1631124748-1020295736676d0fa42fba833334c36e (848593), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНСМатрицы и векторы. Первые три строки табл. 2.4. образуют мат­рицу средних коэффициентов прямых материальных затрат. Матрицей28называют просто таблицу чисел, представленных в определенном по­рядке, т. е. так, что место каждого числа в таблице однозначно опре­делено в соответствии со смыслом ее строк и столбцов.

В табл. 2.4,например, коэффициент 0,30 затрат продукта 1 на выпуск продукта2 должен стоять именно на пересечении 1-й строки и столбца 2. Эта таб­лица представляет собой квадратную матрицу, потому что в ней строкстолько же, сколько столбцов (три). Возникновение именно квад­ратной матрицы в результате проведенной обработки данных законо­мерно: рассматриваются среднеотраслевые коэффициенты затрат всех'продуктов на выпуск всех продуктов, а' потому число затрачиваемыхпродуктов (соответственно число строк) и число выпускаемых про­дуктов (число столбцов) одинаково - 3.Будем ниже обозначать такую матрицу А; А = [а..] , где /, / = 1,..., п. Это общепринятые в дитературе обозначения коэффициентов ма­териальных затрат и их матрицы.В табл.

2.4 (строка 4) включец также вектор средних коэффициен­тов прямых затрат труда (с учетом его редукции) на производство.Вектором называют такую, упорядоченную систему чисел (матрицу),в которой только одна строка или один столбец. В табл. 2.4 перед намивектор-строка коэффициентов //; если этот вектор в целом обозначитьсимволом /, то в соответствии с принятыми способами записи можно1п). В такой формеуказать: I = ( h , ..., / / , 1п), или короче: 1=(1Х,записывают вектор-строку.Обратим внимание, что любая матрица состоит из векторов-строк,расположенных в определенном порядке; например, матрица А состоитиз п строк (в нашем условном примере —из трех).

Чтобы строку мат­рицы правильно обозначить, надо дать ей символ с номером. Например,в матрице А естественно обозначить стррки символом а\\ тогда а\ =Вектором можно назвать также систему (матрицу) упорядоченныхчисел, записанных в виде столбца. Например, в табл. 2.2 (колонка1) содержится вектор величин (¼ - валовых выпусков отраслей.

Век­тор-столбец записывается так (показываем на данном примере) :В последней колонке табл. 2.2 содержится вектор-столбец чистых вы*пусков —величин У,-:29Любую матрицу можно представить как упорядоченную систему век­торов-столбцов. Например, та же матрица А состоит из п столбцов,которые естественно обозначить а/:Теперь отдельное число можно рассматривать как частный случайматрицы: матрица с одним столбцом и.одной строкой; как частныйслучай вектора: вектор-строка с одним столбцом или вектор-столбецс одной строкой. Тогда ясно, что понятие вектора есть обобщение поотношению к понятию отдельного числа; понятие матрицы — обоб­щение по отношению к понятию вектора.

Заметим еще, что возможныматрицы, в которых используются величины не только с одним илидвумя, а с любым конечным числом индексов. Например, в табл. 2.1 былиупорядочены трехиндексные величины А куОтдельно взятые числа принято называть скалярами. Числа, входя­щие в матрицы, называют элементами матриц; величины, входящие ввекторы —компонентами векторов.Сразу определим операции над векторами и матрицами, которыемы будем использовать в тексте. На таком минимально необходимомуровне представление об этих операциях можно получить, опираясьна общую эрудицию и уже разобранные табл. 2.2 — 2.4.

Мы не будемобъяснять, почему и для каких условий в математике приняты те илииные операции над векторами и матрицами, —будем просто приводитьпринятые правила и показывать, что при их использовании экономистполучает результаты, которые он считает правильными с содержательнойточки зрения1Равенство векторов. Два вектора а, Ь, имеющие одинаковое числокомпонент п , равны, если и только если равны все их соответствующиекомпоненты:а - Ъ , если и только если а\ = 6/ V * = 1>•••>п -Понятие равенства векторов подразумевает два условия: (I) что чис­ло компонент в них одинаково, (II) что эти компоненты одинаково упо­рядочены. При этом существенно, что компоненты обоих векторовимеют один и тот же индекс (в нашем описании это /).

Уже было упо­мянуто, что для содержательно различных величин используются раз­личные индексы, так что если индекс одинаков, это означает, что вдвух векторах описываются однородные объекты. Для именованныхвеличин сказанное подразумевает, что компоненты двух векторов, имею­щие одинаковый номер, имеют и одинаковую единицу измерения.изложении операций мы использовали книгу Дж.

Хедли ’’Линейная алгеб­ра (для экономистов) ”. М., Высшая школа, 1966.30Пусть сравниваются отчеты о выпуске продукции на двух много­продуктовых предприятиях. Вектор (набор) продуктов одного пред­приятия может быть равен вектору продуктов другого только в томслучае, если (I) число видов продукции на них одинаково, (II) это оди­наковые для обоих предприятий виды продукции (например, одина­ковые сорта хлеба на двух хлебозаводах) и притом они в одинаковомпорядке записаны в отчете, т. е. одинаковым видам в обоих отчетахприсвоены одни и те же порядковые номера. Если требования (I) или(II) не выполнены, то сравнивать два набора нельзя - это и записанов правиле равенства векторов1.Неравенство векторов. При уже сформулированных условиях(I) и (II) можно в некоторых случаях установить, какой из двух нерав­ных векторов больше (меньше) другого.

Само по себе их неравенствоозначает, что по меньшей мере одна из компонент i неодинакова в двухсравниваемых векторах: а\ Ф bj хотя бы по одной компоненте i. Запи­сывают а > Ъу если и только если д/ >V i = 1, ..., л. Читается: век­тор а по всем компонентам не меньше и по некоторым (хотя бы поодной) строго больше, чем вектор Ь; или, что то же самое, векторb по всем компонентам не больше и по некоторым (хотя бы по од­ной) строго меньше, чем вектор а .Возможен случай, когда а > Ь> т. е. по всем i = l , ..., п aj > bj.Читатель,конечно,понимает,что возможно b > а> Ъ> а .Если в двух сравниваемых векторах а, Ь есть хотя бы одна компо­нента /, для которой а\ > bfy и вместе с тем хотя бы одна компонентадля которой а? < b {>, то нельзя ответить на вопрос, какой из векторовбольше.Умножение вектора на скаляр.

Произведение скаляра X ивектора a = ( a l f ..., ап) обозначается Хаи определяется как новыйвектор, каждая компонента которого умножена на X:\ а = (Хдх, ..., ЛдЛ)Пусть, например, рассматривается ситуация, когда трудоемкостьпродукции снижается, притом одинаковым темпом во всех отраслях.Выше (табл. 2.4) был получен вектор трудоемкостей/ = (/ 1, / 2, / 3) = (1; 0,5; 1).Пусть все эти величины снизились через некоторое время на 10 %. ТогдаX = 0,9 и новый вектор трудоемкостей X/ = (Х/ь Х/2, Х/3) = (0,9; 0,45;0 £ ).'1 Экономист возразит, что можно сравнить, например, валовые выпускипредприятий, умножив продукцию по видам на соответствующие цены и сложиврезультаты по видам.

Но это требует проведения операций умножения и сложе­ния, здесь же излагается правило сравнения векторов как таковых. Экономистхорошо знает, что с содержательной точки зрения далеко не безразлично, из какихименно продуктов состоит валовая продукция, даже если она одинакова у двухпредприятий.31Умножение матрицы на скаляр. Пусть теперь дана матрица (ска­жем, А = [ afj ]) и скаляр X.

ТогдаХА = [ \ a j j ] , /,/ = 1 ,..., п ,т. е. при умножении на скаляр матрицы каждый элемент должен бытьумножен на этот скаляр.Читатель видит, что эта операция строится аналогично предыдущей,и сам легко построит и решит пример (скажем, умножить матрицу[ aij ] из табл. 2.4. на некоторый скаляр X, например, X=0,95).Сложение векторов. Сложению подлежат лишь векторы, отвечаю­щие условиям (I) и (II).

Тогда сумма векторовс = а +Ь = (а, + 6,;ап + Ъп) ,т. е. каждая компонента суммарного вектора с/ получается сложениемсоответствующих по номеру компонент исходных векторов :Cj = at+ b j , i = 1 ,...,л .Можно, конечно, складывать не два, а больше векторов одинако­вой размерности л. Для случая трех векторов a, b, dс = а + Ъ + d = (а\ + bi + d y ; ...; an + bn + d n) .В табл.

2.2 мы получили вектор Н = ( A lf А 2, А 3) сложением трехвекторов (5-я колонка таблицы была получена суммированием построкам чисел в предыдущих трех колонках).Известно, что в алгебре вычитание рассматривается как частныйслучай сложения, при котором знак вычитаемого меняется на проти­воположный. То же относится и к векторным величинам. Поэтомус = а - Ъ =а + ( - 1 ) Z > = ( а х - Ь йап - Ьп) .Выше мы уже проводили вычитание векторов: в табл. 2.2 векторчистого продукта Y был получен вычитанием вектора Я из вектора Q :Y = (У1? У2, У3) = Q - Н = (Qi - A lf Q2 - А 2, <2з- Л г)Сложение матриц. Аналогично сложению векторов сложение мат­риц осуществляется по правилу1:С = А + В — |~й\у + Ъ[уJ Л / /, / ,т. е.

элемент суммарной матрицы c\j = я// + bjj. Очевидно, что склады­вать можно только матрицы, у которых имеется одинаковое число строкi и равное число столбцов /. Нам понадобится это правило при описаниипревращения стоимости в цену производства. При этом будут склады­ваться квадратные матрицы, т. е. такие, что i = 1,..., п и / = 1 ,..., п.Скалярное произведение векторов. Так называется такой резуль­1 Даем правило применительно к матрицам двухиндексных величин. Трехиндексные и т.п.

матрицы мы складывать не будем.32тат умножения одного вектора на другой, который представляет собойуже не вектор, а число (скаляр). Например, скалярным произведениемявляется уже упоминавшаяся величина валовой продукции. Формуласкалярного произведения:п(3 = ab = а\ Ьг + а2Ъ2 + ... + апЪп = Z аф ,-./=1По-прежнему требуется, чтобы соблюдались условия (I) и (И).

Следуетсразу указать, что в приведенной записи подразумевается также, чтовектор а (первый, или левый, сомножитель) есть вектор-строка, векторЛ> (второй, т. е. правый, сомножитель) - вектор-столбец. В настоящейглаве мы будем использовать именно такие произведения векторов.Получим общие затраты труда в нашем условном примере, поль­зуясь данными о нормах прямой трудоемкости продукции и объемахпродукции. Итак, пусть даны два вектора:/ = (/ 1, / 2, / 3) = (1,0; 0,5; 1,0)(см. табл. 2;.4) иТогда полные затраты труда в обществе получаются так:£ = 7 6 =1 -280 + 0 ,5 -2 4 0 + 1 *160 = 5 6 0 .Читатель видит, конечно, что в некотором смысле мы здесь в обрат­ном порядке прошли тот путь, которым шли выше, получая коэффици­енты lj.

Характеристики

Список файлов книги