lectures_2020_prob (1) (846436), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти min{P(A),P(B)}.Задача. Жюри из 3-х человек два члена жюри независимо друг от друга принимаютправильное решение с вероятностью Р, а третий для выяснения решения бросает монету.Окончательное решение выносится большинством голосов. Другое жюри из одного человекавыносит правильное решение с вероятностью Р. Какое из этих жюри выносит правильноерешение большей вероятностью?Задача. В доме n гостей, каждый пришел в шляпе и шляпы у всех одинаковые (на вид). Чемуравна вероятность того, что ни один из гостей не уйдет из дома в своей шляпе?Задача.
В доме n гостей, каждый пришел в шляпе и шляпы у всех одинаковые (на вид). Чемуравна вероятность того, что по крайней мере половина из них уйдет из дома в своих шляпах?461.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (1)Пример 35. Человек пришел в автосалон в Москве и купил автомобиль BMW (BayerischMotoren Werke).
Данный автомобиль мог быть собран либо на заводе в г. Калининград(Россия), либо в г. Регенсбург (Германия), либо в г. Лейпциг (Германия), либо вг. Спартанбург (США). Вероятность того, что он был собран на соответствующемзаводе представлена в таблице. В течение гарантийного срока автомобиля поступилапретензия по качеству его сборки . Чему равна вероятность того, что автомобиль былсобран на заводе в г. Спартанбург?Таблица ?Город, где располагается заводВероятность, что автомобиль собран на заводеВероятность претензии (claim)Калининград0.20.05Регенсбург0.240.11Лейпциг0.250.03Спартанбург0.310.08Решение:Определим два события: А={поступила претензия по качеству сборки}, В={автомобильсобран на заводе в г. Спартанбург}.
Требуется найти P(B|A)!Находится по формуле Байеса.Вероятность P(A)=0.0687 (находится по формуле полной вероятности).Вероятность P(B)=0.31 (из таблицы ?). Вероятность P(A|B)=0.08 (из таблицы ?).Ответ: P(B|A)=0.361.471.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (2)Задача 78. В примере 35 чему равна вероятность того, что автомобиль был собран назаводе в а) Калининграде, б) Регенсбурге, в) Лейпциге?Задача 79. В примере 35 в течение гарантийного срока не поступило ни однойпретензии по качеству сборки автомобиля. Чему равна вероятность того, чтоавтомобиль был собран на заводе в а) г. Калининград, б) г. Регенсбург, в) г.
Лейпциг,г) г. Спартанбург?Задача 80. Известно, что 1% населения страдает заболеванием Y. Анализ крови свероятностью 97% обнаруживает заболевание Y у человека, который действительноболен заболеванием Y. Однако с вероятностью 6% анализ крови обнаруживаетзаболевание Y у человека, который заболеванием Y не болен.Найти вероятность того, что у человека, сдавшего анализ крови, обнаружитсязаболевание Y.Если в анализе крови обнаружено заболевание Y, чему равна вероятность того, чточеловек болен заболеванием Y?Если в анализе крови не обнаружено заболевание Y, чему равна вероятность того, чточеловек не болен заболеванием Y?Задача 81§.
В закрытой коробке лежит шар неизвестного цвета. С равной вероятностьюбелый или черный. В коробку опускается белый шар и после тщательногоперемешивания один шар извлекается. Он оказался белым. Какова вероятность того,что в урне остался белый шар?481.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (3)Задача 82§. Три орудия одновременно выстрелили один раз по цели. Ровно дваснаряда попали в цель.
Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель,если вероятности попадания для орудий равны соответственно 0.7, 0.8, 0.9.Задача 83§. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равнысоответственно 1/10, 1/11, 1/12. При одновременном выстреле всех трех стрелковимеется два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся первыйстрелок.Задача 84§. Для поиска пропавшего самолета выделено 8 вертолетов, каждый изкоторых может быть использован в одном из двух районов, где самолет можетнаходиться с вероятностями 0,9 и 0,1. Как следует распределить вертолеты, чтобывероятность обнаружения самолета была наибольшей. Найти вероятностьобнаружения самолета при оптимальной процедуре поиска.
Считается, что каждыйвертолет обнаруживает находящийся в районе самолет с вероятностью 0.5, и поискиосуществляются каждым вертолетом независимо от других.Задача 85¥. Пассажир может обратиться за покупкой билета в одну из трех касс.Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равнысоответственно 0.1, 0.2, 0.3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажирабилеты в кассе №1 закончатся, равна 0.1, в кассе №2 - 0.2, в кассе №3 - 0.3. Пассажирнаправился за билетом в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что этобыла касса №3.491.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (4)Задача 86¥. Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода,летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально.
В этом случаевероятность благополучной посадки равна 0.9991. Если аэродром затянут низкойоблачностью, летчик сажает самолет вслепую, по приборам. Вероятность безотказнойработы приборов «слепой» посадки равна 0.99999. Если приборы слепой посадкисработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью, что ипри визуальной посадке. Если же приборы не сработали, то летчик можетблагополучно посадить самолет с вероятностью 0.1. Найти вероятность благополучнойпосадки самолета, если известно, что в 90% всех случаев посадки аэродром затянутнизкой облачностью.Задача 87¥. В условиях предыдущей задачи известно, что самолет приземлилсяблагополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепойпосадки.Задача 88. Предположим, что погода каждый день может быть либо теплой (свероятностью 0.25), либо холодной (с вероятностью 0.15), либо жаркой.
Кроме того,каждый день может либо пойти дождь, либо нет. В теплый день дождь идет свероятностью 0.4, в холодный день – с вероятностью 0.3, в жаркий день – свероятностью 0.5. Если сегодня нет дождя, то чему равна вероятность того, чтосегодня холодно?501.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (5)Задача 89. Коробка №1 содержит 3 красных и 7 синих шаров. Коробка №2 содержит 8красных и 4 синих шара. Коробка №3 содержит 5 красных и 11 синих шаров.
Вы наугадвыбираете коробку и достаете из нее один шар. Он оказался синий. Чему равнавероятность того, что этот шар из коробки №1?Задача 90. На острове обитают редкие птицы трех различных видов. Вид №1составляет 45% всех птиц, из которых 10% особей помечены специальной меткой. Вид№2 составляет 38% всех птиц, из которых 15% особей помечены специальной меткой.Вид №3 составляет 17% все птиц, из которых 50% особей помечены специальной меткой.Вы попали на остров и увидели птицу, отмеченную специальной меткой. Чему равнавероятность того, что это птица вида №1, №2 или №3.Задача 91. Вентиль может рассчитан на использование при четырех температурныхрежимах (низкая, средняя, высокая и очень высокая температура).
При низкойтемпературе вентиль протекает с вероятностью 0.003. При средней и высокойтемпературе он протекает с вероятностью 0.0009 и 0.014 соответственно. При оченьвысокой температуре вероятность протекания равна 0.018. Обычно 12% временивентиль используется при низкой температуре, 55% времени при средней, 20% привысокой и 13% при очень высокой температуре. Если оказалось, что вентиль непротекает, чему равна вероятность того, что он работает в условиях среднейтемпературы?511.4 Формула полной вероятности.
Формула Байеса (6)Задачаg. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и двое – на 15вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдитевероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил толькополовину вопросов.Задачаg.
На карточках написаны буквы, образующие слово «комбинаторика». Но двекарточки из этого набора утеряны. Остальные положили в коробку. Затем из коробки наугаддостали 1 карточку. Какова вероятность того, что на ней окажется гласная буква?Задачаh. Руководитель группы не ошибается с вероятностью 0.95, остальные участникигруппы – с вероятностью 0.9. В группе 10 человек и решение принимается большинствомголосов. Найти вероятность правильного принятия решения.Задачаh. В коробке было 2 белых и 2 красных шара. 3 шара случайно потерялись.
Каковавероятность того, что в коробке остался красный шар?Задачаh. Из урны, содержащей белые и черные шары (всего 4 штуки), наудачу вынуты 2шара – белый и черный. Какой состав урны наиболее вероятен?[g] Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов.[h] Практикум по теории вероятностей и математической статистике. Тверь 2001.
Составители: Ю.К. Подставкин, С.Л. Попцов, Ю.С. Хохлов.521.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (7)Задачаh. (Задача о разорении) У игрока А – х рублей, а у игрока В – y рублей. А и В играютдруг с другом в игру. В каждой партии игры есть победить и проигравший. Проигравшийотдает 1 рубль сопернику. Какова вероятность разориться игроку А, если игрокиравносильные? А если нет?Задачаh. Из коробки, содержащей 6 белых и 4 красных шара, случайно потеряли 3 шараодного цвета.
С какой вероятностью после этого из урны можно извлечь белый шар?Задачаh. Остап Бендер достает очередной гарнитур из 12 стульев. Вероятность того, что вэтом гарнитуре спрятан клад, равна x. Клад с равной вероятность может быть в любом изстульев. После вскрытия первых одиннадцати стульев клад не обнаружен. Каковавероятность того, что он есть в двенадцатом стуле?Задача.
Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один извозможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?531.5 Основные формулы комбинаторики (1)Эксперимент: имеется 3 группы элементов. В 1-й группе — 10 элементов,во 2-й группе — 20 элементов, в 3-1 группе — 30 элементов. Из каждой группы наугадвыбирают 1 элемент. Чему равно число способов N сделать этот выбор?Ответ: N=10×20×30=6000.Основная формула комбинаторики: N = n1 × n2 × n3 × … × nm.Пусть имеется группа из n различных элементов.Из этой группы выбираем m элементов.Необходимо сосчитать число способов сделать этотвыбор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
