмерность (одинаковые единицы измерения) и потому операция ихсложения разрешена. Это дополнительное требование (III) —необходи­мое условие скалярного произведения векторов. Например, когдаумножается lj на Qj, то возникают величины, имеющие одинаковуюразмерность: число круглогодовых работников простого труда. Пока­жем это:число среднегодовых работниковпростого труда----------------------------------------- -единица продукции =единица продукции= число среднегодовых работников простого труда.Сами по себе величины // нельзя складывать: они имеют разную раз­мерность, зависящую от единицы измерения соответствующего про­дукта, стоящей в знаменателе. Но после умножения lj на Qj возникаютвеличины, в которых единицы измерения продуктов уже пропадают, —такие величины можно складывать.По той же причине нельзя складывать цены единиц товаров /?/,но можно складывать результаты их умножения на Qj.Прежде чем получать скалярное произведение векторов, надо про­верить, будет ли выполняться требование (III).

Легко увидеть, напри­мер, что оно не выполнялось бы, если, скажем, вектор Q умножалсябы сам на себя, или вектор Q умножался бы на вектор У, хотя условия(I) и (И) были бы выполнены. Но грамотному экономисту никогдаи не понадобятся такие операции: они бессодержательны. Здесь видно,что язык математики запрещает именно то, что не имеет смысла с точ­ки зрения существа дела.Заметим еще, что иногда нужно получить скалярное произведениедвух векторов, записанных оба как строки (или, в ином случае, какстолбцы). Тогда один из них нужно транспонировать.Матрица, транспонированная по отношению к матрице А , образует­ся из А следующим образом: ее столбцы переписываются как строки,причем количество и порядок элементов столбцов сохраняются, а полу­ченные строки располагаются в том же порядке (получают те же номе­ра), как столбцы исходной матрицы А .

Транспонированная матрицаобозначается А т, т. е.34,Л т = [cijj ] ,если A = [ ау\.Транспонирование вектора — это частный случай транспонированияматрицы. В этом случаея т = (я 1 > •••>ап ) 9еслии наоборот:СЫ1Иа = (*!,...,<!„)Если умножаются два вектора, которые в исходном виде оба явля­ются строками, то следует транспонировать тот, который будет правымсомножителем, т. е. превратить его в столбец, тогда с = abr.

Если умно­жаются два вектор-столбца, то нужно транспонировать левый сомножи­тель, т. е. тогда-с = агЬ.Умножение матрицы на матрицу. Обычно эта операция определятсяс использованием понятия скалярного произведения векторов. Во вся­ком случае в нашей книге иное представление об этой операции непонадобится.Произведением матрицы А размерности (m \r i) (m строк и п стол­бцов) на матрицу В размерности (п х г) (п строк и г столбцов) называ­ется матрица С = [] такая, чтоcih = .2 ацЬ/h , i = 1, - , т, h = 1 , г./= 1(*)Здесь видно, что каждый элемент матрицы С - это скалярное про­изведение, и нужно следить, чтобы выполнялись изложенные вышеусловия (I), (II) и (III).

Для этого нужно, в частности, чтобы числостолбцов в левом сомножителе А было равно числу строк в правомсомножителе В; это уже записано в самом определении произведения1.Если хотя бы одно из указанных условий не соблюдается, умножениематриц этим способом запрещено.Разберем приведенное понятие, воспользовавшись вновь нашимусловным примером. А именно, перейдем к частному случаю, когдадана матрица коэффициентов прямых материальных затрат А = [ afj ]размерности (п х п ), т. е. здесь т = п9и «-мерный (т. е.

с числом строк,равным п) вектор-столбец выпусков отраслей Q:1 На деле это требование уже было сформулировано при определении ска­лярного произведения векторов.35QnЧтобы выполнить требование о равенстве числа столбцов и строк, надобрать матрицу А левым сомножителем, а вектор Q —правым, т. е. полу­чить С= A Q.В нашем условном примере матрица А имеет размерность (3x3),а вектор-столбец Q — размерность 3 (три строки в столбце). Запишемнашу задачу:“О0,300,75AQ0,2500,050,150,150Информация взята из табл. 2.2 и 2.4.Получим теперь элемент результирующей матрицыС,- = 2 ац-Qj7=1(**).Убедимся, прежде всего, что эта запись в нашем случае соответству­ет сформулированному общему правилу (*). Трудность заключаетсяв том, что второй сомножитель в каждом произведении я/убу формулы(**) имеет только один индекс, а в общей формуле (*) он имеет дваиндекса.

Но запись легко изменить: вектор Q можно записать как мат­рицу размерности («х 1 ) :Q = [Qjh]> J = 1 . - , и. h = l .Дело сводится к тому, что индекс h принимает только одно значение1; в этом и выражается тот факт, что матрица Q есть вектор-столбец(т. е. такая матрица, в которой только один столбец). Тогда, пользуясьформулой (*), получаем, что у всех результирующих величин С(н ин­декс h принимает опять-таки только одно значение 1. Следовательно,величины Cfh, в свою очередь, образуют не что иное, как матрицу раз­мерности («х1), т. е.

п-мерный вектор-столбец. Поэтому вместо резуль­тирующей матрицы С = [ Cih ] записывается просто результирующийвекторЗаметим, что вектор продукции Сможет рассматриваться с точкизрения производства этой продукции , и тогда его компоненты, как мыуже упоминали, имеют индекс у (т. е. пишутся Q j) ; именно так векторQ рассматривается в формуле (**), когда подсчитываются величиныCi, т.

е. затраты ресурса i на выпуск всех видов товаров у. В ином случаетот же вектор Q может рассматриваться как вектор ресурсов, и тогдаего компоненты обозначаются (¾ (см., например, табл. 2.2). При этомв обоих случаях он остается вектором столбцом.36Решим теперь задачу на нашем условном примере. Получим, напри­мер, первую компоненту с г искомого вектора с:3с, = 2 axjQj = 0 • 280 + 0,30 • 240 + 0,75 160 =0 + 72 + 120 = 192 ./= 1Читатель сам при желании подсчитает, что с2 = 78 и с3 = 78.Взглянув на табл.

2.2, легко убедиться, что мы вновь проделалив обратном порядке путь, который ранее уже прошли. Очевидно, чтоci = A lf с2 = А 2, с ъ = А 3, т. е. мы рассчитали компоненты вектораматериальных затрат Я = (Ai9 А 2, А 3). При этом в качестве слагаемыхиспользовались именно величины А гу.

Например, в табл. 2.2 легкоувидеть, что А х = 192 = 0 + 72 + 120. Если раньше ау определялисьпо формулето теперь использовалась формулаAij = aijQj »а затем формулаA i = .J'j A ij •ifcaK, фонд возмещения израсходованных средств производства,понятие которого постоянно используется в политэкономии, лишьзаписан как вектор Я, и записано также, что его составные части (взя­тые в натуральной форме) есть скалярные произведения норм затратна выпуски тех видов продукции, на котсфые тратятся эти средствапроизводства.Единичная матрица и некоторые операции с нею. Перед тем какперейти к использованию всех этих понятий и правил в курсе полит­экономии, рассмотрим еще одну матрицу специального вида - единич­ную. Обозначим ее /, а ее элементы 8у, т.

е. / = [ 5/у ] . Элементы мат­рицы принимают следующие значения:Это определение подразумевает, что матрица является квадратной,т. е. it / = 1,п. Покажем, как она выглядит применительно к нашемуусловному примеру.Единичная матрицадозмерности (3 x 3 )jГ23110о20130о0137Принято называть диагональ квадратных матриц, идущую из ле­вого верхнего угла в правый нижний, главной диагональю. Тогда еди­ничная матрица — это такая, у которой все элементы на главной диа­гонали равны 1, а все остальные элементы —нули.Из единичной матрицы размерности (п х п) можно вычесть лю­бую матрицу А той же размерности.

Элемент получаемой таким об­разом матрицы (/ - А ) определяется так:( / - Л ) =[5,у-а,у], V /,/ = 1Если матрица А содержит вне главной диагонали строго положительныеэлементы, то в итоговой матрице (/ - А ) на соответствующих местахпоявятся, как легко увидеть, те же величины со знаком минус. Еслив матрице А на главной диагонали стоят нули (такова, например, мат­рица коэффициентов ягу, как эти коэффициенты определены выше),то в итоговой матрице на соответствующих местах будут единицы.Умножим теперь «-мерный вектор а на матрицу / размерности (п хх п). Пусть, для определенности, это вектор-столбец.

Характеристики

Список файлов книги