lectures_2020_prob (1) (846436), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если при выборе не учитывается порядок, товыборка называется сочетанием из n элементовпо m (обозначается как Cnm ).Как сосчитать число способов сделать этот выбор? Ответ: Cnm n!m!(n m)!541.5 Основные формулы комбинаторики (2)Пусть имеется группа из n различных элементов.Из этой группы выбираем m элементов.Необходимо сосчитать число способов сделать этотвыбор.
Если при выборе учитывается порядок, товыборка называется размещением из n элементовmпо m (обозначается как An ).Как сосчитать число способов сделать этот выбор?mОтвет: An n(n 1)...(n m 1) n!(n m)!Если после выбора элемент возвращается в группу, то выборка называется выборкой свозвращением, иначе — без возвращения.Если рассматривается выборка без возвращения, то сочетание (размещение) называютсочетанием (размещением) без повторений.Если при выборе c возвращением учитываетсяпорядок, то выборка называется размещением изn по m с повторениями.
Как сосчитать числоспособов сделать этот выбор? Ответ: n m551.5 Основные формулы комбинаторики (3)Если после выбора элемент возвращается в группу, то выборка называется выборкой свозвращением, иначе — без возвращения.Если при выборе c возвращением учитываетсяпорядок, то выборка называется размещением изn по m с повторениями. Как сосчитать числоспособов сделать этот выбор? Ответ: n mРазмещение без повторений из n элементовпо n называют перестановкой из n элементов(обозначается как Pn ). Как сосчитать числоспособов сделать этот выбор? Ответ: Pn n!561.5 Основные формулы комбинаторики (4)Пример 36.
Имеется 6 карточек, образующих слово «МАСТЕР». Они перемешаны исложены в ящик. Далее выбирают 4 карточки и выкладывают последовательно слеванаправо.1) Найти вероятность того, что в результате выбора будет слово «ТЕМА».2) Найти вероятность того, что в результате будет слово, оканчивающееся на «А».3) Найти вероятность того, что в результате будет слово, у которого 1 буква – «М», апоследняя - «А».Решение: Используем классическое определение вероятности.41) |Ω|= A6 . A={слово ТЕМА}. |A|=1. P(A)=1/30.42) |Ω|= A6 . A={слово ***А}. |A|= A53. P(A)=20/30.243) |Ω|= A6 . A={слово Т**А}. |A|= A4 . P(A)=12/30.Пример 37. К новому году четырем детям были приготовлены подарки.
Дед морозвручил их случайным образом. Найти вероятность события А={каждый ребенок получилсвой подарок}.Решение: Используем классическое определение вероятности.|Ω|=P4. A={ каждый ребенок получил свой подарок }. |A|=1. P(A)=1/24.Пример 38. Из урны, содержащей 10 пронумерованных шаров, наугад вынимают один задругим все шары. Найти вероятность того, что номера будут идти по порядку.Решение: Используем классическое определение вероятности.|Ω|= P10. A={номера будут идти по порядку}. |A|=1. P(A)=1/3628800.571.5 Основные формулы комбинаторики (5)Пример 39.
Имеется колода в 36 карт. Найти вероятность того, что в колоде всечетыре туза расположены рядом.Решение: Используем классическое определение вероятности.|Ω|= P36=36!. А={в колоде четыре туза расположены рядом }.|A|=33·4! 32!.P(A)=1/1785.4Другой способ: |Ω|= C36. |A|=33. P(A)=33/58905=1/1785.Пример 40. Сейф открывается при наборе определенной комбинации из 4-х цифр от 0 до9.
Какова вероятность открыть сейф с первого раза, не зная комбинацию.Решение: Используем классическое определение вероятности.|Ω|=104=10000. А={определенные 4 цифры в определенной последовательности}.|A|=1.P(A)=1/10000.Пример 41. Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 100 самолетов. Каждоеорудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того,что все 10 орудий будут стрелять по одной и той же цели.Решение: |Ω|=10010. А={все 10 орудий будут стрелять по одной и той же цели}={выбранодин самолет}.|A|=100.
P(A)=1/1009.Пример 42. Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 100 самолетов. Каждоеорудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того,что все 10 орудий будут стрелять по разным целям.10Решение: |Ω|=10010. А={все 10 орудий будут стрелять по разным целям}. |A|= A100 .P(A)=100!/(10010·90!).581.5 Основные формулы комбинаторики.Гипергеометрическая схема (6)Эксперимент: Пусть имеется 20 шаров 2-х типов: 10 черных и 10 красных.
Выбираемслучайным образом 5 шаров. Вероятность того, что среди выбранных окажутся 2 черныхи 3 красных определяется по формулеC102 C1035C20В общем случае схема применяется, когда имеется n элементов k типов (n1 – 1-оготипа, n1 – 2-ого типа, …), случайным образом выбирается m элементов и нужно найтивероятность того, что среди выбранных m элементов находится m1– 1-ого типа, m2 – 2ого типа, ... .Cnm11 Cnm22 ...CnmkkДанная вероятность рассчитывается по формулеCnmПример 43. Из колоды в 36 карт случайным образом выбирается 10 карт. Найтивероятность того, что среди выбранных карт будет 4 пики, 3 крести, 2 бубны, 1 червы.Решение: А={среди выбранных будет 4 пики, 3 крести, 2 бубны, 1 червы }.P(A)= C94·C93·C92·C91/ C3610.Пример 44.
В партии из 50 деталей имеется 10 дефектных. Для контроля выбривается 5изделий. Найти вероятность того, что из них ровно 1 изделие – дефектное.Решение: А={ровно 1 изделие – дефектное}. P(A)= C101·C404/ C505.591.5 Основные формулы комбинаторики.Гипергеометрическая схема (7)Пример 45.
Полная колода в 52 карты делится случайным образом на две пачки по 26карт. Найти вероятности следующих событий: A={в каждой из пачек по 2 туза}, B={в одноиз пачек 0 тузов, в другой 4 туза}, C={в одной из пачек 1 туз, в другой 3 туза}Решение: A={в каждой из пачек по 2 туза}={в одной пачке 2 туза}.P(A)= C42·C4824/ C5226.P(B)= 2·(C40·C4826/ C5226).P(C)= 2·(C41·C4825/ C5226).Задача 92. Пароль от учетной записи в Вконтаке состоит из 8 символов. В качествесимвола может быть одна из букв латинского алфавита или цифра (0-9).
Чему равнообщее число возможных паролей? Чему равна вероятность угадать пароль с первогораза, если все пароли равновозможные? Со второго?Задача 93. Компания Nestle планирует вывести на рынок новый продукт, дляизготовления которого у нее есть 5 различных рецептов. Компания Nestle решиласравнить рецепты путем их тестирования на группе потребителей. В процессетестирования, каждому участнику группы предлагается попробовать продукты,изготовленные по каждому из 5 рецептов и оценить их вкус. Самому вкусному присвоитьномер 1, чуть менее вкусному – номер 2 и т.д. Чему равно общее способов оценить вкус5 продуктов?601.5 Основные формулы комбинаторики.Гипергеометрическая схема (8)Задача 94. И опять компания Nestle планирует вывести на рынок новый продукт, дляизготовления которого у нее есть уже 15 различных рецептов.
Компания Nestle решиласравнить рецепты путем их тестирования на группе потребителей. В процессетестирования, каждому участнику группы предлагается попробовать продукты,изготовленные по каждому из 15 рецептов и выбрать 3 наиболее вкусные. Чему равнообщее число способов сделать выбор?Задача 95. В коробке находятся 1500 микрочипов из которых 11 содержат дефект.
Изкоробки наугад достают 3 микрочипа. Чему равно общее число способов сделать выбор?Чему равна вероятность того, что все 3 микрочипа окажутся дефектными? 2 микрочипаокажутся дефектными?Задача 96. Из колоды в 52 карты наугад достают 4 карты (без возвращения). Чему равнавероятность, что среди выбранных карт находит 2 вальта (jack) и 2 дамы (queen)?Задача 97.
Чему равно число различных способов рассадить 15 людей в одном ряду (15мест) в кинотеатре? Чему равно число различных способов рассадить 15 людей закруглым столом (15 мест) в ресторане (после кинотеатра)?Задача 98. Из колоды в 52 карты наугад достают 5 карт без возвращения. Чему равночисло способов сделать этот выбор таким образом, чтобы среди 5 карт было 2 картыкрасной масти и 3 карты черной масти?611.5 Основные формулы комбинаторики.Гипергеометрическая схема (9)Задача 99. Сколько трехзначных чисел удовлетворяют следующим критериям: первая цифраотлична от 0, две другие отличны от друг друга?Задача 100.
В коробке находится Х зеленых шаров, 3Х+6 красных шаров и 2 желтых шара.Если в коробке нет шаров другого цвета, то чему равна вероятность того, что вынутыйнаугад шар окажется зеленым или желтым?Задача 101. В колоде карт остались 2 карты бубновой масти, две черви, две крести и двепики.
Из колоды наугад достают 2 карты. Чему равна вероятность того, что они обе не будутбубновой масти?Задача 102. В коробке находит 10 шаров из которых 3 красных и 7 синий. Из коробки наугаддостают 2 шара. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один шар синий?Задача 103. Сколько существует 5-тизначных чисел в которых первые две цифры – четные,остальные нечетные и цифра на 4-м месте не встречается ни на каком другом месте в числе?62Литератураi.ii.iii.iv.v.vi.vii.Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.— 448 с.Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000.— 480 с.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.Гмурман В. Е. 9-е изд., стер.—М.: Высшая школа, 2004.— 404 сProbability and Statistics for Engineers and Scientists.
Anthony J. Hayter. Cengage Learnig, 2012. 826p.Applied Statistics and Probability for Engineers. 3-d edition. Douglas C. Montgomery,George C. Runger. John Wiley & Sons.Кокотушкин В.А. Расчётные задания по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие М.: Изд-во РУДН, 2005 (в библиотеке)Пяткина Д.В. Учебно-методическое пособие по теории вероятностей и математической статистики для инженеров. 2012. (в библиотеке)63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
